Вынужденные колебания. Резонанс смещений,

Скоростей и ускорений

 

Анализ вынужденных колебаний проводим на основе уравнения (62) для смещения, приведя его к стандартному виду

х¹¹ + 2βх¹ + ω₀²х = f (t), (85)

 

где f (t) – вынуждающая сила, действующая на единичную массу. Если f (t) = f₀ cosωt, то решение в виде установившихся колебаний задается соотношением (63):

x = a cos(ωt - j),

где

a = f₀/() (86)

– амплитуда колебаний, сдвиг фаз между установившимися колебаниями и вынуждающей силой задается соотношением

tg j = 2βω/(ω₀² – ω²). (87)

Для амплитуд скоростей и ускорений соответственно имеем:

V (ω) = ω f₀/(),

A (ω) = ω² f₀/(). (88)

Важной характерной чертой вынужденных колебаний, кроме переходного процесса (рис. 22), является наличие резонанса смещений, скоростей и ускорений, в зависимости от того, частотная характеристика амплитуды и фазы какой из этих величин рассматривается.

Приведем важнейшие результаты изучения резонансных кривых А(ω), V(ω), A(ω) в таблице 2.

Таблица 2

Характерные точки резонансных кривых

 

	Резонанс смещений А(ω)	Резонанс скоростей V(ω) = ω А(ω)	Резонанс ускорений A(ω) = ω2 А(ω)
Резонансная частота	ωрА =	ωрV = ω0	=
Амплитуда в резонансе	А(ωрА) =	V(ωрV) =	A () =
Поведение на низких частотах	А(0) =	V(0) = 0	A () = 0
Поведение на высоких частотах	А () = 0	V( ) = 0	A () =
Сдвиг фаз на резонансной частоте	tg φ(ωрА) = -	φ(ωрV) =	tg φ() = =
Примечания	β < ω0

 

Универсальный вид резонансных кривых

 

Будем исходить из выражения для амплитуды скорости при резонансе

V (ω) = ω f₀/().

Учтем, что на резонансной частоте амплитуда скорости равна V(ω_р) = f₀/2β. Введем относительную амплитуду скорости

 

 

Введем добротность Q по формуле Q = . Тогда

=

 

Преобразуем выражение с учетом того, что для практики важен случай близости w и w₀:

 

Полученную величину назовем относительной расстройкой резонансного контура.

Окончательно имеем

 

. (89)

Эта элементарная функция хорошо изучена и составлены соответствующие математические таблицы.

Аналогичным образом можно представить и другие резонансные кривые.

Итак, для того, чтобы колебания системы приобрели резонансный характер необходимо:

- чтобы система могла колебаться с частотой (вынуждающей) внешней силы;

- чтобы затухание в системе было мало (β < ω₀);

- чтобы частота внешней силы была близка к частоте собственных колебаний системы;

- чтобы переходной процесс закончился (τ > 1/β).

В целом ряде случаев целесообразно избегать резонанса, т.е. погасить колебания.

Для этого необходимо:

- чтобы колебательная система имела собственные частоты далёкие от частоты внешних воздействий и от частот, кратных частоте внешних периодических (но не гармонических) воздействий (см. теорему Фурье);

- в системе должно быть значительное затухание (β > ω₀);

- применять демпфирование колебаний.

Рассмотрим последний случай детальнее на простом примере. Пусть имеется материальная точка массой М, подвешенная на пружине жесткостью К. Пусть к этой материальной точке прикреплена пружина жесткости k и к этой пружине материальная точка массой m. Пусть на точку М действует внешняя гармоническая сила

F₀ sinωt. Поскольку постоянная сила тяжести только смещает положение устойчивого равновесия, не будем ее учитывать. Уравнение движения массы М имеет вид

 

MX^" = - KX – k(X - x) + F₀ sinωt,

а массы m -

mx^" = k(X - x).

 

Здесь k(X - x) – сила, с которой взаимодействует эти массы посредством пружины жесткостью k; Х – смещение массы М от положения равновесия, а х – смещение другой массы от своего положения

равновесия. Так как имеет место установившийся колебательный режим, то решения этих уравнений можно искать в виде

 

X = A sinωt; x = a sinωt.

 

Вторые производные этих смещений

 

X^" = -ω² A sinωt и x^" = -ω² a sinωt.

Подставим это выражение в первое и второе уравнения движения масс соответственно. Получим:

- M ω² A + KA + k(A - a) - F₀ = 0,

- mω²a - k(A - a) = 0.

 

Из второго выражения сразу имеем:

A = a.

Это выражение обращается в нуль, как только ω = ω₀ = . Из первого выражения при А = 0 имеем а = - F₀/k. Таким образом, при А = 0, т.е. при Х = 0 сила, действующая со стороны второго тела на первое имеет вид:

 

f₁₂ = - k(X - x) = kx = - F₀ sinωt = F₀ sin(ωt + π),

 

т.е. она равна по величине и противоположна внешней вынуждающей силе. Поэтому первое тело вообще не колеблется. Имеет место демпфирование колебаний.