Момент силы относительно точки

В механике существует понятие о моменте силы относительно точки.

Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком (плюс или минус) произведение модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы (рис. 12), т. е.

М₀ ()= ± P h.

Точка О, относительно которой берется момент силы, называется центром момента; ОВ = h —крат­чайшее расстояние от центра момента до линии действия силы — называется плечом силы относи­тельно данной точки; знак плюс ставится в случае, если сила стремится повернуть плечо h против хода часовой стрелки, а знак минус — в противоположном направлении. Момент силы относительно точки О на рис. 12 положительный.

Из последнего равенства следует, что при h =0, т.е. когда О- центр моментов– расположен на линии действия силы , М₀ () =0. Как известно, сила—скользящий вектор, поэтому при переносе силы по линиям действия из точки А в любую другую точку A₁, А₂ и т. д. (рис. 12) длина плеча не изменится, а значит не изменится и значение момента силы относительно точки. Момент силы, как и момент пары, измеряют в ньютонометрах.

 

 

 

 

Рис.12. Момент силы относительно точки O.

 

1.12. Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил

Пусть к данному телу приложена система параллельных сил , , , , (рис. 13). Через произвольную точку О, взятую в плоскости дей­ствия сил, проведем ось Ох, перпендикулярную силам, и ось Оу, параллельную этим силам. Запишем для данной системы сил уравнения равновесия

 

Рис.13. Система параллельных сил.

Каждая сила перпендикулярна оси Ох, и ее проекция на эту ось равна нулю. Следовательно, первое уравнение обращается в тождество 0 = 0 и выполняется независимо от того, уравновешиваются силы или нет. Таким образом, для плоской системы параллельных сил остается только два уравнения равновесия, причем на ось Оу силы проецируются в натуральную величину, так как эта ось па­раллельна заданным силам.

Система уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил принимает вид

Уравнения равновесия для плоской системы параллельных сил можно записывать в виде

 

Точки А и В –произвольные точки, предпочтительно их взять на оси х, уравнение =0 служит для проверки правильности вычислений.

Итак, для произвольной плоской системы сил мы имеем три уравнения равновесия, а для плоской системы парал­лельных сил только два уравнения равновесия. Соответ­ственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы парал­лельных сил — не более двух.

Если количество неизвестных превышает число урав­нений статики, задача становится статически неопреде­лимой.

1.13. Типы опор балок

В машинах и сооружениях очень часто встречаются тела удлиненной формы, называемые балками. Они в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для сопряжения с другими элементами и передачи на них усилий. Опоры балок, рассматриваемых как плоские системы, быва­ют трех основных типов.

· Подвижная шарнирная опора (рис. 14, а). Такая опора не препятствует вращению конца балки и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и прохо­дит через центр катка.

Схематическое изображение подвижной шарнирной опоры дано на рис. 14, б.

 

 

Рис. 14. Типы опор балок.

Подвижные опоры дают возможность балке беспрепятствен­но изменять свою длину при изменении температуры и тем самым устраняют возможность появления температурных на­пряжений.

· Неподвижная шарнирная опора (рис. 14, в). Такая опора допускает вращение конца балки, но устраняет поступа­тельное перемещение ее в любом направлении Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие — гори­зонтальную и вертикальную

· Жесткая заделка, или защемление (рис. 14, г). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре может в общем случае возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (вертикальную и горизонтальную) и момент защемления (ре­активный момент).

Балка с одним заделанным концом называется консольной балкой или просто консолью.

Если опорные реакции могут быть найдены из одних уравне­ний статики, то балки называют статически определимыми. Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики, возможных для данной задачи, то балки называют статически неопределимыми.

Пример.

Определить неизвестные параметры реакций опор А и В для заданной (рис.15) конструкции балки, нагруженной параллельными силами и .

· Записываем уравнение равновесия балки как сумму моментов всех сил относительно опоры А.

Рис.15. Расчетная схема балки.

 

= R_B*8 –P₂*5 - P₁*3 =0,

 

Откуда R_B = = = 525Н.

· Записываем уравнение равновесия балки как сумму моментов всех сил относительно опоры В.

= -R_A *8 +Р₁*(8-3) +Р₂*(8-5)=0,

 

Откуда R_A = = = 475Н.

· Проверка правильности вычислений

Сумма проекций всех сил на ось Y должна равняться нулю.

 

= R_A –Р₁ –Р₂ + R_B= 475 -400-600+525 =0

Приведение силы к точке

В начале Х1Х века Л. Пуансо доказал теорему о параллельном переносе силы в любую заданную или выбранную точку.

