Попробуйте пройти тест вербального интеллекта

1. Каждый раз, когда я сталкиваюсь с новым для себя словом, я проверяю его значение и примеры использования в словаре.

2. Мне нравится читать книги.

3. Я нахожу время для ежедневного чтения книг и статей.

4. Я обсуждаю книги и содержащиеся в них мысли с другими.

5. Мне нравится запоминать новые слова и использовать их в своем общении.

6. Я проверяю написанное мной, чтобы убедиться в ясности изложения.

7. Мне нравится излагать свои мысли в сжатой форме, поэтому я работаю над тем, чтобы исключить ненужные или повторяющиеся слова или предложения.

8. Мне нравится разгадывать словарные головоломки, например кроссворды.

9. Иногда я играю в такие игры, как «Эрудит».

10. Я уверен в том, что могу ясно выражать свои мысли. Мне не свойственно терять нужные слова при разговоре.

Поставьте себе 1 балл за каждый ответ «да».

Хорошей считается оценка от 8 до 10.

Глава 14

Используйте

математическое мышление

Возможно, вам доводилось встречаться с людьми, которые признавались в том, что им никогда не нравилась математика. Они боятся и опасаются математических понятий и испытывают дискомфорт при работе с числами, стараясь по минимуму использовать в своей работе переменные, средние значения, вероятности, графики или статистику. Эти люди заслуживают сожаления. Им будет гораздо сложнее добиться успеха в бизнесе, требующем хорошо разбираться с цифрами, вычислениями и процентами, а также понимать смысл таких понятий, как пропорции или зависимые переменные. Люди, не обладающие математической грамотностью, не только ограничивают набор инструментов своего мышления, но и не могут в полной мере насладиться силой и красотой математики.

Наше мышление является в основном вербальным. Наши мысли формируются из слов, словесных понятий или словесных рассуждений. В наших рассуждениях мы применяем логику. Однако существуют вопросы, при решении которых не помогают ни слова, ни логика. Попробуйте решить следующую задачу.

Фермер. Фермер продает 10 тонн картофеля в год. Кроме того, он выращивает семенной картофель в объеме, достаточном для следующей посадки. Если его урожай в 20 раз превышает объем посадки, то сколько тонн картофеля ему надо посадить, чтобы обеспечить себе постоянный приток продукта¹⁰?

Каким образом вы будете решать эту проблему? Подумайте над ней и обратите внимание на то, как строится ваше рассуждение. Вот вам еще одна, достаточно простая головоломка. Посвятите ее решению несколько минут, а затем мы с вами изучим, какой метод вы использовали.

Путешествие. Каждое утро я езжу на машине в Бирмингем со средней скоростью 60 миль в час. Возвращаюсь обратно после обеда со средней скоростью 40 миль в час. Какова моя средняя скорость за все время путешествия?

Первую задачу (про фермера) можно решать несколькими способами. Если вы не склонны использовать алгебраические

 

 

 

приемы, задача может оказаться несколько сложной. Если же вы знаете основные правила алгебраических вычислений, то решение окажется для вас достаточно простым. Обозначим за «х» массу семенного картофеля, которую фермер высаживает каждый год. В этом случае мы знаем, что:

20х= 10 +х соответственно 19х= 10

X= 10/19 тонн = 0,526 тонн.

Алгебра идеально подходит для случаев, когда у нас есть неизвестные величины и некоторые известные о них факты. Это позволяет создать уравнения, описывающие эти величины. Мы можем использовать алгебру для решения различных задач, например, связанных с вычислениями. Если один квадрат выложен плиткой, и его составляют 1000 на 1000 плиток, а второй квадрат имеет размеры 1003 на 1003 плитки, то насколько во втором квадрате плиток больше, чем в первом?

Искусство

Мыслить незаурядно

Составим уравнение: а² - b² = (а + Ь) х (а - Ь) где а равно 1003, a b — 1000 Таким образом, ответ будет

(1003 + 1000) х (1003 - 1000) = 2003 х 3 = 6009.

