Тема 4. Элементы аналитической геометрии

Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой. Общее уравнение прямой и его исследование. Построение прямой по ее уравнению. Уравнение прямой, проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две данные точки. Координаты точки пересечения двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности прямыхУравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.. Угол между двумя плоскостями. ([1 или 6, § 4.1 – 4.3, 4.6, 4.7]; [2 или 7, § 4.1 – 4.3], или [3, § 4.2 – 4.6, 4.8 – 4.10, 4.12], или [4, § 4.2 – 4.6, 4.8, 4.12, 4.13, 4.15].

По используемым методам аналитическая геометрия существенно отличается от элементарной геометрии. Применение основного метода аналитической геометрии – метода координат позволяет значительно продвинуть вперед изучение геометрических образов, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Из этого определения следует два важных для практики положения.

1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит ли ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных x и y. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит линии, в противном случае – не принадлежит.

2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для нахождения координат точки пересечения двух линий нужно решить систему, составленную из их уравнений.

Следует отметить, что решение задач в аналитической геометрии проводится алгебраическим путем и никакие ссылки не чертеж не могут служить обоснованием решения задачи. Чертежи и геометрические построения служат вспомогательным средством, облегчающим решение задачи, делающим его наглядным, помогающим наметить план решения задачи. Поэтому рекомендуется сопровождать решение чертежами.

Из всех линий прямая линия имеет особое значение. Она (и ее обобщение в n -мерном пространстве) является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях, которые будут изучаться в курсе «Методы оптимальных решений».

Студент должен знать уравнения прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой и его частные случаи; уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении и через две данные точки, общее уравнение прямой [1, или 6, или 3, § 4.1]. Обратите внимание на условия параллельности и перпендикулярности прямых; на нахождение уравнения прямых; параллельной и перпендикулярной данной прямой [1, или 6, или 3, пример 4.5].

Обобщением уравнения прямой на плоскости является уравнение плоскости в пространстве (обобщением которого, в свою очередь, является уравнение гиперплоскости в n -мерном пространстве, рассматриваемое в прикладных математических курсах). Надо знать смысл его коэффициентов А, В, С (как координат нормального вектора плоскости) и частные случаи уравнения плоскости. Например, уравнение плоскости: проходящей через начало координат, (); параллельной оси Оу, (); проходящей через ось Оу, (); параллельной плоскости Oxz, (); совпадающей с плоскостью Oxz, , т.е. , () и т.д.

Обращаем внимание на то, что направление плоскости определяется нормальным вектором, поэтому углы между двумя плоскостями сводятся к определению углов между этими векторами. Отсюда вытекают условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Основные типы задач на плоскость в пространстве представлены задачами с решениями [2 или 7, примеры 4.87, 4.88] или [3, примеры 4.108 – 4.109]. Решение отдельных задач предполагает знание скалярного произведения двух векторов (но не требует знания векторного и смешанного произведения векторов, не входящими в программу).

Часть 2.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Раздел IIl. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

 

Тема 5. Функции

 

Понятие о множествах. Действительные числа и числовые множества. Постоянные и переменные величины. Функции и способы их задания. Область определения функции. Четные, нечетные, монотонные и ограниченные функции. Сложная функция. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики. Неявные функции. ([1 или 6, § 5.1 – 5.5, 5.7]; [2 или 7, гл. 5], или [3, §5.1 – 5.5, 5.7], или [5, §1.1 – 1.5, 1.7]).

Прежде всего полезно ознакомиться с некоторыми логическими символами и кванторами, чтобы использовать их в дальнейшем для сокращения записей ([1, или 6, или 3, § 5.1, 6.1]).

Изучение темы следует начать с основных понятий теории множеств ([1 или 6, или 3, § 5.1]). Далее нужно четко усвоить важнейшее понятие математического анализа – функции, уметь находить область ее определения, знать способы задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный.

В нашем курсе рассматриваются в основном элементарные функции. Студент должен уяснить определение элементарной функции ([1, или 6, или 3, § 5.5]), четко знать свойства и строить графики следующих основных элементарных функций: y = C (постоянная), y = xⁿ (степенная),

y = a^x (показательная), y = log _ax (логарифмическая). Необходимо усвоить понятие сложной функции (функции от функции).

Построение графика четной (нечетной) функции можно значительно упростить, если учесть, что графики четных функций симметричны относительно оси Оy, а нечетных – относительно начала координат. Одним из характерных свойств функции является монотонность (т.е. ее возрастание или убывание на каком-либо промежутке).

Тема завершается рассмотрением линейной функции и элементов аналитической геометрии на плоскости – простейших уравнений прямой. Этот материал будет использоваться на III курсе при изучении дисциплин «Методы оптимальных решений», «Исследование операций».

Основополагающее значение здесь имеет определение уравнения линии на плоскости как уравнения с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней. Из этого определения следуют два важных для практики положения.

1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит ли ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных x и y. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит линии, в противном случае – не принадлежит.

2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для нахождения координат точки пересечения двух линий нужно решить систему, составленную из их уравнений.

Студент должен знать простейшие виды уравнений прямой и уметь пользоваться ими при решении задач. Соответствующий учебный материал приведен в учебнике ([1, или 6,или 3, § 4.2]).

Обратите особое внимание на нахождение уравнений прямых, параллельной и перпендикулярной данной прямой ([1, или 6, или 3, пример 4.5].