Пусть дана сила , приложенная к точке А твердого тела, и ее требуется перенести в точку О (рис. 16, а). Приложим к телу в точке 0 (рис. 16, 6) уравновешенную систему сил ,^{′ ′′}, параллельных и равных ей по модулю (т. е. P' = P" = P). Теперь кроме силы ^′′, приложенной к точке О, образовалась пара сил (, ^′) с моментом М=P h. но так как и момент данной силы относительно точки О равен М₀( )=P h, то М= М_о( ).

Таким образом, всякую силу , приложенную к телу в точке А, можно переносить параллельно линии действия в любую точку О, присоединив пару сил, момент которой равен моменту данной силы отно­сительно новой точки ее приложения.

Операция такого переноса силы называется при­ведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара (, ^′) с моментом М= М_о( ) называется присоединенной парой (рис. 16, в).

 

 

Рис. 16. Приведение силы в точку О.

 

Изложенный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил, которые приводятся в одну точку. Сходящиеся в этой точке силы заменяем одной силой (), которая является геометрической суммой этих сил и называется главным вектором системы сил. По аналогии с главным вектором получаем главный момент системы (М_г) относительно точки приведения, складывая алгебраически моменты присоединенных пар.

Таким образом, плоская система сил может быть заменена эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы и одной пары сил. Очевиден факт, что система сил находится в равновесии, когда главный вектор системы сил () и главный момент системы (М_г) равны нулю. Это условие называется условием равновесия плоской системы сил.

 

 

ГЛАВА 2. ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

2.1. Деформация тел под действием внешних сил

На все детали машин и сооружений во время их работы дейст­вуют различные внешние силы. При определении величины и на­правления таких сил, приложенных к телам, находящимся в рав­новесии, обычно делается допущение, что все тела абсолютно твердые, т. е. недеформируемые. Об этом говорилось выше в разделе «СТАТИКА».

В действительности тела под действием приложенных к ним сил в той или иной степе­ни меняют свою форму и размеры, т. е. де­формируются. Различают упругую и остаточную деформации. Деформация, полностью ис­чезающая после прекращения действия внеш­них сил, называется упругой. Если после сня­тия нагрузки тело не восстанавливает прежней формы, то говорят об остаточной (пластиче­ской деформации).

Характер деформации (упругая или оста­точная) зависит от величины силы, действую­щей на тело, размеров тела и механических свойств его материалаМы будем знакомиться с деформацией тел наиболее простой формы. Таким телом явля­ется прямолинейный брус — тело с прямой осью, у которого длина больше поперечных размеров. Для упрощения расчетов мы будем считать, что сам брус не имеет массы.. В зависимости от направ­ления действия сил, приложенных к телу, мо­гут возникать различные виды деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб.

Деформация растяжения или сжатия воз­никает в том случае, когда внешние силы на­правлены по одной прямой (вдоль оси бруса) в разные стороны (рис. 17, а, б). Если на брус действуют внешние силы, стремящиеся сдви­нуть одну

часть его относительно другой, то возникает деформация сдвига (рис. 17, в).

Если брус находится под действием нагрузок, создающих противоположные пары сил в плоскостях, перпендикулярных продольной оси бруса, то появляется деформация кручения (рис. 17, г). И, наконец, две равные пары сил разного знака создают деформацию изгиба (рис. 17, д).

 

 

Рис. 17. Виды дефор­маций:

а — растяжение; б— сжатие; в — сдвиг; г —кручение; д — изгиб.

 

 

Чтобы любая деталь машины была работоспособна, т. е. мог­ла работать безопасно и быть достаточно долговечной, она не только не должна разрушаться от действия на нее рабочих усилий, но и деформации, возникающие в ней при этом, должны быть весьма малыми и обя­зательно упругими. Определить минимальные размеры детали, необходимые для обеспечения ее работоспособности в соответствии с действующими на нее нагрузками и свойствами материала, из которого эта деталь изготовлена, можно методами, изучаемыми в разделе технической механики– «Сопротивление материалов».

2.2. Внешние силы, внутренние силы упругости и напряжения

Нагрузки, действующие на тело при взаимодействии его с други­ми телами, называются внешними. По способу приложения они могут быть сосредоточенными и распределенными. Сосредо­точенные нагрузки действуют на тело через очень маленькие пло­щадки и с достаточной степенью точности могут считаться прило­женными в точке. По характеру действия нагрузки делятся на постоянные (статические) и переменные. Мы будем рассматривать наиболее простые случаи, когда действуют сосредоточенные по­стоянные нагрузки.

Как было отмечено, под влиянием внешних сил тело деформи­руется. При этом силы взаимного сцепления между частицами ма­териала оказывают противодействие внешним силам—так возни­кают внутренние силы упругости, которые распределены по всей площади поперечного сечения тела в одних случаях равномерно, в других — неравномерно.

