Критерии для принятия решений

Статистические игры образуют специальный класс матричных игр, в которых одним из участников является человек или группа лиц, объединенных общностью цели (игрок А — статистик), а другим — «природа» (игрок П). Под термином «природа» подразумевается весь комплекс внешних условий, при которых статистику приходится прини­мать решение. Природа безразлична к выигрышу и не стремится обратить в свою пользу промахи статистика. Статистик может использовать m стратегий , природа может реализовать n различных состояний . Статистику могут быть известны вероятности , с которыми природа реализует свои состояния . Если статистик имеет возмож­ность численно оценить (величиной ) последствия применения каждой своей чистой стратегии при любом состоянии природы, то игру можно задать платежной матрицей (табл. 4.3). При упрощении платежной матрицы статистической игры имеется своя специфика: отбра­сывать те или иные состояния природы (стратегии игрока П) нельзя, так как она может реализовать любое состояние независимо от того, выгод­но оно статистику или нет.

 

Таблица 4.3

 

	…
…	… … … … …	…
	…

 

 

При выборе оптимальной стратегии статистика пользуются различ­ными критериями. При этом опираются как на платежную матрицу, так и на матрицу рисков. Риском статистика, когда он пользуется чистой стратегией при состоянии природы , называется разность между максимальным выигрышем , который он мог бы получить, если бы достоверно знал, что природой будет реализовано именно состояние , и тем выигрышем , который он получит, используя стратегию , не зная, какое же состояние природа реализует. Таким образом, эле­менты матрицы рисков (табл. 4.4) определяются по формуле , где — максимально возможный выигрыш статистика при состоянии (максимальный элемент -го столбца платежной матрицы (табл. 4.3), т. е. ).

 

Таблица 4.4

 

	…
…	… … … … …	…

 

Если вероятности состояний природы известны, то пользуются критериями Байеса и Лапласа. В качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш статистика, т.е. обеспечивается

.

Если статистику представляются в равной мере правдоподобными все состояния природы , то и оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стратегия , обеспечивающая

.

Если вероятности состояний природы неизвестны, то пользуются критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Оптимальной по критерию Вальда считается чистая стратегия , при которой наименьший выигрыш статистика будет максимальным, т.е. ему обеспечивается

.

Оптимальной по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия , при которой минимизируется величина максимального риска , т.е. обеспечивается

.

Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия , при которой максимизируется величина , т.е. обеспечивается

,

где принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных соображений.

Анализ практических ситуаций проводится по нескольким критериям одновременно, что позволяет глубже исследовать суть явления и выбрать наиболее обоснованное решение.

 

Пример. За некоторый промежуток времени потребление основного вида топлива (мазута) на ТЭЦ в зависимости от качества составляет 18, 20 или 22 весовых единиц. Мазут можно закупить по оптовой цене, равной 7 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если для обеспечения заданной температуры теплоносителя объема приобретенного мазута окажется недостаточно, то можно закупить недостающее количество мазута по розничной цене, равной 9 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если же запас мазута превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 3 ден. ед. в расчете на единицу веса мазута.

Требуется:

1) придать описанной ситуации игровую схему. Выявить участников игры и установить их характер. Указать допустимые стратегии сторон;

2) вычислить элементы платежной матрицы;

3) дать обоснованные рекомендации об уровне запаса мазута, при котором совокупные затраты на приобретение, содержание и хранение мазута будут минимальными при следующих предположениях:

а) вероятности потребности мазута в количестве 18, 20 и 22 весовых единиц известны и равны 0,2; 0,3 и 0,5. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Байеса;

б) вероятности потребности мазута в количествах 18, 20 и 22 весовых единиц одинаковы. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Лапласа;

в) о вероятностях потребления мазута в количествах 18, 20 и 22 весовых единиц ничего определенного сказать нельзя. Найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (параметра ).

 

Решение

1) В рассматриваемой ситуации в качестве статистика А выступает руководство ТЭЦ, заинтересованное в минимизации затрат на приобретение мазута. Вторым игроком является «природа» – совокупность объективных факторов, благодаря которым потребление мазута может быть различным.

Приобретая мазут, руководство ТЭЦ может ориентироваться на его потребление либо 18 весовых единиц (первая чистая стратегия ), либо 20 (вторая чистая стратегия ),либо 22 (третья чистая стратегия ).