Как вы ответили на вопрос относительно путешествия на машине? Большинство людей автоматически ответят, что средняя скорость составит 50 миль в час. Но этот ответ - неправильный. Давайте предположим, что расстояние до Бирмингема составляет 120 миль (мы выбрали число 120, потому что оно легко делится и на 40, и на 60). Таким образом, нам потребуется 2 часа, чтобы добраться туда, и 3 часа - на обратный путь. Общее путешествие длиной 240 миль займет у вас ровно 5 часов. Средняя скорость рассчитывается путем деления 240 миль на 5 часов, и составляет 48 миль в час. Вот типичный пример ситуации, при которой мы не можем доверять своим инстинктам. Для решения задачи необходимо строгое соблюдение арифметических правил.

Эти задачи наглядно демонстрируют, какую мощь и точность мы можем обрести с помощью элементарного математического мышления. Если мы можем выразить задачу в четких математических понятиях или изображаем ее в виде диаграммы, нам становится гораздо проще ее решить. Пример со средней скоростью показывает, что первые инстинкты могут быть обманчивыми, а применение математического метода может привести к значительным преимуществам. Вот еще одна знаменитая проблема, иллюстрирующая эту мысль.

Веревка иа экваторе. Диаметр Земли на экваторе составляет около 8 тыс. миль (точнее, 7926). Представьте себе, что по всей длине экватора по поверхности Земли протянута веревка, а на высоте одного фута над первой веревкой протянута вторая. Насколько вторая веревка окажется длиннее первой? Попытайтесь догадаться.

Большинство людей склонны предположить, что вторая веревка будет значительно длиннее первой (скажем, на несколько миль). Но если мы воспользуемся простой формулой, то сможем

 

достаточно легко получить точный ответ. Длина окружности составляет rod, где d - диаметр.

Иными словами, длина первой веревки составляет около 8 тыс. та миль. Диаметр окружности, созданной второй веревкой, ровно на 2 фута больше, чем первой. Таким образом, длина второй окружности будет на 2та (около 6,3 футов) длиннее первой (рисунок 14.1). Этот результат противоречит нашим интуитивным догадкам и еще раз подтверждает, что мы не всегда должны доверять нашим естественным реакциям. Для того чтобы убедиться в правильности таких выводов, мы должны пользоваться математикой.

Если нам удастся совместить латеральное мышление с математическим, то в результате мы получим очень мощный инструмент решения проблем. Попробуйте поразмыслить еще над двумя вопросами.

Искусство

Мыслить незаурядно

Теннисный турнир. В теннисном турнире участвуют 123 игрока. Игрок, проигрывающий любую игру, выбывает из нее. Сколько игр будет сыграно в ходе турнира, перед тем как станет известен победитель?

Книжная полка. На полке стоит шесть различных книг. Сколькими способами мы можем расставить книги на полке при условии, что словарь синонимов «Roget's» должен всегда стоять слева от толкового словаря «Oxford Dictionary»"?

Для решения каждой из этих задач существует не только прямой и привычный, но и более изящный латеральный способ. Обычный метод решения задачи с теннисным турниром связан с делением на 2. Если бы в турнире принимали участие 128 игроков, то в первом круге было бы сыграно 64 игры, во втором - 32, затем - 16 и т. д. Но поскольку у нас не 128, а 123 игрока, то в первом туре будет сыграно 59 игр, во втором - 32 и т. п. Таким образом, ответ составит 59 + 32+ 16 + 8 + 4 + 2+ 1 = 122. Однако этот ответ можно получить более простым способом. В каждом матче всегда будет один проигравший. Каждый из игроков (за исключением победителя турнира) должен один раз проиграть. Следовательно, если у нас есть N игроков, то количество матчей должно быть равно N-1. Соответственно в ходе турнира с участием 123 игроков будет сыграно 122 матча.