Величина внутренних сил упругости, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения тела, называется напряжением. Иначе можно сказать, что напряжения являются мерой интенсив­ности распределения внутренних сил упругости.

Поскольку внутренняя сила (как и всякая сила) является век­тором, то и напряжение — также вектор. Единица измерения на­пряжения Н/м² ; 1 Н/м² называется паскаль (Па). Так как паскаль для технических расчетов очень мал, в практике используют мегапаскаль (МПа) равный 10⁶ Па. Мегапаскаль удобно выражать как Н/мм² .

Если вектор внутренних сил, а значит и напряжений направлен перпендикулярно рассматриваемому сечению тела, напряжение называется нормальным и обозначается буквой σ (сигма). Если напряжение действует в плоскости рассматриваемого сечения те­ла, то его называют касательным и обозначают буквой τ (тау). К этим буквам добавляются индексы, обозначающие вид дефор­маций: р (растяжение), с (сжатие), ср (срез при сдвиге), к (круче­ние), и (изгиб).

 

2.3. Действительные, предельно опасные и допускаемые напряжения.

Установлено, что внешние силы вызывают деформацию тел, в результате чего появляются внутренние силы упругости, а зна­чит, и напряжения. Если известны внутренние силы, характер их распределения в сечении и размеры, то можно определить так на­зываемые действительные напряжения.

Однако не любое напряжение безопасно для материала детали. Внутренние силы, т. е. силы противодействия, не могут возрастать беспредельно без нарушения работоспособности детали. При до­стижении определенной величины наступает критический момент. Для пластичных материалов — это появление остаточных дефор­маций, т. е. переход из зоны упругости в зону пластичности, для хрупких — нарушение целостности, т. е. разрушение. Таким обра­зом, существуют предельно опасные напряжения: в первом слу­чае— предел текучести (σ_т и τ_т), во втором — предел прочности (σ_пч и τ_пч) - Особым случаем нарушения работоспособности детали является разрушение ее материала под влиянием напряжений, цик­лично изменяющихся во времени. В этом случае предельно опас­ным напряжением является предел выносливости. Известно, что величина предельно опасных напряжений зависит от свойств мате­риала и определяется во время механических испытаний. Их вели­чины приводятся в справочниках.

Казалось бы, что условие безопасной и долговечной работы де­тали следует формулировать так: действительные напряжения дол­жны быть меньше предельно опасных напряжений или равны им.

Однако нельзя допустить, чтобы детали машин работали при предельных напряжениях или при напряжениях, весьма близких к ним, так как в этом случае даже малейшее увеличение действи­тельных напряжений, вызванное случайными причинами, может привести к опасным пластическим деформациям или к разруше­нию. Поэтому в расчетах ориентируются на более безопасную величину максимальных напряжений — на допуска­емые напряжения, которые меньше предельно опасных в опреде­ленное число раз. Это число называют нормативным коэффициен­том запаса прочности.

Выбор нормативного коэффициента запаса прочности чрезвы­чайно сложен и должен учитывать большое число факторов (свой­ства материала, характер нагрузки, степень ответственности детали и др.). В случае приближенных расчетов поступают проще: до­пускаемые напряжения выбирают по таблицам в справочниках. Та­ким образом, окончательное условие прочности любой детали бу­дет таким: действительные напряжения должны быть меньше до­пускаемых напряжений или равны им.

Допускаемые напряжения обозначают теми же буквами, что и действительные, но заключают их в квадратные скобки. Например, σ_р — действительное напряжение при растяжении, а [ σ_р ] — допуска­емое напряжение при растяжении.

2.4. Определение внутренних сил упругости

Кратко повторим последовательность рассуждений, изложенных в предыдущих параграфах: внешние силы вызывают деформацию, в результате деформации появляются внутренние силы упругости, интенсивность распределения внутренних сил упругости характе­ризуется напряжением, действительные напряжения не должны превышать допускаемых, основной задачей сопротивления матери­алов является определение минимально необходимых размеров де­тали, обеспечивающих ее работоспособность.

Отсюда следует, что для решения основной задачи сопротивле­ния материалов необходимо прежде всего научиться по внешним силам определять внутренние силы упругости. Для этого приме­няют метод сечений. Сущность его заключается в следующих че­тырех действиях (рассматривается находящийся в равновесии брус, к которому приложены известные внешние силы или момен­ты сил):

1) мысленно рассекают брус плоскостью, перпендикулярной его оси, в том месте, где требуется определить внутренние силы;

2) отбрасывают любую из полученных частей. Равновесие остав­ленной части не нарушится лишь в том случае, если к ней прило­жить реакции — внутренние силы, заменяющие действие отброшен­ной части. Для оставленной части они будут играть роль внешних сил;

3) заменяют действие отброшенной части искомыми внутренними силами;

4) уравновешивают оставленную часть, т. е. определяют внутрен­ние силы.

