Определение вероятности и свойства, вытекающие из её определения. Классификация событий. Диаграммы Венна

 

Под вероятностью, в широком смысле, понимают количественную меру неопределенности. Это - число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного события. Например, нас может интересовать вероятность того, что объем продаж некоторого продукта не упадет, если цены вырастут, или вероятность того, что строительство нового дома завершится в срок.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин “случайный”.

Мы определим испытание (опыт, эксперимент) как процесс, включающий определенные условия, который приводит к одному из нескольких возможных исходов. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения. Приведем несколько примеров испытаний и их исходов:

 

Испытание	Исход испытания
Подбрасывание монеты Контроль качества деталей Продажа квартиры Результат футбольного матча	Цифра, герб Годная, бракованная Продана, не продана Победа, проигрыш, ничья

 

Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием. Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.

Достоверное событие - это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное; другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на Землю в силу действия закона притяжения, то есть результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события условимся обозначать символом .

Невозможное событие - это событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания). Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное; выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа так же невозможное событие. Невозможное событие обозначим Æ.

Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными.

Совместные события. Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других. Например, при бросании трех монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах.

В магазин вошел покупатель. События “в магазин вошел покупатель старше 60 лет” и “в магазин вошла женщина” - совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.

Несовместные события. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появления других. Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы (одной партии) - три несовместных события.

Единственно возможные события. События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или... или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет). Например, некоторая фирма рекламирует свой товар по радио и в газете. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: “потребитель услышал о товаре по радио”, “потребитель прочитал о товаре в газете”, “потребитель получил информацию о товаре по радио и из газеты”, “потребитель не слышал о товаре по радио и не читал газеты”. Эти четыре события единственно возможные.

Равновозможные события. Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной кости появление каждой из её граней - события равновозможные.

Противоположные события. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными. Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.

Полная группа событий. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.

 

Различные события и действия с ними удобно рассматривать с помощью, так называемых, диаграмм Венна (по имени английского математика-логика Джона Венна (1834 -1932)).

Изобразим полную группу событий в виде квадрата, тогда круг внутри квадрата будет обозначать некоторое событие, скажем А, а точка – элементарное событие – Е.

 

А · Е а

 

Рис. 2.1

Рисунок 2.1 демонстрирует два противоположных события А и не А, которые дополняют друг друга до полной группы событий. Противоположное событие обозначается -

 

А В

Рис.2.2

 

Пересечение А и В (обозначается как A  B) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами и А и В.

Объединение А и В (обозначается A B) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе.(рис. 2.2)