Лабораторная работа №8 Решение обычных дифференциальных уравнений в MathCad

 

Цель работы: с использованием встроенных функций и блочной структуры найти решение обычных дифференциальных уравнений.

Указания к выполнению лабораторной работы:

I Найти решение обычного дифференциального уравнения y ^/= f (x,y) с использованием «блока решений».

1. Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

2. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения с панели управления Evaluation (Выражения).

3. Задать начальные значения переменной, которая есть в уравнении.

4. Ввести ключевое слово Odesolve, которым заканчивается блок решений, то есть присвоить функции, относительно которой решается уравнение, значение Odesolve с параметрами интервала интегрирования.

5. Определить значение найденной функции в точках интервала, для чего создать соответствующий цикл.

6. Построить и отформатировать график найденной функции в точках интервала.

 

II Найти решение обычного дифференциального уравнения с использованием встроенной функции rkfixed.

1. Задать начальные значения переменной, которая есть в уравнении.

2. Записать уравнения, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения с панели управления Evaluation (Выражения).

3. Задать количество шагов интегрирования уравнения на интервале.

4. Присвоить функции, относительно которой решается уравнение, значение rkfixed с параметрами: функция, интервал интегрирования, количество шагов на интервале интегрирования, оператор дифференциального уравнения.

5. Определить значение найденной функции в точках интервала, для чего создать соответствующий цикл.

6. Построить и отформатировать график найденной функции в точках интервала.

Таблица 8.1 – Варианты задания к лабораторной работе №8

Номер варианта	Уравнение f(x,y)	Начальные условия	Интервал нахождения решения	Шаг изменения
		y(1)=1	[1,10]
	tg(x)t(y)	y(0)=0	[0,5]	0.5
		y(1)=1	[1,7]
		y(1)=1	[1, 5]	0.25
	cos(x-2y)-cos(x+2y)	y(0)=p/4	[0,4p]	p/2
	2e-xcos(x)-y	y(0)=0	[0;3,5]	0,1
	e-2ycos(x)-y	y(0)=0	[0;1]	0,05
	lnôx+2,5xsin(x)ô	y(0)=2,5	[1;3,5]	0,2
	e35ysin(x)+y	y(0)=0	[0;1,5]	0,1
	x2ln(x+y2)	y(0)=3,5	[1,2;2,4]	0,08
		y(0)=3,6	[4,1;6,7]	0,1
	sin(x)+cos(y2)	y(0)=2,2	[0,8;3,2]	0,1
	e-2xsin(x+y)	y(0)=16,2	[4,8;6,4]	0,1
	0,7y+x×ln(x+y)	y(0)=2,5	[12,4;14,1]	0,08

 

 

	0,5x+ye(x-y)	y(0)=3,1	[8,5;9,7 ]	0,05
	x2+ycos(x)	y(0)=1,4	[0;2,3]	0,1
	y2-exy	y(0)=1,7	[2,4;3,5]	0,05
	xy-e(x-y)	y(0)=2,8	[1,6;3,1]	0,1
	sin(xy)-e2x	y(0)=5,7	[14,5;16,3]	0,05
		y(0)=1,6	[5,2;6,8]	0,1
	y/ln(y)	y(2)=1	[2;5]	0,25
	e(x+y)-e(x-y)	y(0)=0	[0;2.5]	0,1
		y(p/4)=0	[p/4, 3p]	p/8
		y(1)=0	[1;4]	0.3
	sin(3x)-y×tg(3x)	y(0)=1/3	[0,4]	0,25
	cos(x-4y)-cos(x+4y)	y(0)=p/4	[0,4p]	p/2
	2e-xcos(x)y	y(0)=0	[0;3,5]	0,1
	e-2ycos(x)+y	y(0)=0	[0;1]	0,05
	lnôx+sin(x)ô	y(0)=2,5	[1,5;3,5]	0,2
	ey+2sin(x)	y(0)=0	[0;1,5]	0,1

 

 

Пример

I Найти решение обычного дифференциального уравнения на интервале [0,100]. Функция имеет такие начальные условия: у(0)=1.

1 Ввести ключевое слово Given.

2 Записать, используя логический знак равенства, следующее выражение:

 

.

3 Начальное условие записать следующим образом, используя логический знак равенства:

у(0)=1.

4 Вычислить числовое решение задачи через использование функции Odesolve:

у:=Odesolve(t,100).

5 Создать цикл t:=0,..10для определения точек интервала

t:=0,..10.

6 Построить график функции в точках интервала и отформатировать его.

 

 

Рисунок 26- График функции

II Найти для вышеприведенной задачи решение с использованием встроенной функции rkfixed.

1. Задать начальное условие

у(0):=0.1.

2. Создать функцию .

3. Указать количество шагов интегрирования К:=100.

4. Вычислить числовое решение задачи с использованием функции rkfixed. Знак равенства выбирается на панели Логика (Логические).

 

у=rkfixed(у, х1,х2,К, D).

 

5. Создать цикл х:=0,..100 для определения точек интервала

х:=0,..100.

6. Построить график функции в точках интервала и отформатировать его.

 

.

Примечание: результаты решения дифференциального уравнения двумя подходами должны совпадать. Можно также использовать для решения дифференциального уравнения следующие встроенные функции: Bulstoer, Rkadapt. Они имеют такие же параметры как и функция rkfixed, но результаты выдают с разной точностью:

,

.

Контрольные вопросы

1. Какие встроенные функции позволяют найти решение обычных дифференциальных уравнений?

2. Нужно ли обязательно задавать начальные условия для решения обычных дифференциальных уравнений?

3. Как влияет на результат количество точек разбивки интервала интегрирования обычных дифференциальных уравнений?