Основные правила приближенных вычислений

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Факультет «Прикладная математика и информационные технологии»

Кафедра «Математика»

 

МАТЕМАТИКА

 

 

Учебно-методическое пособие

для студентов первого курса бакалавриата,

обучающихся по заочной форме по направлениям 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом» и 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление»

 

Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера

 

 

Рекомендовано кафедрой «Математика», протокол № 12 от 14 мая 2015 г.

 

Москва – 2015

 

 

ББК 22.3

 

Введение, методические указания и рекомендации

по изучению дисциплины подготовил профессор Н.Ш. Кремер

 

Варианты контрольных работ подготовили:

доц. Борисова Л.Р., доц. Путко Б.А., ст. преп. Федорова Н.И.,

доц. Шевелев А.Ю.

Учебно-методическое пособие рекомендовано кафедрой «Математика».

Зав. кафедрой «Математика» профессор В.Б.Гисин.

 

Математика. Учебно-методическое пособие для студентов первого курса бакалавриата, обучающихся по заочной форме по направлениям 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом» и 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление». / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера ‒ М.: Финуниверситет, 2015.

 

В учебно-методическом пособии приведен обзор основных понятий и положений дисциплины «Математика», даны методические рекомендации по ее изучению, выделены типовые задачи с решениями, представлены контрольные вопросы для самопроверки и задачи для самоподготовки по данной дисциплине, приведены варианты контрольных работ (с примерами их решений) для студентов первого курса бакалавриата направлений «Менеджмент», «Управление персоналом», «Государственное и муниципальное управление», а также методические указания по их выполнению.

 

ББК 22.3

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Совершенствование деятельности в любой области экономики и управления в значительной мере связано с применением в экономической науке и практике математических методов исследования.

Цель курса математики в системе подготовки экономиста – освоение необходимого математического аппарата, помогающего анализировать, моделировать и решать прикладные экономические задачи. Изучаемые в математике методы и модели являются не только инструментами количественного расчета, средствами решения прикладных задач, но и эффективными методами проведения экономических исследований, элементами общей культуры.

Задачи изучения дисциплины «Математика» вытекают из требований к результатам освоения программы бакалавриата, компетенций, установленных Образовательным стандартом высшего образования ФГОБУ «Финансовый университет при Правительстве РФ» (ОС ВО) по направлению 38.03.02 «Менеджмент» и Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования (ФГОС-3+) по направлениям 38.03.03 «Управление персоналом» и 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление».

В процессе изучения дисциплины перед студентами ставятся следующие задачи: освоение приемов исследования и решения математически формализованных задач; использование классического математического аппарата для решения прикладных задач; выработка умения моделировать реальные объекты и процессы; развитие логического и алгоритмического мышления студентов; повышение уровня математической культуры студентов; развитие навыков самостоятельной работы по изучению учебной и научной литературы.

В соответствии с ОС ВО по направлению «Менеджмент», квалификация академический бакалавр, процесс изучения дисциплины «Математика» направлен на формирование следующих компетенций:

общенаучных компетенций (ОНК)

– способность использовать основные научные законы в профессиональной деятельности (ОНК-1);

– владение культурой мышления, способность к восприятию, анализу и мировоззренческой оценке происходящих процессов и закономерностей (ОНК-2);

инструментальных компетенций (ИК)

– владение основными методами, способами и средствами получения, хранения и обработки информации (ИК-3)

‒ способность оформлять аналитические и отчеты н материалы по результатам выполненной работы (ИК-4);

‒ способность применять методики расчетов и основные методы исследований (ИК-5);

социально-личностных компетенций (СЛК)

– способность и готовность к продолжению образованию и к самообразованию (СЛК-1)

– способность предлагать и обосновывать варианты управленческих решений (СЛК-3);

системных компетенций (СК)

– способность применять полученные знания на практике(СК-1);

– способность анализировать, обобщать и систематизировать информацию (СК-2)

– способность к постановке целей и задач исследований, выбору оптимальных путей и методов их достижения (СК-3);

профессиональных компетенций направления (ПКН)

– владение основными научными понятиями и категориями экономики и управленческой науки и способность к их применению (ПКН-1);

– способность применять математические методы для решения стандартных профессиональных задач, интерпретировать полученные математические результаты (ПКН-3);

– владение методами количественного и качественного анализа информации, а также навыками построения моделей при решении задач управления организацией (ПКН-9).

В соответствии с ФГОС-3+ по направлению «Управление персоналом», квалификация академический бакалавр, процесс изучения дисциплины «Математика» направлен на формирование следующих компетенций:

общекультурных компетенций (ОК)

– способность к самоорганизации и самообразованию (ОК-7);

общепрофессиональных компетенций (ОПК)

– способность анализировать результаты исследований в контексте целей и задач своей организации (ОПК-5);

‒ владение культурой мышления, способностью к восприятию, обобщению и экономическому анализу информации, постановке цели и выбору путей ее достижения ОПК-6);

профессиональных компетенций (ПК)

– способность проводить анализ рыночных и специфических рисков, связанных с деятельностью по реализации функций управления персоналом, использовать его результаты для принятия управленческих решений (ПК-25).

