Колебания в магнитном поле

Задачи на колебательное движение тел (проводников, магнетиков) в магнитном поле можно подразделить на три основных типа. К первому типу отнесем задачи, в которых колебания происходят около смещенного положения равновесия. Смещение осуществляется за счет магнитного взаимодействия поля и тела. Ко второму типу отнесем задачи, в которых колебания совершает магнитный диполь. При этом пренебрегается электромагнитной индукцией. К третьему типу отнесем задачи, в которых явлением электромагнитной индукции пренебречь нельзя. Рассмотрим последовательно все эти варианты.

Задача 6. Тонкий металлический стержень массой m и длиной l подвешен горизонтально на двух легких проводящих нитях длиной a. Система находится в однородном вертикальном магнитном поле индукции B. По стержню протекает постоянный электрический ток I (рис. 10). Найти период малых колебаний стержня.

 

Решение.

Прежде всего, определим новое положение равновесия

стержня (при включении магнитного поля). Под действием силы Ампера нить отклонится на угол α такой, что

 

tgα = F_A/mg = IBl/mg.

 

Рис. 10. Колебания стержня с током в однородном магнитном поле

 

Можем считать, что система находится в некотором «эффективном поле, создающим ускорение g^*», где вектор g^* ориентирован под углом α к g и имеет величину

 

.

 

Тогда искомый период найдем по аналогии

 

.

Задача 7. Определите частоту малых колебаний металлического диска массой m, толщиной d и радиусом R (R>>d), подвешенного на пружине жесткостью k и помещенного в однородное магнитное поле с индукцией . Вектор индукции лежит в плоскости диска и направлен горизонтально (рис. 11). Силу тяжести можно не учитывать.

 

Решение.

При движении проводника в магнитном поле на свободные заряды в проводнике действует сила Лоренца, которая заставляет заряды двигаться перпендикулярно векторам индукции магнитного поля и скорости проводника (рис. 12). Наличие этой силы приводит к тому, что на поверхности проводника возникают заряды.

 

Рис. 11. Колебания проводящего диска в однородном магнитном поле

 

Такое движение зарядов будет продолжаться до тех пор, пока сила электрического поля, созданного индуцированными зарядами, не будет компенсировать силу Лоренца. Для металлов время установления такого равновесия чрезвычайно мало (≈ 10^-14с).

 

Поэтому можно считать, что поверхностная плотность σ индуцированных зарядов все время соответствует скорости движения v проводника (даже если скорость проводника изменяется со временем). Найдем это соответствие. Сила Лоренца

F_л = evB.

Сила, действующая на электрон со стороны электрического поля

 

F_эл = eE = e σ/ε₀.

Поэтому

σ = ε₀vB.

 

 

Рис. 12. Возникновение силы Лоренца в проводнике, движущемся с постоянной скоростью в однородном магнитном поле. Точкой обозначен электрон

 

Так как скорость проводника изменяется, изменяется и величина σ. Изменение поверхностной плотности заряда обусловлено электрическим током внутри проводника. Сила этого тока

 

,

 

где S = πR² – площадь диска; а – его ускорение.

Наличие тока приводит к тому, что на диск действует сила Ампера F_А, направленная вертикально. Причем

 

.

 

При этом уравнение движения диска имеет вид

,

или .

Как видно, это уравнение гармонических колебаний, поэтому частота колебаний

.

Решение этой задачи позволяет сделать много обобщений: например, диск можно рассматривать как конденсатор; интересно рассмотреть влияние потерь энергии вследствие выделения джоулевой теплоты. Остановимся на анализе величины

.

Эта величина имеет размерность массы. Что же это за масса? Обратим внимание на то, что напряженность электрического поля внутри диска E = vB, поэтому

,

где энергия электрического поля внутри диска, а последнее выражение можно представить в привычной форме:

. Иными словами, мы можем приписать некоторую эффективную массу самому электромагнитному полю.

 

Задача 8.

а. Математический маятник – железный шарик массой m, висящий на длинной нити, - имеет период Т₀. В присутствии магнита, расположенного чуть ниже шарика (рис. 12а), период колебаний стал равным Т. Определить действующую на шарик магнитную силу.

б. Железный шарик маятника поместили между полюсами магнита так, что на него действует горизонтальная магнитная сила (рис. 12б). Найти эту силу и новое положение равновесия

шарика, если период его колебаний после включения магнитного поля стал равным Т.

 

Решение

Из чертежа F_возвр. = mgsin α - F_mcos α, F_m – сила, действующая на шарик со стороны магнита.