Теперь давайте решим задачу с книгами на полке. Для начала поставим словарь синонимов на крайнюю левую позицию и посмотрим, сколько комбинаций других книг возможно в данном случае. Затем мы перемещаем его на вторую позицию и смотрим, сколько вариантов расстановки книг возможно при условии, что толковый словарь «Oxford» должен постоянно находиться справа от него. Мы проделываем это упражнение для пяти вариантов расположения книги, начиная с самого левого. Когда словарь синонимов находится на шестой позиции, то он будет в любом случае находиться справа от толкового словаря, что является нарушением правил. В этом случае количество возможных комбинаций других книг составляет ноль. Безусловно, этот метод позволит нам получить в итоге правильный ответ. Однако есть более изящный способ. На крайней левой позиции может находиться шесть книг. Как только мы ставим на это место первую книгу, то на второй по-

 

Глава 15 97

зиции может находиться пять книг и т. д. Соответственно общее количество комбинаций составляет 6x5x4x3x2x1 = 720. В половине случаев словарь синонимов будет стоять слева от толкового словаря, а во второй половине - справа. У нас есть 360 способов расстановки книг так, чтобы словарь синонимов находился слева от толкового словаря. Задача с книжной полкой представляет собой идеальный пример применения правила симметрии.

Каким образом вы можете освежить свои навыки вычислений и работы с цифрами? Вот лишь несколько идей.

• Помогайте своим детям делать домашние задания как по математике, так и по другим предметам.

•Решайте головоломки и загадки, которые печатаются в газетах и журналах.

•Если вы покупаете в магазине небольшое количество продуктов или вещей, попытайтесь сосчитать сумму покупок в уме. Загружайте свои мозги постоянным сложением цифр. Рассчитываясь крупной купюрой, посчитайте в уме, какую сдачу вы получите, а затем проверьте свои расчеты.

•Рисуйте схемы и диаграммы. Рассчитайте площадь поверхности пола в вашей квартире. Для этого нарисуйте ее план и проведите соответствующие вычисления.

•Оценивайте действия. Сколько раз вам придется пройтись по участку, для того чтобы постричь весь газон? Сколько листьев, по вашему мнению, висит на ближайшем дереве?

• Читайте книги по математике. Выберите тот уровень сложности книг, который кажется для вас комфортным. Возможно, вам даже понравится это занятие!

4 10-527

Глава 15

Научитесь работать с вероятностями

Многие люди либо не знают, либо не разбираются в элементарных правилах статистики или теории вероятностей. Как следствие, страдает их мышление. Они совершают множество ошибок, которых можно было бы избежать, знай они о простейших статистических правилах.

Позвольте привести вам пример из реальной жизни, который поставил в тупик многих врачей. Существует некая смертельно опасная болезнь, от которой страдают 5% населения. Ее можно выявить с помощью тестов, которые являются достаточно точными. Тест позволяет выявить болезнь у реально болеющего человека с точностью 90%. В 10% случаев тест не позволяет выявить заболевания. Если человек не болен, то тест покажет это с 90%-й вероятностью. Но в 10% случаев он ошибочно покажет, что человек болен. Итак, вы проходите тест, и он показывает, что вы больны. Какова реальная вероятность того, что вы больны на самом деле? Подумайте об этом пару минут. Это серьезный вопрос. Можно сказать, что это - вопрос жизни и смерти.

