Інтерференційні смуги однакового нахилу (інтерференція від плоско паралельної пластинки).

Лекція 28. Інтерференція світла

План

1. Принцип Гюйгенса.

2. Когерентість світлових хвиль. Явище інтерференції.

3. Основні методи отримання когерентних джерел світла.

4. Інтерференція від двох точкових когерентних джерел світла.

5. Інтерференція в тонких плівках. Смуги рівного нахилу та рівної товщини (інтерференція на пластині та на клині).

6. Кільця Ньютона.

7. Практичне застосування інтерференції. Інтерферометри. Просвітлення оптики.

 

У кожній точці простору відбувається накладання електромагнітних хвиль, які поширюються незалежно одна від інших. Це незалежне накладання хвиль називається суперпозицією хвильових рухів. Розглянемо детальніше накладання двох хвиль однакової частоти у точці , які поширюються у вакуумі (рис. 1). Нехай дві хвилі поширюються від точкових джерел та . Коливання вектора напруженості електричного поля, спричинені цими хвилями, у точці задаються рівняннями:

	(1)

	(2)

 

де , – амплітуди коливань вектора напруженості електричного поля електромагнітної хвилі у точці ;

, – відстані від точкових джерел та до точки накладання хвиль;

, – початкові фази коливань хвиль у джерелах випромінювання.

 

Рисунок 1 – Інтерференція від двох точкових джерел когерентного світла: а – монохроматичне світло; б – біле світло.

 

Оскільки відбувається накладання двох гармонічних коливань однакової частоти, то результуюче коливання також буде гармонічним з тією ж частотою:

	(3)

 

Амплітуда та початкова фаза результуючого коливання визначаються за формулами:

	(4)

 

та

	(5)

де

	(6)

	(7)

 

Величина називається геометричною різницею ходу променів. Якщо початкові фази коливань не залежать від часу, то їх різниця буде сталою і повна різниця фаз також не залежатиме від часу:

	(8)

 

Коливання для яких різниця фаз не змінюється з часом називаються когерентними. Тоді

	(9)

 

Оскільки інтенсивність хвилі прямо пропорційна квадрату її амплітуди , то інтенсивність результуючої хвилі

	(10)

 

де , – інтенсивності хвиль, що накладаються.

Амплітуда (інтенсивність) результуючого коливання залежить не тільки від амплітуди початкових коливань, але й від різниці фаз . У зв’язку з цим розглянемо два випадки.

1) Можливі випадки, коли дві світлові хвилі, які приходять у дану точку простору, у результаті накладання посилюють або послаблюють одна другу. Спостерігається це тільки у випадку, коли хвилі когерентні, тобто такі хвилі, які мають однакову частоту і постійну різницю фаз. У цьому випадку різниця фаз не змінюється з часом: , . З рівняння видно, що у точках простору, де , , тобто виникає підсилення інтенсивності (максимуми); , – послаблення інтенсивності світла (мінімуми).

Таким чином, при накладанні двох (або декількох) когерентних світлових хвиль відбувається просторовий перерозподіл інтенсивності хвиль, у результаті чого в одних місцях виникають максимуми, а в інших мінімуми інтенсивності. Це явище називається інтерференцією світла.

Приймемо для спрощення . Тоді:

	(11)

 

Максимальною буде інтенсивність хвилі при . Тоді:

 

(12)

 

Мінімуму інтенсивності відповідатиме . У цьому випадку:

	(13)

 

У точках інтерференційної картини, для яких різниця ходу дорівнює цілому числу хвиль, різниця фаз кратна і коливання, збуджені обома хвилями будуть проходити з однаковою фазою. У цьому випадку спостерігається максимум освітленості для певної довжини хвилі. Якщо різниця ходу дорівнює пів-цілому числу хвиль світла, то коливання знаходяться у протилежних фазах. Таким чином, максимальна освітленість відповідає різниці ходу, яка дорівнює парному числу півхвиль, мінімальна – непарному.

Якщо хвилі від точкових джерел та рухаються у різних середовищах з показниками заломлення та відповідно, тоді різниця фаз визначатиметься за формулою:

	(14)

 

де – оптична довжина ходу;

– оптична різниця ходу.