При равновесии F_m = Tsinα₀ ,

 

mg = Tcosα₀, , , F_m = mg tgα₀,

 

а б

Рис. 12. Колебания ферромагнитного тела в однородном магнитном поле

 

что и требовалось. При этом

_.

 

б) В приближении малости угла отклонения

; ; Тогда как обычно Собственная частота

; по условию ; . Отсюда

.

Общая сила, действующая на маятник равна по величине

 

. Именно она играет роль «силы тяжести».

 

Уравнение колебаний:

 

; ; ;

; ;

; Избавимся от радикалов, возводя в квадрат. Получим . Дальнейшие преобразования очевидны: ;

 

; ; .

 

Отсюда ответ: .

 

 

Задача 9.

Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной к направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции этого поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5,0 раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затуханием пренебречь.

 

Решение.

Магнитная стрелка является магнитным диполем точно так же, как замкнутый виток (рамка, контур) в котором ток поддерживается постоянным. Мы можем это утверждать на основании совпадения картин силовых линий (в общих чертах). Поэтому данную ситуацию можно рассматривать как более общую задачу о колебаниях магнитного диполя (витка произвольной формы), при условии, что явлением электромагнитной индукции мы пренебрегаем. Мы также пренебрежем трением в опоре и потерями на перемагничивание стрелки.

Будем считать, что ось вращения проходит через центр масс стрелки и применим уравнение моментов:

J_c φ" = - M;

где J_c – момент инерции стрелки относительно указанной оси, М – момент возвращающих сил. Как показано в т. 2, § 46, с. 136, момент возвращающих сил, действующих на магнитный момент величины р_m во внешнем магнитном поле с индукцией В по величине равен

М = р_mВ sin φ.

Поэтому для малых колебаний имеем

φ" + φ = 0,

откуда

ω₀² = .

Далее переходим к периоду колебаний в первом и во втором случае:

Т₀ = 2π ; Т₀₁ = 2π .

Отсюда Т₀₁ = . Если период колебаний уменьшился в η раз, то индукция поля возросла в η² раз.

Отметим, что колебания совершаются около положения устойчивого равновесия, соответствующего параллельному расположению векторов и .

 

Задача 10. Катушка индуктивности L соединяет верхние концы двух вертикальных медных шин, отстоящих друг от друга на расстояние a. Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводник-перемычка массой m (без нарушения контакта с шинами). Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярным к плоскости шин (рис. 14). Найти закон движения проводника х(t). Сопротивление всех проводников пренебрежимо мало.

 

Решение.

При движении перемычки вниз со скоростью v магнитный поток Ф пронизывающий контур ABCD равномерно нарастает. По закону электромагнитной индукции в нем возбуждается индукционный ток, магнитное поле которого препятствует нарастанию магнитного потока внешнего поля с индукцией В. Этот ток i взаимодействует с полем В и тормозит перемычку AD. Э.Д.С. индукции

 

Ɛ_и = - = - (BS) = - (Bax),

 

 

Рис. 14. Электрическая цепь с перемычкой в однородном магнитном поле

 

здесь B и a – постоянные величины, а = v – скорость перемычки.

Поскольку сопротивление отсутствует, то точно такое же напряжение возникает на катушке индуктивности:

Ɛ_L = - L = - Ba .

После интегрирования получаем

i = (Ba/L) (x₀ -x),

x₀ – начальная координата перемычки.

Сила Ампера, действующая на перемычку

F_A = iaB = (x₀ -x).

Уравнение движения перемычки

mx" = mg + F_A.

После приведения к стандартному виду имеем

x" = g + (x₀ -x).

Введем обозначение ω₀² = . Тогда

x" + ω₀² х = g + ω₀² x₀

Это уравнение колебаний осциллятора находящегося под воздействием внешней постоянной силы. Его решение запишется в виде гармонических колебаний около смещенного положения равновесия

x(t) = (x₀ + ) + A cos ω₀t (55)

в чем убеждаемся простой подстановкой. Функция косинус выбрана в соответствии с тем, чтобы удовлетворить начальному условию для скорости перемычки v(0) = 0. В начальный момент положение перемычки определяется координатой х₀. Подставим это условие в решение х(t) и получим уравнение для определения амплитуды А:

 

А = - . Поскольку в начальный момент при t = 0 сила тока в цепи равна нулю, то следует положить x₀ = 0. Окончательно имеем

x(t) = - cos ω₀t.