Лабораторная работа №7 Вычисление интегралов в задачах геометрии и механики

Цель работы: вычисление интегралов в задачах геометрии и механики в программе MathCad.

Указания к выполнению лабораторной работы:

I Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями.

1 Записать уравнение кривых, которые ограничивают площадь плоской фигуры.

2 Найти точки их пересечения, для того чтобы использовать их у двукратном интегрировании.

3 Обратиться на панели Символы к функции simplify.

4 Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования.

5 На месте ввода функции под интегралом ввести еще один оператор интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию

II Вычислить координаты центру тяжести пластины.

1 Записать уравнения кривых, которые описывают область D пластины.

2 Найти точки их пересечения, для того чтобы использовать их в двукратном интегрировании.

3 Найти площадь S однородной пластинки через двойной интеграл.

3.1 Обратиться на панели Символы к функции simplify.

3.2 Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования.

3.3 На месте ввода функции под интегралом ввести еще один оператор интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию

4 Найти аналогично статические моменты M_x и M_y пластины относительно осей Ох и Оу как двойные интегралы

5 Определить координаты центра тяжести как отношение подынтегральной функции, которая определяет статические моменты пластины относительно осей Ох и Оу

 

Таблица 7.1 – Варианты задания к лабораторной работе №7

Номер варианта	Функции для вычисления площади фигуры	Функции для вычисления координат центра тяжести фигуры
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
	y2=4x-4; y2=2x (извне параболы)	y2=x; x2=y
	3y2=25x; 5x2=9y	y=
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x
	x=4-y2; x+2y-4=0
	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x	y2=x; x2=y
	x=4-y2; x+2y-4=0	y=
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x
	x=4-y2; x+2y-4=0
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4
	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1;x=2

 

Продолжение табл. 7.1

	y2=4x-4; y2=2x (извне параболы)	y2=x; x2=y
	x=y2-2y; x+y=0	y=
	y=2-x; y2=4x+4
	3y2=25x; 5x2=9y
	x=y2-2y; x+y=0
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
	x=4-y2; x+2y-4=0	y2=x; x2=y

 

Пример

I Вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями x=4y-y² и x+y=6.

1 Найти координаты точек пересечения заданных линий, для чего необходимо решить систему уравнений (одной из встроенных функций MathCad, графически или решить систему уравнений).

x=4y-y²

x+y=6.

В результате будут получены точки пересечения А(4;2) и В(3;3).

2 Записать формулу для вычисления площади через кратный интеграл и использовать на панели Символы функцию simplify

.

II Вычислить координаты центра тяжести пластины, которая ограничена кривыми y²=4x+4 i y²=-2x+4.

Площадь

Статические моменты относительно осей Ох и Оу

 

Координаты центра тяжести

Контрольные вопросы

 

1 Какие геометрические характеристики можно вычислить с использованием интегралов?

2 Как вычислить центр тяжести через интегралы?