Нехай маємо два когерентних точкових джерел світла та (рис. 1) розміщених на віддалі . Розглянемо інтерференцію від цих джерел на екрані який розміщений паралельно до лінії і знаходиться на відстані , яка значно перевищує (тобто ). Світлові пучки, які виходять з джерел та , формують інтерференційну картину в області їх перекриття.

Розглянемо довільну точку на екрані, яка розміщена від центру екрану (точки перетину з екраном перпендикуляра, опущеного з середини лінії ) на відстані . Інтенсивність визначається різницею ходу променів . Знайдемо цю різницю . З трикутників та маємо:

	(15)

	(16)

 

Внаслідок малого значення довжини хвилі (порядку ) інтерференція буде спостерігатися саме при виконанні умови . При виконанні цієї умови і . Оскільки

, то . Звідси:

	(17)

 

У точці буде спостерігатися максимум, якщо

	(18)

 

мінімум, якщо

	(19)

 

Число , яке визначається співвідношенням:

	(20)

 

називається порядком інтерференції. Максимуми і мінімуми будуть знаходитися від центру екрану відповідно на віддалях:

	(21)

	(22)

 

Інтерференційна картина являє собою сукупність паралельних смуг, які знаходяться на певних віддалях від центру екрану і визначаються співвідношеннями (21) та (22). Відстань між двома сусідніми мінімумами (або максимумами) називається шириною інтерференційної смуги і визначається:

 

	(23)

 

Жодне реальне джерело не дає строго монохроматичного світла. Тому хвилі, які випромінюються довільними незалежними джерелами, завжди некогерентні. Насправді монохроматичне світло являє собою сукупність випромінювань, частоти яких змінюються неперервно у вузькому інтервалі (рис. 2).

 

 

Рисунок 2 – Контур спектральної лінії (залежність інтенсивності випромінювання від частоти ). Ширина спектральної лінії за шкалою частот .

 

Природні джерела світла некогерентні, оскільки випромінювання джерел складається з хвиль, які випромінюються багатьма атомами. Збуджений атом переходить у стан з меншою енергією і при цьому випромінює хвильовий цуг (рис. 3) протягом , який містить довжин хвиль. Довжина цугу . За час атом «висвічується» і переходить у не збуджений стан. У випромінювальній джерелом світловій хвилі цуги від одної групи атомів змінюються цугами іншої групи, причому фаза результуючої хвилі постійно змінюється.

 

 

Рисунок 3 – Хвильовий цуг: – час випромінювання атома.

 

Одночасно випромінює велика кількість атомів. Оскільки різні атоми випромінюють незалежно один від іншого, то фази у різних цугах є різні. Хвильові цуги, накладаючись один на іншого, утворюють випромінювану тілом світлову хвилю, при цьому фаза результуючої хвилі зазнає випадкові стрибкоподібні зміни. Фаза змінюється з часом і при переході від однієї точки простору до іншої, внаслідок чого випадковим чином змінюється і різниця фаз . Такі хвилі називаються некогерентними. Когерентністю називається узгоджене протікання у часі і в просторі декількох коливних або хвильових процесів. Розрізняють часову і просторову когерентність. Якщо різниця фаз двох коливань залишається незмінною з часом у даній точці простору, то така когерентність називається часова. Якщо залишається постійною різниця фаз коливань, що відбуваються у різних точках «хвильової поверхні», то така когерентність називається просторовою. Для характеристики когерентних властивостей хвиль вводиться час когерентності, який визначається як такий час, за який випадкова зміна фази хвилі досягає значення порядку .

Фаза коливань у певній точці простору зберігається постійною тільки протягом часу когерентності. Звідси витікає, що прилад зафіксує інтерференційну картину тільки тоді, коли час роздільності приладу значно менше часу когерентності світлових хвиль, що накладаються. Віддаль

 

 

	(24)

 

на яку переміщується хвиля в однорідному середовищі за час , називається довжиною когерентності (або довжиною цугу). Це максимальна різниця ходу, при якій ще можлива інтерференція. Їй відповідає максимальний порядок інтерференції

	(25)

 

де – час когерентності;

– період коливань світлової хвилі;

, – ширина спектрального інтервалу. Довжина когерентності є та віддаль, на якій випадкова зміна фази досягає значення . Для не лазерних джерел вона становить порядку десятка сантиметрів і менше. Для лазерних джерел світла довжина когерентності досягає 1000 м і більше.

