Многоканальная система с отказами.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживании имеет интенсивнбсть . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S ₀, S ₁, S ₂,..., S_k,... S_n, где S_k — состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 3.5.

Рис.3.5

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью l. Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S ₂ (два канала заняты), то она может перейти в состояние S ₁ (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2 m. Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S ₃ (три канала заняты) в S ₂, будет иметь интенсивность 3 m, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле (4.8) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

(3.9)

где члены разложения будут представлять собой коэффициенты при р ₀ в выражениях для предельных вероятностей p ₁, p ₂,.... p_k,,.... p_n. Величина

(3.10)

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

(3.11)

или, учитывая (3.9), (3.10):

(3.12)

Формулы (3.11) и (3.12) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания. Эрланг А. К. (конец XIX в. — начало XX в.) — датский инженер, математик).

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

(3.13)

Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена:

. (3.14)

Абсолютная пропускная способность:

. (3.15)

Среднее число занятых каналов k есть математическое ожидание числа занятых каналов:

, (3.16)

где p_k — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (3.11), (3.12).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем m заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

(3.16)

(3.17)

СМО с ожиданием (очередью)

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей — абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа Р_отк среднего числа занятых каналов k (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: L_сист — среднее число заявок в системе; Т_сист — среднее время пребывания заявки в системе; L_оч — среднее число заявок в очереди (длина очереди); Т_оч — среднее время пребывания заявки в очереди; Р_зан — вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).