Примеры на наращение по простым процентным ставкам.

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

 

Практикум

 

Рекомендовано в качестве учебного пособия редакционно-издательским советом академии

 

НИЖНИЙ НОВГОРОД 2007

Простые ставки.

Наращение по простым процентным ставкам.

Определение: процесс наращения это процесс увеличения исходной суммы P до величины наращенной суммы S за некоторый промежуток времени t.

Определение: процентные деньги (проценты) равны разнице между наращенной исходной суммами.

I = S – P (1.1)

Определение: Ставка наращения равна отношению процентных денег к исходной сумме.

(1.2)

Определение: Коэффициент (множитель) наращения равен отношению наращенной и исходной сумм.

(1.3)

Определение: Временная база начисления ставки – период времени T, на котором определена ставка i.

Правила исчисления дней в году
и длительности финансовой операции

1. Банковский (точный) 365/365 – считается, что число дней в году равно 365, и срок проведения финансовой операции считается с точностью до дня.

Для високосного года число дней в году соответственно 366 дней.

2. Обыкновенный 365/360 – число дней в году считается равным 360 = 12 ´ 30, а срок проведения финансовой операции определяется с точностью до дня.

При подсчете срока финансовой операции «от даты до даты» берется число дней, а не число календарных дат. С 04.01. по 07.01 четыре календарных даты: 04.01, 05.01, 06.01, 07.01. Число дней с 07.01 – 04.01 = 3 дня.

3. Коммерческий 360/360 – полагают, что дней в году 360, в месяце считается 30 дней, срок проведения финансовой операции определяется с точностью до месяца.

Наращение По простым процентным ставкам

Определение: При начислении простых процентов база начисления всегда равна первоначальной сумме P, а величина начисленных процентов I пропорциональна отношению времени начисления t к периоду T, на котором определена ставка начисления процентов i и равна

(1.4)

Наращенная сумма (1.5)

Начисление процентов при различных ставках наращения

Процентные деньги, начисленные за всё время операции I_общ = I ₁ + I ₂ + I ₃

(1.6)

где

i_j – значение ставки начисления в соответствующий ей период начисления t_j.

Наращенная сумма

(1.7)

где

i_j – величина ставки начисления за период t_j;

j = 1, 2, 3, 4 – число периодов с различными ставками начисления.

Примеры на наращение по простым процентным ставкам.

ПРИМЕР 1. Найти удержанные проценты за ссуду 3 000 руб., начисленные за 5 месяцев по простой ставке 7% годовых.

Решение: Мы имеем исходную сумму долга по ссуде P = 3 000, ставку наращения по ссуде i = 0,07 и . Таким образом, проценты, начисленные к концу срока ссуды, будут равны руб.

ПРИМЕР 2. Найти проценты и итоговую сумму, если 5 000 руб. даны взаймы на 100 дней при простой ставке 4% годовых, (365/365).

Решение: Исходная сумма P = 5 000 руб., годовая ставка простых процентов i = 0,04 и отношение срока операции к периоду, где определена ставка . Тогда процентные деньги в конце займа руб. Общая сумма долга по займу соответственно будет равна S = 5 000 + 54,8 = 5 054,8 руб.

ПРИМЕР 3. Человеку, который инвестировал 100 000 руб., возмещены 101 000 руб. девяносто днями позже. С какой нормой (ставкой) зарабатывались эти деньги при обыкновенном простом проценте? (365/360).

Решение: Исходная сумма инвестиций P = 100 000 руб., сумма средств, вырученная от инвестиций S = 101 000 руб. и . Теперь, так как S = P + I, найдем процентные деньги I = S – P = 101 000 – 10 000 = 1 000, начисленные проценты равны , откуда , или 4%.

ПРИМЕР 4. Через 60 дней после займа клиент выплатил ровно 10 000 руб.

Сколько было занято, если 10 000 руб. включают основную сумму и обыкновенный простой процент при 12% годовых? (365/360).

Решение: Общая сумма долга в конце займа S = 10 000, ставка по долгу i = 0,12 и . Подставляя эти значения в выражение для наращенной суммы , получим 10 000 = P ´ 1,02, откуда P = 9 803,92 руб.

ПРИМЕР 5: Ссуда в размере P = 100 000 руб. выдана заемщику 04.01.2007 сроком на год (365/365) ставка по ссуде при этом в течение срока ссуды менялась согласно таблице. Требуется определить величину начисленных процентов для каждого из значений ставки и сумму процентов, начисленных по ссуде.

№ п/п	Величина ставки, %	Дата
начало действия ставки	окончание действия ставки
	12,50	04.01.2007	13.02.2007
	32,9	14.02.2007	30.03.2007
	21,6	31.03.2007	16.04.2007
	2,6	17.04.2007	04.01.2008

 

Определим количество дней действия каждой ставки

 

Дата	Количество дней действия ставки
начала действия ставки	окончания действия ставки
04.01.2007	13.02.2007
14.02.2007	30.03.2007
31.03.2007	16.04.2007
17.04.2007	04.01.2008

 

Далее определим по формуле (1.6) процентные деньги, начисляемые на сумму ссуды по каждой ставке за количество дней, которое действует ставка

 

№ п/п	Величина ставки, %	Количество дней действия ставки	Проценты, начисленные по действующей ставке
	12,50		1 369,86р
	32,9		3 966,03р
	21,6		887,67р
	2,6		1 866,30р

 

Определим сумму текущей задолженности на даты смены значения ставок

Дата смены ставки	Текущая сумма с учетом начисленных процентов
13.02.2007	101 369,86
30.03.2007	105 335,89
16.04.2007	106 223,56
04.01.2008	108 089,86

Сумма процентов, начисленных за год 8 089,86р.

ПРИМЕР 6. Определить коэффициент наращения по депозиту, размещенному по простой ставке 12% годовых на срок пять лет.

Решение: Коэффициент наращения – отношение наращенной суммы к исходной, т.е. депозиту. Наращенная сумма равна сумме депозита и начисленных процентов, начисленные проценты находятся как произведение депозита на значение ставки наращения, умноженные на отношение срока операции к периоду, на котором определена ставка наращения, т.е. .

ПРИМЕР 7. Коэффициент наращения по операции составил за два с половиной года 1,7. Какова ставка простых процентов по данной операции?

Решение: Коэффициент наращения равен откуда , или 28%.

ПРИМЕР 8. Сколько времени потребуется для наращения 3 120 руб. до 4 630 руб. по простой ставке 5,6% годовых, (365/365).

Решение: Процентные деньги по данной операции равны S – P = 4 630 – 3 120 = 1 510 руб., с другой стороны I = i ´ P ´ t / T, откуда t = I ´ T / i ´ P = 1 510 ´ 365/0,056 ´ 3 120 = 3154 дня.

ПРИМЕР 9. Определить сумму долга, выданного под простую ставку 6,7% годовых, если в конце 4-го года кредитор получил 6 450 руб.

Решение: Сумма S, полученная кредитором, возросла по сравнению с займом на величину процентных денег S = P + I. Процентные деньги по данному займу составляют . Таким образом, из выражения можно найти исходную сумму займа руб.