На відміну від часової когерентності, яка визначається ступенем монохроматичності хвиль, просторова когерентність пов’язана зі зміною напряму хвильового вектора

	(26)

Два джерела, розміри і взаємне розміщення яких дають можливість спостерігати інтерференцію, називаються просторово-когерентними.

2) Якщо хвилі некогерентні, то різниця фаз швидко і невпорядковано змінюється, приймає довільні можливі значення. Середнє значення за час, який значно перевищує період коливань, дорівнює нулю. Тоді або . Ця умова виконується при накладанні світлових хвиль від звичайних джерел.

У цьому випадку середні значення інтенсивності хвилі є однаковими у різних точках, максимуми і мінімуми розмиваються, інтерференційна картина зникає.

Для експериментального спостереження явища інтерференції світла при накладанні двох коливань необхідно, щоб вони випромінювалися когерентними джерелами. Джерела називаються когерентними, якщо вони випромінюють хвилі однакової частоти з постійною різницею фаз і збігаючими площинами коливань векторів .

Когерентні світлові хвилі можна отримати, розділивши (з допомогою заломлення чи відбивання) хвилю, випромінену одним джерелом, на дві частини. Спрямовуючи ці хвилі по різних оптичних шляхах і змушуючи їх зустрічатись, отримують інтерференційну картину. До появи лазерів когерентні світлові хвилі отримували шляхом розділення хвилі за допомогою бідзеркал Френеля, біпризми Френеля, білінзи Бійє, методу Юнга, дзеркал Ллойда, методу Лінніка, методу Поля тощо. Якщо при спостереженні інтерференції світла від звичайних джерел світла інтерференційна картина має малу яскравість і розміри, то при використанні лазерів явища інтерференції світла яскраві і характерні.

Розрізняють двопроменеву і багатопроменеву інтерференцію світла. У першому випадку світло у кожну точку інтерференційної картини приходять від загального джерела по двох шляхах (рис. 1 а). Багатопроменева інтерференція виникає при накладанні багатьох когерентних хвиль.

Слід пам’ятати, що інтерференційна картина виникає при накладанні когерентних світлових хвиль. Цій умові задовольняють монохроматичні хвилі певної частоти і постійної амплітуди. У результаті інтерференції на екрані виникає сукупність світлих і темних смуг. Якщо когерентні джерела не монохроматичні, то інтерференційна картина буде складатися з набору кольорових смуг, оскільки положення максимумів і мінімумів залежить від довжини хвилі (рис. 1 б). При цьому центральний максимум буде ахроматичним, тобто незабарвленим, бо хвилі різних довжин приходять до цієї ділянки в однакових фазах, оскільки оптична різниця ходу для них дорівнює нулю. Слід відмітити, що при інтерференції підсилення освітленості в одних місцях відбувається за рахунок її послаблення в інших місцях – згідно з законом збереження енергії.

Інтерференційні смуги однакового нахилу (інтерференція від плоско паралельної пластинки).

Розглянемо методи отримання когерентних хвиль в оптиці поділом амплітуди світлової хвилі. Ці методи полягають у поділі однієї хвилі на кілька при її відбиванні та заломленні напівпрозорими поверхнями, які частково відбивають і частково пропускають світло. Вони придатні для точкових джерел та для джерел скінченних розмірів і забезпечують значно більшу інтенсивність інтерференційних смуг у порівнянні з методом поділу світлового фронту. Когерентні хвилі можна отримати поділом амплітуди світлової хвилі за допомогою плоско паралельних прозорих пластин.

Інтерференційні смуги, які виникають внаслідок накладання хвиль, що попадають на плоско паралельну пластинку під однаковими кутами, називаються смугами однакового нахилу.

