Эквивалентность ставок на одинаковых периодах времени

Рассмотрим случай равенства временного периода, на котором ищутся значения эквивалентных ставок. То есть период времени, на котором ищутся значения различных по виду эквивалентных ставок один и тот же.

Для нахождения эквивалентных ставок на одинаковых периодах времени воспользуемся формулами для коэффициентов наращения и дисконтирования, приведенными в табл. 6.1, которая получена аналогично табл. 4.1 (лекция 4).

Таблица 6.1

Способ расчета	Коэффициент наращения k	Коэффициент дисконтирования L
с использованием простой ставки наращения i	1.1		1.2
(1 + (n + t/ T)´ i)	1/(1 + (n + t/ T)´ i)
с использованием простой учетной ставки d	2.1		2.2
1/(1 – d ´ (n + t/ T))	(1 – d ´ (n + t/ T))
с использованием сложной ставки наращения i_c	3.1		3.2
(1 + i_c)(n + t/ T)	1/(1 + i_c)(n + t/ T)
с использованием сложной учетной ставки d_c	4.1		4.2
1/(1 – d_c)(n + t/ T)	(1 – d_c)(n + t/ T)

Полагая для простоты, что дробная часть отсутствует t = 0 и, полагая число лет n произвольным, но фиксированным, разберем для примера процедуру нахождения значений эквивалентных ставок при начислении простых i и сложных i_c процентов.

Приравнивая коэффициенты наращения для простой i и сложной i_c ставок, взятые из табл. 6.1 с учетом того, что t = 0 получаем выражение,

1 + n ´ i = (1 + ic) ⁿ, (6.1)

из которого следует, что при заданном значении ставки наращения сложных процентов i_c значение эквивалентной ей ставки наращения простых процентов i определяется выражением

i_c = (1 + n ´ i)^{1/ n} – 1, (6.2)

а значение эквивалентной ставки наращения простых процентов i через значение ставки наращения сложных процентов i_c определяется выражением

i = ((1 + i_c) ⁿ – 1)/ n. (6.3)

Продолжая подобные рассуждения применительно к оставшимся коэффициентам наращения и дисконтирования, Приведенным в табл. 6.1, полученные результаты также сведем в табл. 6.2 для наращения и в табл. 6.3 для дисконтирования.

Следует отметить, что в выражениях для каждого из коэффициентов наращения и дисконтирования по той или иной ставке интервалы времени (n + t/ T) считаются одинаковым, но произвольными, n – произвольное целое число лет, t – дробная часть года. Ограничения на значения n и t могут возникнуть лишь из требований выполнения условий о допустимости значений при дисконтировании (см. лекция 2).

Таблица 6.2

соотношения для нахождения
эквивалентных значений ставок для наращения

i =	1/(1 – d ´ (n + t/ T)) ´ ´ (n + t/ T)	((1 + i_c)^{(n +}^t^{/ T)} – 1)/(n + t/ T)	(1/(1 – d_c)^{(n +}^t^{/ T)} – 1)/(n + t/ T)
d =	i /(1 +(n + t/ T)´ i)	((1+ i_c)^{(n +}^t^{/ T)} –1)/(n +t/ T) ´ (1 + i_c)^{(n +}^t^{/ T)}	((1 – d_c)^{(n +}^t^{/ T)} –1)/ (n + t/ T) ´ ´ (1 – d_c)^{(n +}^t^{/ T)}
i_c =			d_c /(1 – d_c)
d_c =			1 – 1/(1 + i_c)

Таблица 6.3

соотношения для нахождения эквивалентных значений
ставок для дисконтирования

i =	d /(1 – d ´ (n + t/ T))	((1 + i_c ₎^{(n +}^t^{/ T)} – 1)/ (n + t/ T)	(1/(1 – d_c)^{(n +}^t^{/ T)} – 1)/ (n + t/ T)
d =	i/(1 + i*(n + ф/T))	(1 – 1/(1 + i_c)^{(n +}^t^{/ T)}/ (n + t/ T)	(1– (1 – d_c)^{(n +}^t^{/ T)}/ (n + t/ T)
i_c =			d_c /(1 – d_c)
d_c =			i_c /(1 + i_c)

Заметим, что приведенными табл. 6.2 и 6.3 не исчерпываются все возможные выражения для нахождения эквивалентных друг другу ставок, поскольку вне рассмотрения остались, например, случаи неоднократного начисления процентов за период T и другие ранее рассмотренные случаи наращения и дисконтирования (см. лекции 2, 3 наращение и дисконтирование m раз на периоде).