Большинство людей и даже врачи считают, что если тест показывает, что человек болен, то с большой вероятностью так оно и есть. Они считают, что если тест с точностью 90% определяет действительно больных людей, то факт вашего положительного результата при тестировании означает 90%-ю вероятность того, что вы больны. Однако реальная вероятность такого исхода значительно ниже. Давайте предположим, что тестирование проходит случайная выборка из 1 тыс. человек. Так как болезнь затрагивает 5% выборки, мы знаем, что у 5 участников исследования болезнь есть, а у 950 ее нет. Из 50 больных людей заболевание будет выявлено в 90% случаев (то есть у 45 людей). Ошибка теста приведет к тому, что 5 действительно больных людей будут признаны здоровыми. Из 950 здоровых тесты покажут отсутствие болезни в 90% случаев (то есть у 855 человек), а 95 человек будут ошибочно диагностированы как больные. Итак, 140 представителям из выборки в 1 тыс. человек будет поставлен диагноз заболевания, при этом лишь 45 из них будут больными на самом деле. Иными словами, если ваш тест оказывается позитивным, то шансы на то, что вы действительно больны, составят 45 из 140, то есть 32%¹². Подобные ситуации возникают достаточно часто. Многие люди, ошибочно считающие себя смертельно больными, начинают разрушительные для здоровья курсы лечения.

Хорошим инструментом для решения задач подобного типа является «дерево решений», пример которого показан на рисунке 15.1. «Дерево решений» содержит в себе все возможные исходы события, и для каждого из них можно определить вероятность возникновения в процентах.

Сложив соответствующие значения, вы можете точно рассчитать количество людей с позитивным результатом теста, а также рассчитать вероятности, то есть поделить цифру 45 (количество действительно больных людей) на 140 (количество людей с положительными тестами), и в итоге получить 32%.

Теперь пришло время рассказать вам о трех важных вещах, связанных с вероятностью. События могут быть:

 

 

•

взаимно исключающими друг друга;

• независимыми друг от друга;

• условными (одно событие возникает при условии возникновения другого).

Если вы подбросите монетку, то она упадет либо на одну, либо на другую сторону. Эти два события являются взаимно исключающими. Если вы достанете карту из колоды, то на ней может быть изображение короля, а может и не быть. События являются взаимно исключающими друг друга, если возможно либо одно, либо другое из них. Сумма вероятностей для этих двух событий равна 100%.

Понятие «независимости» событий говорит само за себя. Мы можем перемножить между собой вероятности этих событий, для того чтобы рассчитать вероятность наступления обоих из них. Если шанс на то, что завтра пойдет дождь, равен одному из трех, а шанс на выигрыш в лотерею составляет 1 из 10 млн., то шанс возникновения обоих событий составляет 1 из 30 млн.

Иногда исход второго события зависит от исхода первого. Если вы вытащите из колоды две карты, то какова вероятность того, что они будут одной и той же масти? Шансы на то, что первая карта будет определенной масти (например бубны), оставляет один из четырех. Шанс на то, что вторая карта окажется той же масти, составляет 12 из 51. Соответственно шансы на то, что обе карты будут принадлежать одной и той же масти, равны

12 из 204.

Очень важной для практического применения является концепция обратной вероятности. Если существуют два взаимно исключающих события, то для расчета вероятности одного из них достаточно вычесть вероятность наступления второго из 100%. Если вы подбросите кубик три раза, то какова вероятность того, что он хотя бы раз упадет «шестеркой» вверх? Вероятность того, что кубик упадет «шестеркой» вверх, составляет один к шести для каждого броска. Поэтому многие считают, что для трех бросков такая вероятность составит три из шести. Однако если следовать подобной логике, то, бросив кубик шесть раз, мы гарантированно получим требуемый результат. Мы знаем, что на практике так не происходит, соответственно должны признать, что наши рассуждения были ошибочными. Правильный подход будет выглядеть следующим образом:

Шанс выбросить «шестерку» при одном броске

= 1/6

Шанс не выбросить «шестерку» при одном броске

= 5/6

Шанс не выбросить «шестерку» при трех бросках

= 5/6 х 5/6 х 5/6 = 125/216 = 0,58

Шанс выбросить «шестерку» хотя бы при одном из трех бросков

= 1 -0,58 = 42%.

