Понятие неопределенного интеграла

Если функция F(x) является первообразной ф-ии f(x) на (a,b), то множество всех первооб-х для f(x) задается формулой F(x)+C, где С-постоянное число.

Множество всех первооб-х ф-ий F(x)+C для f(x) наз-ся неопределнным интегралом от ф-ии f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx. Таким образом, по определению ∫f(x)dx=F(x)+C.

Операция нахождения неопределенного интеграла от ф-ии наз. интегрированием этой ф-ии.

 

Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению 2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы 3. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла 5. Если , то

Таблица основных неопределенных интегралов

 

49. Основные методы интегрирования (метод интегрирования подстановкой)

Метод подстановки (замена переменной). Если удается свести подинтегральное выражение к виду f(ų(t) ų’(t)dt и известен ∫d(x)dx=F(x)+C, то интеграл ∫f(ų(t)ų’(t)dt= F(ų(t))+C. Иногда приходится исходную переменную выражать через дифференциальную ф-ию: ∫f(x) dx, x=ų(t), dx= dų(t)=ų’(t)dt. Др. словами, формулу интегрирования подстановкой можно применять справа налево.

50. Основные методы интегрирования (метод интегрирования по частям)

Пусть u=u(x) и u=v(x) –ф-ии, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u·dv+v·du. Интегрируя это равенство, получим ∫d(uv)=∫u·dv+∫v·du или ∫u·dv=uv-∫v·du - формула интегрирования по частям. 1.Если в произведении одним из множителей явл log или arc ф-ии, то за u берут их, а все ост-ые принять за dv. 2.Если не Iog, не arc ф-ий нет, то за u берут степенную ф-ю. 3.Если под знаком интеграла стоит произведение показат-ой ф-ии на тригонометрич-ую, то нет разницыЭ, что принять за u.

 

Простейшие дроби 4 типов.

Дробь вида P(x)/Q(x), где Pn(x) и Qm(x) являются многочленами степени n и m, называется рациональной. Если показатель степени числителя больше показателя степени знаменателя, то дробь называется неправильной, в противном случае — правильной. Правильные рациональные дроби вида: (I). A/x-a; (II). A/(x-a)ⁿ (n≥2, nЄ N); (III). Mx+N/x²+px+q (корни знаменателя комплексные, т.е p²-4q<0); (IV). Mx+N/(x²+px+q)ⁿ (n≥2, корни знамен. компл-е), где A, a, M, N, p, q - действительные числа, наз-ся простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

 

 

52. Интегрирование рациональных функций.

Опр. Рациональной называется функция вида P_m(x)/Q_n(x) где P_m и Q_n есть многочлены порядков m и n соответственно P_m (x)= a_mx^m + a_m-1x^m-1 +..a₁x + a₀; Q_n(x)= b_nxⁿ + b_n-1x^n-1+..b₁x+b₀;a_m, b_n = 0. Дробь P_m(x)/Q_n(x) наз-ся правильной если порядок числителя меньше порядка знаменателя. Любую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей 4-х видов. Опр. Простейшими дробями наз-ся дроби вида A/ x-a; B/ (x-a)^k; C_x + D/ x² +px+g; M_x +N/ (x²+px-g)ⁿ; интеграл от простейшей дроби: ∫ A/x-a(dx писать на ровне с дробью)= A∫ dx/ x-a=∫d(x-a)/x-a= Aln|x-a|+C.