Следует помнить, что здесь определяется не закон распределе­ния внутренних сил по сечению, а лишь равнодействующая этих сил (или равнодействующая пара сил).

Проиллюстрируем этот метод на простом случае нагружения бруса круглого сечения (рис. 18, а). Первый шаг — рассекаем брус (рис. 18, б), затем отбрасываем одну часть (рис. 18, в) (показана оставленная часть); наконец, заменяем действие отброшенной части внутренними силами с таким расчетом, чтобы соблюдались условия равновесия, т. е. производим третье и четвертое действия (рис. 18, г).

В этих случаях для равновесия бруса необходимо и достаточно, чтобы внутренние силы приводились к равнодействующей N (про­дольной или нормальной силе).

 

 

Рис.18.Схемы определения внутренних сил упругости: а — исходная схема нагружения бруса; б — брус рассекается плоскостью; в — отсеченная часть бруса; г — равновесие отсеченной части бруса.

 

2.5. Расчеты на прочность

При решении практических задач с использованием методов на­уки о сопротивлении материалов могут встретиться два типовых случая.

Первый случай — известны внешние силовые факторы (силы, моменты), приложенные к детали, и материал детали. Требуется определить размеры поперечного сечения детали. Такая задача на­зывается проектным расчетом и решается так. По справочным дан­ным определяют допускаемые напряжения. Искомые размеры по­перечного сечения детали будут тем меньше (экономически это, естественно, более целесообразно), чем большие действительные напряжения мы допустим в ней. Поэтому мысленно действитель­ные напряжения приравнивают к самым большим безопасным, т. е. допускаемым напряжениям. Затем, применив метод сечений, определяют внутренние силовые факторы (силы, моменты). В за­ключение, зная допускаемые напряжения и внутренние силовые факторы, определяют размеры поперечного сечения по расчетным формулам, в которых учитывается, как распределены внутренние силы упругости в сечении. Эти расчетные формулы приведены ни­же при рассмотрении каждого вида деформаций.

Второй случай — известны внешние силовые факторы (силы, моменты), действующие на деталь, материал детали и размеры ее поперечного сечения. Требуется проверить прочность детали. Такая задача называется проверочным расчетом. В этом случае определяют действительные напряжения, сравнивают их с допу­скаемыми и делают вывод о прочности. Как мы знаем, деталь бу­дет прочной, если окажется выполненным следующее условие: действительные напряжения меньше допускаемых или равны им. Величина допускаемых напряжений выбирается, как и в первом случае, по справочникам, а величина действительных напряжений определяется по внутренним силовым факторам и размерам поперечного сечения в соответствии с расчетными формулами для каждого вида деформации.

 

2.6. Распределение напряжений при растяжении.

Как мы отмечали, деформация растяжения появляется в том случае, если внешние силы направлены по одной прямой вдоль оси бруса в разные стороны. Если представить себе в таком брусе во­ображаемые продольные волокна материала, то ясно, что все они удлинятся, причем, очевидно, удлинения всех волокон будут оди­наковы. Иначе говоря, материал в любой точке поперечного сече­ния будет одинаково деформироваться. Следовательно, и внутрен­ние силы упругости также во всех точках будут одинаковы. Но это означает, что во всех точках будут одинаковые напряжения. Оче­видно, что при таком равномерном распределении внутренних сил по сечению величину действительных нормальных напряжений можно получить, разделив равнодействующую N внутренних сил (продольную силу) на площадь F поперечного сечения бруса, т.е.

σ_р = .

2.6.1. Зависимость между напряжением и относительным удлинением

Установлено, что в некоторых пределах нагружения при упругих деформациях напряжение при растяжении σ_р оказывается прямо пропорциональным величине относительного удлинения ε. От­носительным удлинением называется отношение абсолютного уд­линения (прироста длины) ∆l бруса к его первоначальной длине l, т. е.

ε =

Величина ε — или безразмерный параметр, или выражается в процентах. Если коэффициент пропорциональности между напря­жением и относительным удлинением обозначить буквой Е, то σ_р =E ε.