В соответствии с ФГОС-3+ по направлению «Государственное и муниципальное управление», квалификация академический бакалавр, процесс изучения дисциплины «Математика» направлен на формирование следующих компетенций:

общекультурных компетенций (ОК)

– способность к самоорганизации и самообразованию (ОК-7);

профессиональных компетенций (ПК)

– способность проводить оценку инвестиционных проектов при различных условиях инвестирования и финансирования (ПК-4);

‒ владение навыками количественного и качественного анализа при оценке состояния экономической, социальной, политической среды… (ПК-6);

‒ умение моделировать административные процессы и процедуры в органах государственной власти,..,, адаптировать основные математические модели конкретным задачам управления (ПК-7);

- способность использовать современные методы управления проектом, направленные на своевременное получение качественных результатов, определение рисков, эффективное управление ресурсами…(ПК-13).

В результате изучения дисциплины студент должен:

а) знать основные понятия линейной алгебры и аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений и рядов, используемые в экономических исследованиях и при изучении других дисциплин естественнонаучного и профессионального циклов;

б) уметь применятьосновные классические математические методы решения прикладных задач; строить математические модели прикладных задач;

в) владеть навыками классического математического инструмента-рия для решения прикладных (экономических) задач.

По дисциплине «Математика» студенты бакалавриата направлений «Менеджмент» и «Управление персоналом» должны выполнить две контрольные работы № 1 и № 2 (задания к которым приводятся в данном пособии). Контрольные работы (в соответствии с учебным графиком) могут быть существенно дополнены за счет частичного использования компьютерной обучающей программы (КОПР). В процессе изучения дисциплины студенты проходят компьютерное тестирование (если оно предусмотрено учебным планом) и сдают зачет по части 1 дисциплины «Линейная алгебра» и курсовой экзамен по части 2 дисциплины «Математический анализ»

При выставлении итоговой оценки студента по данной дисциплине учитываются балльная оценка текущей успеваемости (качество подготовки и работа на практических занятиях, выполнение контрольных работ, компьютерное тестирование, посещение занятий) и результаты сдачи зачета и экзамена.

ВВЕДЕНИЕ

 

Цель настоящего методического пособия – помочь студентам в организации занятий при изучении общего курса математики.

Для освоения данной дисциплины в вузе записаны видео-лекции, проводятся практические занятия. Основной формой обучения в условиях заочного вуза является самостоятельная работа с видео-лекциями, учебником и учебными пособиями (с. 58). Дополнительно для самостоятельного изучения дисциплины рекомендуются Интернет-ресурсы: компьютерная обучающая программа (КОПР), обзорная лекция, электронная учебно-методическая литература и др., размещенные на сайте университета.

В помощь студентам в университете и его филиалах функционируют учебно-методические кабинеты, которые позволяют осуществить выход в Интернет, поработать с Интернет-ресурсами института, компьютерными обучающими программами и электронными версиями учебно-методической литературы по данной дисциплине, пройти тестирование в режиме самоконтроля.

Каждый студент с самого начала занятий должен выработать для себя рациональную систему работы над курсом и постоянно практиковаться в решении задач. В противном случае усвоение и практическое использование учебного материала затруднены. Чрезвычайно важны систематические занятия. Работа урывками не приносит положительных результатов.

Студент обязан вести конспект (рабочую тетрадь). Рекомендуется конспектировать определения, формулировки теорем, схемы их доказательств, формулы и решения задач. Формулы следует выписывать в специальные таблицы для каждой части (раздела) курса. Постоянное пользование конспектом, в частности таблицами формул, способствует их запоминанию и дает возможность решать примеры и задачи, не обращаясь к учебным пособиям.

Часто приходится слышать высказывания студентов о том, что теорию они знают, а решать задачи не умеют. Это свидетельствует о неглубоком усвоении учебного материала. Нужно решать как можно больше задач. Начинать следует с наиболее простых, элементарных, а затем переходить к более сложным. По такому принципу и расположены задачи в рекомендуемых учебных пособиях. Решение следует доводить до окончательного результата, промежуточные преобразования выполнять последовательно и аккуратно. Если задача связана с отысканием численного результата, то подстановку численных значений вместо букв лучше производить только в окончательно упрощенное выражение.

Если материал учебника, учебного или методического пособия, КОПР не дает ответа на возникший вопрос, то следует обратиться за консультацией (по электронной почте)) на кафедру «Математика». Для получения письменной консультации необходимо указать, каким учебником (пособием, КОПР) вы пользовались (автор, наименование, год издания) и какое конкретное место в учебнике не понятно. Если появились затруднения в решении задачи, укажите, каким способом вы пытались ее решить. Лишь в этом случае преподаватель сможет оказать вам помощь.

