Линейные операции над векторами в координатах. Условие коллинеарности векторов.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

a={a_x; a_y; a_z} и b={b_x; b_y; b_z} коллинеарныесли

Скалярное произведение двух векторов. Условие ортогональности.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

 

Свойства скалярного умножения. Скалярные произведения координатных ортов.

Свойства скалярного умножения:

1) - симметричность.

2) . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3) Если , то

4) Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5)

6)

7)

Скалярные произведения координатных ортов. i·j=j·i= 0, j·k=k·j= 0, k·i=i·k= 0.

Скалярное произведение в координатной форме. Угол между векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.

Скалярное произведение в координатной форме.

Угол между векторами.

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство .

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид .

Проекция вектора на ось и на другой вектор.

Проекцией вектора на ось l называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком «+», если сонаправлен с l, и со знаком «-»,если не сонаправлен с l.

Проекцией вектора надругой векторназывается длина его составляющей по этому вектору, взятая со знаком «+», если сонаправлен с этим вектором, и со знаком «-»,если не сонаправлен с ним

.

Векторное произведение двух векторов. Условие коллинеарности векторов. Вычисление площадипараллелограмма и треугольника.

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:

1. Его длина равна =

2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и

3. Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (в этом случае, говорят, что тройка векторов и – правая).

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

a={a_x; a_y; a_z} и b={b_x; b_y; b_z} коллинеарны если

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма или удвоенной площади треугольника, построенных на этих векторах как на сторонах.