Зависимость эта была впервые установлена английским ученым Гуком и называется законом Гука. Каков же физический смысл коэффициента пропорциональности? Это легко установить, если сделать допущение, что ∆l = l а значит, ε =1. В этом случае E = σ_р и можно сказать, что Е — такое напряжение растяжения, которое возникает в материале, если брус удлиняется на величину, равную своей первоначальной длине. Надо отметить, что хотя почти все материалы разрушаются гораздо раньше, чем напряжение достигает величины Е, тем не менее величина такого напряжения отображает действительные свойства материала, его способность сопротивляться упругой деформации растяжения. Коэффициент пропорциональности Е называется модулем упругости при растя­жении (модулем продольной упругости). Величина Е для различ­ных материалов различна. Например, для стали E≈ 2*10⁵ МПа. Для практических расчетов удобнее другое математическое выра­жение закона Гука при растяжении, позволяющее определять ве­личину абсолютной деформации бруса под нагрузкой. Получить его несложно, если учесть, что

σ_р = и ε = .

Тогда

= E или ∆l = .

Следовательно, абсолютное удлинение, полученное брусом, прямо пропорционально продольной силе и длине бруса и обрат­но пропорционально площади поперечного сечения и модулю уп­ругости.

Так же как и при растяжении, внешние силы, деформирующие брус при сжатии, направлены вдоль оси бруса в противополож­ные стороны. Однако при растяжении они направлены от тела, а при сжатии – к телу.

Внутренние силы упругости при сжатии рас­пределяются по сечению, как и при растяжении, равномерно, таккак материал во всех точках поперечного сечения подвергается одинаковой деформации. Значит и величина действительных на­пряжений при сжатии подсчитывается аналогично:

σ_С =

где N — равнодействующая внутренних сил уп­ругости (продольная сила), F — площадь поперечного сечения бруса. Для сжатия полностью применим закон Гука. Его математические выражения аналогичны рас­смотренным при растяжении.

Наглядное представление об изменении внутренних продольных сил по длине бруса дает эпюра (график продольных сил), ось которой проводится параллельно оси бруса, а перпендикулярно ей откладываются значения продольных сил (с учетом знаков) в выбранных сечениях бруса.

Пример построения эпюры продольных сил

Рассмотрим брус (рис. 19), к которому в точках 1, 2, 3, 4 приложены внешние силы Р₁ =Р, Р₂ =3Р, Р₃ =2Р и Р₄ =2Р.

Рис. 19. Эпюра продольных сил.

 

Методика построения эпюры следующая:

· Разбиваем брус на участки, границами которых являются точки 1, 2, 3, 4 приложения сил.Получаем в нашем случае три участка (І, ІІ, ІІІ).

· На каждом из участков в произвольном месте проводим сечение. На участке І –это сечение І - І, на участке ІІ – соответственно ІІ - ІІ и т.д.

· Используем метод сечений, отбрасываем правую часть и заменяем ее действие внутренней силой N_i. Равновесие оставшейся части имеет вид

– для участка І -P₁ +N₁ =0, откуда N₁ = P₁ =P,

-для участка ІІ -P₁ – P₂ + N₂ =0, откуда N₂ = P₁ + P₂ = 4P,

- для участка ІІІ -P₁ – P₂+ P₃ + N₃ =0, откуда N₃ = P₁ + P₂ - P₃ = 2P.

 

2.6..2. Расчеты на прочность при растяжении, сжатии

При проверочном расчете, как мы отмечали, надо определить действительные напряжения и сравнить их с допускаемыми. Проч­ность будет обеспечена, если действительные напряжения не пре­высят допускаемых. Математически это записывается так:

при растяжении

σ_Р = ≤ [ σ_р ];

при сжатии

σ_с = ≤ [ σ_с ].

 

При проектном расчете требуется определить размеры поперечного сечения детали. В этом случае расчет ведется в предположении, что действительные напряжения будут равны допускаемым (или несколько меньше допускаемых). Следовательно, при растяжении ≤ [ σ_р ], откуда

F ≥ . Аналогично при сжатии F ≥ .

 

2.7. Распределение напряжений при сдвиге

Деформация сдвига возникает в тех случаях, когда внешние силы, действующие на брус, расположены в параллельных плос­костях на очень малом расстоянии друг от друга и направлены в противоположные стороны (рис.17, в). При этом происходит разрушение, на­зываемое срезом. Характерным примером сдвига является резание материала ножницами.

Нетрудно представить, что все точки деформируемых сечений, ограниченных плоскостями действующих сил, смещаются на рав­ные расстояния, т. е. материал в этих точках под­вергается одинаковой деформации. Следовательно, справедливо будет такое же рассуждение, какое мы применили при изучении деформации растяжения: одинаковые деформации вызывают воз­никновение одинаковых внутренних сил упругости и, следовательно, во всех точках сечения будут одинаковые действительные на­пряжения. Поэтому их величина определится делением равнодей­ствующей Q внутренних (поперечных) сил на площадь F попереч­ного сечения бруса. Так как вектор напряжения расположен в плоскости сечения, то возникает касательное напряжение, т. е.

τ_ср = .