При решении различных задач нередко приходится вычислять приближенно значения функции, определенного интеграла и др. Незнание правил приближенных вычислений часто приводит к тому, что их результаты оказываются не только неточными, но и ошибочными, настолько они далеки от истинных (точных) значений. При этом многие стремятся удержать больше цифр в окончательном ответе, показать, какой «высокой» степени точности они добились. Точность такого ответа, как правило, оказывается ложной, так как определенное число последних цифр просто ошибочно. Чтобы этого не случилось, необходимо знать и применять правила приближенных вычислений (см. с.7-9). Ими надлежит пользоваться при выполнении арифметических операций с приближенными числами и для получения приближенного результата.

Основные правила приближенных вычислений

Обозначим через х точное (истинное) значение некоторой величины (точное число), а через а – ее приближенное значение (приближенное число).

Число Δ=| х – а | называется истинной абсолютной погрешностью приближенного числа а.

Обычно истинная абсолютная погрешность числа a неизвестна, так как не дано точное значение х, а известна так называемая предельная абсолютная погрешность. Число α называется предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а, если

| x–a | ≤ a.

Относительной погрешностью d приближенного числа а называется отношение его абсолютной погрешности к абсолютной величине точного числа x:

.

Если точное значение числа х неизвестно, а Δ мало по сравнению с | а |, то можно считать, что

.

Относительную погрешность часто выражают в процентах, т.е.

(%).

Цифра данного разряда приближенного числа а называется верной, если абсолютная погрешность Δ = | х – а | этого числа не превосходит пяти единиц следующего справа разряда. В противном случае эта цифра называется неверной.

У всякого десятичного числа а ≠ 0 существует первая слева цифра, отличная от нуля. Эта цифра называется первой значащей цифрой числа а. Все цифры, начиная с первой значащей и правее являются значащими цифрами числа а. Говорят, что приближенное число а имеет п верных значащих цифр, если п- я и предшествующие ей значащие цифры верные, а (n + 1)-я цифра — неверная.

В вычислительной практике также употребляют термин "число верных десятичных знаков". Под ним понимают число верных цифр в десятичной дроби после нулей, указывающих разряды. Цифры приближенного числа, не являющиеся верными, отбрасывают, а число при этом округляют.

Правило округления. Если первая из отбрасываемых цифр, считая слева направо, меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не меняют; если больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру надо увеличить на единицу.

Если отбрасывается т о л ь к о цифра 5, а предшествующая ей цифра четная, то последнюю оставшуюся цифру менять не следует, если нечетная, то последнюю оставшуюся цифру надо увеличить на единицу (правило четных знаков).

Пример. π = 3,1415926.... Округляя число до трех значащих цифр, получим π ≈ 3,14 (так как 1<5); округляя его до четырех значащих цифр, получим π ≈ 3,142 (5≥ 5), а округляя его до пяти значащих цифр, получим

π ≈ 3,1416 (так как ). В то же время число x = 0,6525 ≈ 0,652 (по правилу четных знаков, так как отбрасывается только цифра 5).

Окончательные результаты вычислений обычно округляют на последней верной цифре, а в промежуточных результатах удерживают одну запасную цифру, которая может оказаться и неверной.

При этом пользуются следующими правилами определения верных цифр результата.

1. При сложении (вычитании) приближенных чисел в сумме следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении приближенных чисел в произведении следует оставить столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом верных значащих цифр.

3. При возведении в степень и извлечении корня число верных значащих цифр результата равно числу верных значащих цифр основания степени.

4. Правило запасной цифры. Для того чтобы после небольшого количества алгебраических действий над приближенными числами получить результат с п верными цифрами, достаточно исходные данные взять с (п + 1) верными цифрами и во всех промежуточных результатах сохранить (п + 1) верных цифр, а окончательное значение округлить до п цифр.

Пример. Дано: π ≈ 3,14159; lg e ≈ 0.434(все цифры верные). Вычислить приближенно: а) π + lg e;б) π ∙ lg e.

Р е ш е н и е. а) Число π содержит 5 верных десятичных знаков, lg e – 3 следовательно, сумма должна содержать 3 верных десятичных знака. Округляя (с запасной цифрой) число π до 4 десятичных знаков, получим:

 

π + lg e ≈ 3,1416 + 0,434 = 3,5756 ≈ 3,576.

Число π содержит 6 верных значащих цифр, – 3 (нуль не считается), следовательно, произведение должно содержать 3 верных значащих цифры. Округляя (с запасной цифрой) число π до 4 значащих цифр, получим:

π ∙ lg e = 3,142 ∙ 0,434 = 1,363628 ≈ 1,36.

 

Вычислительную работу по возможности следует упрощать. Для этого рекомендуется пользоваться электронными калькуляторами, пакетом Excel и т.п. Всякая вычислительная работа должна контролироваться. Простейшим методом контроля является выполнение решения заново (лучше спустя некоторое время) и сравнение полученных результатов.

Основные правила приближенных вычислений будут нужны и в дальнейшем – при выполнении контрольных (лабораторных, курсовых, выпускных) работ по теории вероятностей и математической статистике и другим математическим, профессиональным и специальным дисциплинам.

Содержание дисциплины и