«Природа» (совокупность объективных неопределенных факторов) может реализовать состояния , и – необходимое потребление мазута 18, 20 и 22 весовых единиц соответственно.

Таким образом, платежная матрица статистической игры будет иметь размерность 3x3.

2) «Выигрышами» статистика А будут затраты, связанные с реализацией стратегий , и , которые являются элементами платежной матрицы. Рассчитаем их.

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 18 весовых единиц мазута и столько же потребовалось для отопительного сезона. Т.к. оптовая цена мазута равна 7 ден. ед. за весовую единицу, то затраты составят ден. ед. Следовательно .

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 18 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 20 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 7 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 18 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. На закупку недостающих 20–18=2 весовых единицы мазута по розничной цене, равной 9 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят ден. ед. Следовательно .

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 18 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 22 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 7 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 18 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. На закупку недостающих 22–18=4 весовых единицы мазута по розничной цене, равной 9 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят ден. ед. Следовательно .

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 20 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 18 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 7 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 20 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. Запас мазута превысит потребности на 20–18=2 весовых единицы, затраты на хранение которых составят ден. ед. (стоимость хранения весовой единицы мазута равна 3 ден. ед.). Следовательно .

Аналогично определяются остальные элементы платежной матрицы. Платежная матрица игры представлена в табл. 4.5.

 

Таблица 4.5

 

	(18)	(20)	(22)
(18)	–126	–144	–162	–162
(20)	–146	–140	–158	–158
(22)	–166	–160	–154	–166
	–126	–140	–154
	0,2	0,3	0,5

 

3) Для определения оптимальной стратегии воспользуемся различными критериями.

а) Оптимальной по критерию Байеса будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш достигает максимального значения.

и

.

б) Оптимальной по критерию Лапласа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш достигает максимального значения.

и

.

в) Оптимальной по критерию Вальда будет чистая стратегия , т.к. именно при ней наименьший выигрыш статистика будет максимальным (см. табл. 4.5).

.

г) Чтобы воспользоваться критерием Сэвиджа, составим по табл. 4.5 матрицу рисков с элементами (табл. 4.6).

Таблица 4.6

 

	(18)	(20)	(22)
(18)
(20)
(22)

 

Так,

и т.д.

Оптимальной по критерию Сэвиджа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней максимальный риск будет минимальным (см. табл. 4.6).

.

д) Оптимальной по критерию Гурвица будет чистая стратегия , т.к. именно при ней величина

достигает максимального значения.

и

.

Проведенное исследование по совокупности критериев показало, что чаще других оптимальной называлась чистая стратегия . Правомерно ее и рекомендовать руководству ТЭЦ для реализации, т.е. закупить 18 весовых единиц мазута.

Тема 5. СЕТЕВЫЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ.

Общие понятия моделей СПУ

Основными понятиями моделей задач сетевого планирования и управления являются работа, событие и путь. Под работой понимаются:

- любые действия, требующие затрат времени, труда, материальных ресурсов и производственных мощностей;

- ожидание, т.е. пассивный процесс, требующий только затрат времени;

- зависимость или причинно-следственная связь между двумя или несколькими работами, не предполагающая затрат ресурсов и времени (фиктивная работа).

Под событием понимают результат завершения одной или нескольких работ, являющийся предпосылкой для начала последующих работ. Не имеющее предшествующих работ событие называется исходным, а не имеющее последующих работ – завершающим.

Последовательность работ, ведущая от исходного события к завершающему, называется полным путем. Продолжительность пути равна сумме продолжительностей работ, составляющих этот путь. Наиболее продолжительный полный путь называется критическим. Он определяет минимальное время выполнения всего комплекса работ. Это минимальное время называется критическим сроком (). Составляющие критический путь работы называются критическими. Это объясняется тем, что любое увеличение их продолжительности или за­держка в их выполнении увеличивают время осуществления всего комплекса работ.

Каждый комплекс работ можно представить в виде некоторого графа, называемого сетевым графиком. В терминах теории графов работам соответствуют ориентированные дуги, весами которых является продолжительность работы в выбранных единицах измерения (иногда указываются и другие числовые характеристики – расход ресурса, количество исполнителей и т.д.). Событию соответствует вершина графа, она не имеет длительности. Граф задается перечнем всех работ, их продолжительностью и перечнем всех работ, непосредственно предшествующих каждой работе.