Теоремы о производной суммы, разности, произведения и частного двух функций одной переменной.

Производная произведения:

Производная частного:

Доказательство.
Формулу производной частного можно получить, следуя обычной схеме вычисления производной. Но можно поступить проще. Пусть Найдем производную функции u по правилу дифференцирования произведения:
Выразим из этой формулы а вместо h подставим его значение Получим:

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

10. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа? Доказательство?

Теорема Ролля:

Пусть функция y=f(x):

1. Определена и непрерывна на [a,b]

2. Дифференцируема в (a,b)

3. На концах отрезка принимает равные значения.

Тогда внутри интервала найдется хотя бы одна точка С, в которой производная =0

Теорема Лагранжа;

Пусть функция y=f(x):

1. Определена и непрерывна на [a,b]

2. Дифференцируема в (a,b)

Тогда внутри (a,b) найдется хотя бы одна точка С, в которой выполняется условие:

Доказательство:

Для доказательства возьмем вспомогательную функцию:

Эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля.

1.

2.

3.

Тогда существует точка С, такая что

Ч.Т.Д.

Теорема Коши:

Пусть функция f(x) и g(x):

1. Определена и непрерывна на [a,b]

2. Дифференцируема в (a,b)

3.

Тогда внутри найдется хотя бы одна точка С, в которой выполняется условие

Доказательство:

Для доказательства возьмем вспомогательную функцию: . Эта функция удовлетворяет всем 3 условиям теоремы Ролля:

1. Определена и непрерывна на отрезке [a,b]

2.

3.

Тогда найдется точка С,

Тогда

Ч.Т.Д.