Нехай поверхня плоско паралельної пластинки з прозорого матеріалу освітлюється точковим джерелом монохроматичного світла (рис. 4). У довільну точку приходять дві хвилі: одна, відбита від верхньої, друга – від нижньої поверхні. Обидві хвилі виходять з одного і того ж джерела і, будучи когерентними, дають нелокалізовану інтерференційну картину.

Розглянемо випадок коли, джерело перебуває у нескінченності, тобто хвилі, відбиті від поверхні ідуть паралельно і спостереження проводять оком адаптованим на нескінченність або у фокальній площині об’єктива телескопа (рис. 5).

 

Рисунок 4 – Інтерференція від плоско паралельної пластинки.

 

Рисунок 5 – Інтерференція від плоско паралельної пластинки: джерело знаходиться у нескінченності.

 

Дві хвилі, які інтерферують і йдуть від до , походять від однієї падаючої хвилі . В залежності від різниці ходу хвиль у точці будуть спостерігатися максимум або мінімум. Оскільки оптичні довжини усіх хвиль, які пройшли через лінзу у межах лінзи рівні, то будь-яка різниця ходу між інтерферуючими хвилями виникає від точки до площини :

	(27)

 

де і – показники заломлення пластинки і оточуючого середовища. Доданок обумовлений втратою півхвилі при відбиванні світла від границі поділу оптично більш щільного середовища. Якщо , то втрата півхвилі відбудеться у точці і доданок буде мати знак мінус. Якщо , то втрата півхвилі відбудеться у точці і останній доданок буде мати знак плюс. В обох випадках відбудеться зміщення інтерференційної картини на пів-смуги в той чи інший бік відносно інтерференційної картини, отриманої без врахування втрати півхвилі. Позначимо товщину пластинки, кути падіння та заломлення відповідно через , , . Маємо (рис. 5):

	(28)

	(29)

 

Згідно із законом заломлення світла:

	(30)

 

Тоді

 

 

	(31)

 

З врахуванням втрати півхвилі для оптичної різниці ходу отримаємо:

 

	(32)

 

В точці буде максимум, коли:

	(33)

 

мінімум, коли:

	(34)

 

де – порядок інтерференції. Отже, в результаті зустрічі когерентних хвиль виникає система інтерференційних смуг. Як видно з (33) та (34), при заданих , , та кожному нахилу (куту ) відповідає своя інтерференційна смуга. Тому такі смуги інтерференції називають смугами рівного нахилу (рис. 6).

 

Рисунок 6 – Утворення смуг рівного нахилу.

 

Ми розглянули випадок, коли світло монохроматичне. Якщо падаюче світло не монохроматичне, тобто присутні одночасно різні довжини хвиль, то кожна монохроматична складова утворює свою систему інтерференційних смуг, зміщених одна відносно іншої. Прикладами може бути різнокольорова картина в мильних бульбашках, в тонких шарах масла, бензину на поверхні води, а також, інтерференційна картина яка виникає на поверхні металевих полірованих деталей при загартуванні.

 

 

Рисунок 7 – Смуги рівного нахилу у тонких плівках (тонкі плівки бензину на поверхні води).

 

Всі вони обумовлені явищем інтерференції при падінні на них білого (немонохроматичного) світла. Важливо, щоб при цьому не відбулося взаємного перекриття інтерференційної картини, яке може призвести до їх зникнення. При виникненні інтерференційної картини важливе значення має товщина пластинки. Інтерференцію від пластинки можна спостерігати до певної товщини пластинки. Розглянемо положення інтерференційних смуг в залежності від товщини пластинки. Запишемо умови двох сусідніх максимумів:

	(35)

 

	(36)

 

Віднімемо від (36) (35), отримаємо:

	(37)

 

Розклавши тригонометричні функції та по , маємо:

	(38)

	(39)

 

Звідси видно, що при заданій довжині хвилі кутова відстань між сусідніми максимумами, обернено пропорційна до товщини пластинки, тобто зі збільшенням товщини пластинки максимуми і мінімуми наближаються один до одного і при певній товщині відбувається зникнення інтерференційної картини.