Как и при растяжении (или сжатии), при сдвиге справедлив закон Гука, в зоне упругости напряжения прямо пропорциональны относительным деформациям.

Расчет на прочность при сдвиге ничем не отличается от расче­та на прочность при растяжении (сжатии). Так, при проектном расчете

≤ [ τ_ср ], oткуда F ≥ .

При проверочном расчете τ_ср = ≤ [ τ_ср ].

2.8. Распределение напряжений при кручении.

Деформация кручения возникает, как мы уже ранее отметили, при действии на брус нагрузок, создающих противоположные па­ры сил в плоскостях, перпендикулярных продольной оси бруса (рис.17, г). Если обратить внимание на то, что при этом прямолинейные обра­зующие круглого бруса принимают вид винтовых линий (это лег­ко наблюдать на резиновом стержне), то можно предположить, что при кручении каждое поперечное сечение по отношению к сосед­нему поворачивается на некоторый угол. Можно представить себе и другую картину: брус сложен из множества тончайших дисков. При повороте каждого диска на стыке с соседним происходят пе­ремещения точек в плоскостях, перпендикулярных оси бруса. От­сюда вывод — при кручении бруса в каждом сечении происходит деформация сдвига и возникают касательные напряжения. Однако если при обычном сдвиге все точки деформируемого се­чения прямолинейно смещались на равные расстояния, то при кру­чении материал в разных точках, находящихся на разных расстоя­ниях от оси бруса, испытывает разную деформацию.

Чем дальше точка удалена от оси, тем больше перемещение по дуге. Но так как величина напряжений прямо пропорциональна от­носительной деформации (по закону Гука), то очевидно, что и на­пряжения в различных точках одного и того же сечения будут различны и пропорциональны расстоянию точки от центра сечения (его называют полюсом). В точке сечения, совпадающей с полю­сом, напряжение будет равно нулю. Наибольшие напряжения τ_max будут в наиболее удаленных точках, расположенных на поверхнос­ти бруса. Таким образом, первое отличие деформации кручения от деформации сдвига заключается в различных законах распределе­ния напряжений по сечению. Есть и еще одно отличие. Как от­мечали ранее, использование метода сечений при сдвиге позволяет выявить равнодействующую внутренних сил упругости (попереч­ную силу Q), а применение того же метода при кручении приво­дит к обнаружению равнодействующей пары сил, создающей кру­тящий момент М_к. Оба эти отличия необходимо иметь в виду при определении величины действительных напряжений при кручении.

Вспомним, что при сдвиге они определялись делением равно­действующей внутренних сил упругости на площадь поперечного сечения (аналогичная закономерность была справедлива также при растяжении, сжатии и смятии). Для определения действи­тельных напряжений при кручении так поступать нельзя, так как изменился внутренний силовой фактор (вместо силы — момент) и уже не тот закон распределения напряжений по сечению (вмес­то равномерного — неравномерное). Вывод расчетной формулы для определения действительных напряжений в опасных точках сечения скручиваемого бруса, т. е. для определения τ_max, достаточ­но сложен и требует большого числа математических преобразований. Но основывается он на известных нам положениях.

Соответствующие приведенным рассуждениям математические преобразования (при условии, что брус имел круглое поперечное сечение с диаметром d) приводят к следующей формуле:

τ_max = .

где W_ρ = полярный момент сопротивления сечения круче­нию. Размерность величины W_p — м³, см³, мм³.

Для практических расчетов можно принять, что ≈0,2d³.

Сравнение формул для определения действительных напряжении при сдвиге (τ_ср = ) и кручении (τ_max = ) позволяет сделать вывод, что в правой стороне приведенных закономерностей числитель отражает внутренний силовой фактор, а знаменатель — геометрический. Таким образом, величина W_p характеризует спо­собность круглого поперечного сечения заданных размеров сопро­тивляться деформации кручения.

2.8.1. Расчеты на прочность при кручении

Типовой деталью, испытывающей деформацию кручения, яв­ляется вал. При проектном расчете его на прочность надо по кру­тящему моменту и допускаемому напряжению определить необхо­димый диаметр вала. Исходной является зависимость, в которой, как обычно, в качестве максимальных действительных напряжений используются допускаемые напряжения. Таким образом,

,

откуда

d ≥ .

Так как для валов многих машин бывает известен не момент, а передаваемая мощность N (Вт) и угловая скорость ω (1/с) вра­щения вала или частота вращения п (об/мин), то прежде всего определяют внешний вращающий (скручивающий) момент (Н^.м):

M_к = .

Если дана величина п, то ω = .

При проверочном расчете, как и в случаях других деформаций, определяют действительные напряжения и сравнивают с допуска­емыми. Прочность будет обеспечена, если соблюдается условие:

τ_k = .