Принцип вычислений состоит в том, что вы не складываете вероятности множества независимых друг от друга событий, а перемножаете их между собой, чтобы определить вероятность того, что они случатся (или не случатся). То есть если лошадь на бегах участвует в трех заездах, и ее шансы на выигрыш в каждом из заездов составляют один из трех, то шансы выиграть все три заезда составят один из девяти. Многие игроки теряют свои деньги, переоценивая шансы лошади на победу во всех трех заездах и делая ставки по нарастающей (на профессиональном жаргоне - «экспресс»).

Другой известный пример применения - принцип обратной вероятности - связан с задачей о дне рождения. Сколько людей должно находиться в комнате, чтобы хотя бы у двух из них совпал день рождения?

Давайте представим, что сначала в комнате находятся два человека. Вероятность того, что у них окажется один и тот же

день рождения, составляет один из 365 (для удобства мы исключим високосные годы). Соответственно обратная вероятность (то есть вероятность того, что их дни рождения не совпадут) составляет 364 из 365. Когда в комнату заходит третий человек, то шансы на то, что его день рождения не совпадает с днем рождения остальных, составляет 363 из 365. Если в комнату входит четвертый человек, то шансы на то, что его день рождения отличается от остальных, составляют 362 из 365 и т. д. Совокупная вероятность того, что дни рождения четверых человек в комнате будут различаться, составит:

364/365 х 363/365 х 362/365 = 98,4%.

Иными словами, вероятность совпадения дней рождений составляет лишь 1,6%. Мы продолжаем производить вычисления до тех пор, пока величина рассчитываемой вероятности не упадет ниже 50%. Как ни удивительно, но для того чтобы дни рождения совпали хотя бы у двух людей, достаточно, чтобы в комнате находились хотя бы 23 человека. Другими словами, если в комнате будут находиться 23 или больше людей, то вероятность совпадения дня рождения хотя бы у двух из них достаточно велика.

Напоследок позвольте нам рассказать об «ошибке игрока», основанной на неправильном понимании вероятностей. Игроки ошибочно считают, что отклонения от нормы со временем выравниваются, и, следовательно, можно предсказать наступление того или иного исхода. Условно говоря, если в начале игры в «Монополию» игроки не попали на определенную клетку поля, то они могут ошибочно считать, что во второй половине игры частота попаданий на нее повысится, и начинают строить на этом предположении свои стратегии. Аналогичным образом, если при игре в рулетку красное поле выпадает пять раз подряд, многие ожидают, что при следующем броске шарик окажется на черном поле. Людям кажется, что попадание шарика на красное поле шесть раз подряд является крайне маловероятным. Однако если этот процесс носит действительно случайный характер, то шансы на то, что шарик вновь окажется на красном поле, ничуть не меньше шансов его попадания на черное.

Понимание основ теории вероятности поможет вам понять смысл риска, вероятности, статистики и азартных игр. Тем самым вам удастся более точно и рационально оценить имеющиеся у вас возможности. Мир теории вероятности является по-настоящему увлекательным, и вы можете найти множество книг, посвященных этой теме и способных увести вас значительно дальше, чем наш краткий экскурс.

Глава 16

Используйте зрительные образы

По пробуйте решить ряд задач.

1. Каким образом можно расставить шесть спичек, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника одного и того же размера?

2. Каким образом можно точно оценить ширину реки, если в вашем распоряжении есть всего лишь палка?

3. Mjoca находится в углу квадратной комнаты шириной и длиной 24 фута и высотой 8 футов. Паук, находящийся в диаметрально противоположном углу комнаты, видит муху и хочет максимально быстро до нее доползти через стены, пол или потолок. Какова длина кратчайшего пути паука до мухи?

Для решения этих задач вам необходим элемент визуального или графического представления и некоторые знания в области геометрии или тригонометрии.

