Однофакторный дисперсионный анализ

 

 

Равенство (однородность) ряда средних значений, т.е. не значимость влияния различных технологических факторов производства полуфабрикатов и деталей, конструктивных особенностей испытуемых элементов, влияния условий испытаний и т.д. на средние значения исследуемых характеристик оценивают с помощью дисперсионного анализа результатов испытаний.

Первоначально для каждой партии вычисляют оценки среднего значения и дисперсии, после чего проверяют гипотезу об однородности ряда дисперсий. В случае подтверждения гипотезы определяют оценку общего среднего

= , (3.21)

где m – общее число партий; – оценка среднего значения характеристик свойства i -й партии; n _i – число образцов i -й партии.

Определяют дисперсию s ²₁ (межпартийная компонента) характеризующую рассеяние по факторам (число степеней свободы k ₁ = m – 1)

s ²₁ = . (3.22)

Определяют дисперсию s ²₂ (внутрипартийная (остаточная) компонента) характеризующую внутреннее рассеяние, связанное с неоднородностью конструкционных материалов, случайными условиями испытаний и т. д. (число степеней свободы k ₂ = – m)

s ²₂ = . (3.23)

Проверку нулевой гипотезы о равенстве (однородности) средних проверяют с помощью критерия F.

Если дисперсионное отношение F = s ²₁ / s ²₂ окажется меньше табличного значения F _1–α, найденного для числа степеней свободы k ₁ = m – 1; k ₂ = – m и уровня значимости α (таблица 3.3), то исследуемые факторы не оказывают значимого влияния на исследуемые свойства, т.е. нулевая гипотеза не отклоняется. В этом случае все рассматриваемые результаты испытаний принадлежат одной генеральной совокупности, распределённой нормально с параметрами σ² и a.

Оценкой σ² служит выборочная полная (общая) дисперсия s ², а оценкой а – выборочное общее среднее .

s ² = . (3.24)

Доверительные интервалы для а и s ² для k = – 1 степеней свободы могут быть найдены из выражений (32) и (34)

, (3.25)

. (3.26)

Если справедливо неравенство F = s ²₁ / s ²₂ > F _1–α, то нулевую гипотезу о равенстве средних значений характеристик рассматриваемых свойств отвергают.

В общем случае здесь имеется m нормально распределённых генеральных совокупностей с общей дисперсией σ² и разными средними значениями а _i. Оценкой генеральной дисперсии σ² является величина s ²₂, оценками генеральных средних а _i – выборочные средние . Доверительные интервалы для σ² и а _i для k = – m степеней свободы определяют на основании выражений, аналогичных формулам (3.25) и (3.26):

, (3.25)

. (3.26)

Степень вариации генеральных средних характеристик рассматриваемых свойств отдельных совокупностей, вызванная влиянием уровня исследуемого фактора, оценивается с помощью статистики

σ² _a = , (3.27)

называемой дисперсией значений. Это название является условным, так как генеральные средние а ₁, а ₂,…, а _i,…, а_m представляют собой детерминированные величины, а не случайные.

Дисперсия σ² _a является количественной характеристикой стабильности технологического процесса по исследуемым свойствам.

Выборочную дисперсию средних значений (оценку σ² _a) для разных объёмов отдельных партий вычисляют по формуле

s ² _a = (3.28)

и при n ₁ = n ₂ = … = n _i = … = n _m = n по формуле

s ² _a = (s ²₁ – s ²₂)/ n. (3.29)

Пример 3.8. По результатам испытаний провести дисперсионный анализ с целью проверки равенства средних значений

Результаты испытаний	Объём выборки		s2i
403; 404; 411; 403; 405; 408; 410; 407; 405; 410 413; 408; 415; 415; 416; 408 400; 400; 405; 410; 407; 403 420; 412; 406; 412; 408; 418; 416 400; 410; 415; 416; 403 421; 418; 416; 415; 410 405; 406; 405; 415; 401 425; 421; 415; 420; 419; 416 408; 410; 419; 400; 403 428; 421; 409; 418; 413 408; 418; 416; 416; 415; 410 420; 418; 425; 406; 413 403; 405; 418; 410; 407; 405; 410 412; 406; 412; 408; 418 412; 416; 402; 408; 408		406,6 412,5 404,2 414,6 408,8 416,0 406,4 419,3 408,0 417,8 413,8 416,4 408,3 411,2 409,2	9,16 13,10 15,77 16,95 50,70 16,50 26,80 13,07 53,50 53,70 15,37 52,30 25,24 21,20 27,20

 

Учитывая, что в каждой партии число образцов n _i ≥ 5 и объёмы выборокнеодинаковые, проверку однородности дисперсий производим по критерию Бартлета

По формуле (3.13) вычисляем статистику

χ² = = 11,6337,

где с = 1 + = 1,0777;

s ² = = 25,06.

В таблице 2.10 для α = 0,01 и числа степеней свободы k = m – 1 = 14

χ²_0,01 = 29,1

Условие (3.16) выполняется

χ² = 25,06 < χ²_0,01 = 29,1

Следовательно дисперсии можно считать однородными.

Оценку генерального среднего производим по формуле (3.21)

= = 411,33.

Межпартийная компонента дисперсии (3.22) (число степеней свободы k ₁ = m – 1 = 14)

s ²₁ = = 126,39.

Внутрипартийная (остаточная) компонента дисперсии (3.23) (число степеней свободы k ₂ = – m = 87 – 15 = 72)

s ²₂ = = 25,4

Дисперсионное отношение

F = s ²₁ / s ²₂ = 4,974.

Меньше табличного (таблице 3.3)

В этом случае все рассматриваемые результаты испытаний принадлежат одной генеральной совокупности, распределённой нормально с параметрами

= 411,33.

s ² = 25,06.