Пример расчета на прочность вала при кручении

Определить диаметр стального вала, вращающегося с угловой скоростью ω = 100 1/с и передающего мощность N =100 кВт.

Допускаемое напряжение [ τ_к ]= 40 МПа.

Решение.

· Определяем внешний вращающий (скручивающий) момент (Н^.м):

M_к = = =1000 Н^.м.

· Диаметр вала из условия прочности

d = = = 50 мм.

2.9. Особенность деформации изгиба

Если брус находится под действием двух пар сил, расположен­ных в плоскости его продольной оси, то возникает деформация из­гиба. Представим себе в таком брусе продольные волокна. При де­формации изгиба волокна в одной зоне удлиняются, в другой — укорачиваются (рис. 20). Между зонами растяжения и сжатия располагается нейтраль­ный слой, волокна которого не подвергаются деформации и сохра­няют свою длину неизменной.

 

Рис. 20. Схема деформации при чистом изгибе.

Чем дальше волокна расположены от нейтрального слоя, тем большую деформацию они испытывают. Отсюда можно сделать вывод, что при изгибе в поперечных сече­ниях бруса под действием внутренних сил возникают нормальные напряжения растяжения и сжатия.

Наибольшие напряжения будут в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси z — z. Нейтраль­ной осью называется прямая, по которой поперечное сечение пере­секается с нейтральным слоем. Наибольшие напряжения в зоне растяжения обозначаются + σ_max, а в зоне сжатия — σ_max, т. е. знаком плюс обозначают напряжения растяжения, а знаком минус — напряжения сжатия. В точках, расположенных на нейтральной оси, напряжения равны нулю. Мы рассмотрели случай чистого изгиба, когда брус находится под действием пар сил. Но изгиб может возникнуть и при ином нагружении бруса, например под действием силы и реакций опор, перпендикулярных оси балки (рис. 21, а) (брус, испытывающий деформацию изгиба, обычно называют балкой). В этом случае ха­рактер деформирования более сложный и носит название попереч­ного изгиба. Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений. Рассмотрим любое сечение, например, І— І. Рассечем брус, отбросим левую часть и рассмотрим равновесие оставшейся правой части (рис. 21, б). Для общего случая равно­весия тел требуется соблюдение трех условий. Первое условие — равенство нулю суммы сил, направленных параллельно одной из осей (ось у), позволяет

Рис. 21. Схема изгиба двухопорной балки (а); метод сечения для опреде­ления внутренних сил (б)

 

сделать вывод, что в сечении должны быть внутренние поперечные силы, равнодействующая которых Q равна R_В. Второе условие — равенство нулю суммы сил, направленных параллельно другой оси (оси z), — соблюдается тождественно, так как обе силы — и внешняя и равнодействующая внутренних сил — направлены перпендикулярно этой оси Однако для равно­весия отсеченной части этого недостаточно, так как силы Q и R_В образуют пару сил с плечом Z₁ Соблюдение третьего условия — равенство нулю суммы моментов всех сил — подсказывает нам, что в сечении должны дополнительно действовать внутренние си­лы, приводящие к образованию уравновешивающей пары сил, т. е. изгибающего момента M_И = R_В Z₁. Таким образом, окончательно выясняется, что в сечении действуют следующие внутренние сило­вые факторы: поперечная сила Q и изгибающий момент M_И.

Первый фактор — есть следствие деформации сдвига, а вто­рой— следствие деформации изгиба. Как показала практика, главную опасность для прочности материала при поперечном из­гибе представляют нормальные напряжения, поэтому в дальней­шем, рассматривая подобные случаи нагружения, будем пренебрегать сопутствующим явлением сдвига, т. е. не учитывать внутренние поперечные силы и соответствующие им касательные напряжения.

2.10. Распределение нормальных напряжений при изгибе

Представим себе брус прямоугольного сечения площадью F, жестко закрепленный одним концом и нагруженный так, как пока­зано на рис.22, а. Проанализируем напряженное состояние. Не подлежит сомнению, что в

 

Рис. 22. Схемы растяжения (а, б) и изгиба (в, г) бруса при его различной ориентации.

данном случае возникает деформация растяжения и что в любом нормальном поперечном сечении между свободным и закрепленным концами бруса будут одинаковые на­пряжения, т. е. что все сечения равноопасны. Это можно точно установить, применяя метод сечений. Тогда окажется, что в любом сечении внутренние силы упругости равны внешней силе Р. Во всех точках сечений напряжения одинаковы (ведь внутренние си­лы при растяжении распределены по сечению равномерно) и равны

σ_Р = .

Изменим положение бруса в пространстве (рис. 22, б) и снова проанализируем напряженное состояние. Окажется, что все выво­ды, приведенные выше, остались справедливыми.

