ТЕМА 5. Исследование функций с помощью производных.

ТЕМА 1. Матрицы и определители. Решение и исследование систем линейных алгебраических уравнений

1. Матрица. Различные виды матриц.

2. Сумма, разность и умножение матриц. Свойства сложения и умножения матриц.

3. Определители второго и третьего порядков, их свойства.

4. Алгебраические дополнения и миноры. Понятие об определителе n - го порядка.

5. Обратная матрица. Способ нахождения обратной матрицы.

6. Матричная запись системы линейных уравнений и решение системы в матричной форме.

7. Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Правило Крамера.

8. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

9. Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера-Капелли.

10. Исследование решений систем линейных алгебраических уравнений.

 

ТЕМА 2. Векторная алгебра

1. Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами. Угол между векторами.

2. Прямоугольная система координат. Координаты векторов. Разложение вектора по базису.

3. Направляющие косинусы векторов.

4. Линейные операции над векторами в координатах. Условие коллинеарности векторов.

5. Скалярное произведение двух векторов. Условие ортогональности.

6. Свойства скалярного умножения. Скалярные произведения координатных ортов.

7. Скалярное произведение в координатной форме. Угол между векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.

8. Проекция вектора на ось и на другой вектор.

9. Векторное произведение двух векторов. Условие коллинеарности векторов. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.

10. Свойства векторного умножения. Векторные произведения координатных ортов.

11. Векторное произведение двух векторов в координатной форме.

12. Смешанное произведение трех векторов. Условие компланарности векторов. Объём параллелепипеда и тетраэдра.

13. Смешанное произведение трех векторов в координатной форме. Свойства смешанного произведения.

 

ТЕМА 3. Введение в математический анализ

1. Числовая последовательность и ее предел.

2. Определение функции. Способы задания функции.

3. Обратная функция. Сложная функция.

4. Определение предела функции в точке на языке «ε-δ». Понятие односторонних пределов. Формулировка теоремы о существовании предела функции f(х) в точке х₀.

5. Определение предела функции на бесконечности.

6. Теорема о сумме, разности, произведении и частном двух функций, имеющих пределы в точке.

7. Теорема о пределе функции, заключенной между двумя функциями, имеющими один и тот же предел.

8. Определение бесконечно малой функции. Теорема о сумме и произведении конечного числа бесконечно малых функций, а также о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

9. Бесконечно большие функции и их свойства.

10. Правила сравнения бесконечно малых функций.

11. Первый замечательный предел.

12. Второй замечательный предел.

13. Определения непрерывности функции.

14. Точки разрыва функции и их классификация.

 

ТЕМА 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

1. Производная функции одной переменной, её геометрический и физический смысл.

2. Непрерывность функции одной переменной, имеющей конечную производную.

3. Уравнение касательной и нормали к графику.

4. Теоремы о производной суммы, разности, произведения и частного двух функций одной переменной.

5. Производная сложной функции.

6. Производная обратной функции.

7. Производные функций, заданных неявно и параметрически.

8. Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

9. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

10. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

11. Правило Лопиталя.

ТЕМА 5. Исследование функций с помощью производных.

1. Условие возрастания и убывания функций. Признак монотонности функции.

2. Точки экстремума функции одной переменной.

3. Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

4. Первое достаточное условие экстремума функции одной переменной.

5. Второе и третье достаточные условия экстремума функций одной переменной.

6. Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функции. Теорема о существовании выпуклости, вогнутости.

7. Теоремы о необходимом и достаточном условии существования точек перегиба.

8. Асимптоты кривой.