Способны ли вы думать на языке диаграмм, схем, карт, графиков или рисунков? Можете ли вы мыслить в двух, трех или четырех измерениях? Мыслить в четырех измерениях на самом деле достаточно сложно, однако мышление с помощью рисунков или диаграмм является весьма полезным для понимания и решения множества задач. Для решения описанных нами выше задач вам не поможет вербальное мышление или способность управляться с цифрами. При описании событий мы настолько часто полагаемся на слова, что порой приходим в изумление от того, насколько неэффективными они могут оказаться в определенных обстоятельствах для передачи информации. Попытайтесь описать объект необычной формы (такой как подставку для яиц, штопор или вешалку), не говоря ни слова о том, для чего он может использоваться. Ограничьтесь внешним описанием это предмета. С учетом ограничений этого задания становится не так-то просто в точности передать информацию. Поэтому, когда речь заходит об объекте необычной формы, цель использования которого для нас неизвестна, нам не обойтись без картинок или диаграмм.

В ходе одного из проводимых мной упражнений участник смотрит на изображение дома. Он описывает увиденное в двухтрех словах, после чего второй участник начинает задавать ему вопросы. Затем второй участник должен нарисовать дом на основании данного ему описания и ответов на свои вопросы. Сделать это достаточно сложно, и участники часто оказыва-

ются в замешательстве. Однако это упражнение имеет важный смысл. На его примере мы показываем, насколько слабо развиты у людей способности задавать вопросы и делать предположения, а также насколько ограниченными могут быть слова для передачи изображений.

Дети любят рисовать. Им нравится рисовать все, что угодно, и никто не подвергает их рисунки критике. По мере взросления мы начинаем более осознанно относиться к собственным рисункам, и часто теряем доверие к своим способностям к рисованию. Мы обнаруживаем, что талантом к рисованию обладает не так уж много людей. Вследствие того, что другие люди умеют рисовать лучше нас, мы перестаем это делать. Но даже если наши рисунки значительно хуже, чем творения профессиональных художников, мы все равно можем использовать диаграммы, помогающие нам в размышлениях, решении проблем и общении. Если вас останавливает незнакомец на улице и спрашивает, как дойти до какого-то места, вы, скорее всего, начнете описывать ему дорогу, говоря о расстояниях и упоминая повороты налево и направо, ориентиры или перекрестки. Если у кого- то из вас окажется при себе карта, то вы просто покажете маршрут с ее помощью. Так почему бы вам просто не нарисовать картинку? Ее будет гораздо проще понять, чем словесное описание. Попробуйте давать указания с помощью графических изображений - вы удивитесь, насколько эффективным может оказаться этот метод.

Делая заметки в ходе лекции или встречи, попытайтесь составить карту ваших размышлений. Благодаря Тони Бьюзену популярность приобрела концепция «карт ума». Мы рекомендуем вам прочитать его книгу¹³. Для начала нарисуйте основную тему обсуждения в центре листа бумаги. Затем создайте ответвления от основного вопроса, связанные с различными идеями, при этом описывая идеи одним словом на каждом ответвлении. К основным идеям присоединяются следующие и т. д. Многие люди находят, что создание карт ума помогает им лучше понять и запомнить материал. На рисунке 16.1 приведен пример карты ума, посвященной ее созданию.

Еще один способ улучшить графическое мышление заключается в том, что вы повсюду берете с собой блокнот и делаете зарисовки. Попытайтесь не только записывать свои комментарии, но и делать зарисовки. Ваш рисунок может напоминать детские каракули, однако это

 

совершенно не важно. Используя ваш мозг таким образом, вы сможете выразить концепции, которые сложно описать словами. К примеру, вы хотите изменить дизайн вашего офиса. Простой набросок будет намного эффективнее, чем план, описанный множеством слов.

Многие великие художники, изобретатели и дизайнеры обладали способностями к визуальному мышлению. Изобретатель Никола Тесла использовал изображения в процессе проектирования электрических турбин, создававших электрический ток. Сначала он визуализировал новую турбину в своем воображении. Затем пытался представить себе во всех деталях, каким образом будет работать турбина, и какие проблемы могут препятствовать ее работе. По его словам, не было никакой разницы между тестированием работы турбины в реальных условиях или моделированием ее работы в голове; результат был один и тот же.