Теперь снова рассмотрим эти два бруса, однако силу приложим по-иному (рис. 22, в). Нетрудно представить, что в этих случаях брус (будем, как условились, называть его теперь балкой) испытывает деформацию изгиба. Будут ли все сечения равноопасны, как это имело место при растяжении? Опыт подсказывает, что нет. Возможные разрушения балок могут произойти прежде всего в се­чении, совпадающем с заделкой. Чем же такое сечение отличается от всех остальных? Очевидно тем, что момент, создаваемый силой Р (изгибающий момент), в этом сечении будет наибольшим. Ведь величина момента зависит не только от величины силы Р, но и от плеча силы, и именно для сечений, совпадающих с заделкой, плечо наибольшее. Величину этого момента можно установить, применив метод сечений.

Таким образом, первое отличие деформации изгиба от деформа­ции растяжения при рассмотренных случаях нагружения заключа­ется в следующем: при изгибе есть опасное сечение, а при растя­жении — повторим еще раз — все сечения равноопасны.

Продолжим наш анализ. Одинаковы ли напряженные состояния балок, изображенных на рис. 22, в, г? Опыт подсказывает, что бал­ка, показанная на рис. 22, г, лучше сопротивляется деформации, несмотря на то, что размеры поперечных сечений в обоих случаях одинаковы. Чем отличается положение балок? Лишь тем, что в первом случае материал в сечении ближе расположен к нейтраль­ной оси (ось z — z), а во втором — дальше (ось у — у). В преды­дущем параграфе мы уже отмечали, что чем дальше от нейтраль­ного слоя расположены в балке волокна, тем больше они дефор­мируются, а значит, и тем большее сопротивление деформации оказывают. В этом второе отличие деформации изгиба от дефор­мации растяжения: сопротивление деформации зависит не только от размеров поперечного сечения бруса, но и от ориентации его по отношению к изгибающей силе. В обоих случаях сечения представ­ляют собой прямоугольник, однако в одном случае он имеет боль­шое основание и малую высоту, а во втором — наоборот.

Следовательно, поскольку основное сопротивление изгибу ока­зывают периферийные слои материала (или, как говорят, «работа­ют на изгиб»), целесообразно при изгибе применять брусья с се­чениями, в которых материал расположен дальше от нейтральной оси.

Наиболее выгодными профилями являются двутавры и швелле­ры (рис. 23, а, б), у которых основная часть материала отнесена на значительное расстояние от нейтральной оси.

Как и при изучении деформации кручения, мы не будем выво­дить формулу для определения максимальных действительных на­пряжений изгиба, поскольку это сделать достаточно сложно. По­кажем лишь последовательность рассуждений, которые сопровож­дают этот вывод при использовании метода сечений.

Вначале определяется величина относительной деформации (растяжения или сжатия) в произвольной точке интересующего нас сечения изогнутой балки. Затем по закону Гука определяется напряжение в той же точке. Так как напряжение по существу представляет собой элементарную нормальную внутреннюю силу, то следующим этапом является определение элементарного внут­реннего изгибающего момента этой силы относительно нейтраль­ной оси.

Вслед за этим найденные для различных точек элементарные внутренние моменты суммируются по всей площади и эта сумма, т. е. внутренний изгибающий момент, приравнивается внешнему изгибающему моменту. В результате соответствующих этим рас­суждениям математических преобразований формула для опреде­ления максимальных напряжений изгиба приобретает такой вид:

σ_Иmax = .

 

 

Рис.23.Типовые профили балок: а —двутавр; б — швеллер; в — прямоугольник

Знаки «±» означают, что в точках, наиболее удаленных от ней­тральной оси, но расположенных по разные стороны от нее, будут различные по характеру деформации нормальные напряжения: в одном случае — напряжения растяжения, в другом — напряже­ния сжатия. Величина, обозначаемая W, называется осевым момен­том сопротивления изгибу. Она характеризует способность попе­речного сечения сопротивляться деформации изгиба относительна нейтральной оси. Величина W зависит от формы и размеров попе­речного сечения и его ориентации по отношению к изгибающему моменту, для чего к букве W добавляют индекс, соответствующий обозначению нейтральной оси, например W_Х или W_У. Размерность W — м³, см³, мм³. Для квадратного сечения со стороной а

W_X = W_У = ;

для прямоугольного сечения (рис. 23, в)

W_X = , W_У = ;

для круглого сечения

W_X = W_У ≈0,1d³.

Для сложных сечений типа двутавров и швеллеров осевые мо­менты сопротивления изгибу приводятся в справочниках.

2.10.1. Расчеты на прочность при изгибе

При проектном расчете требуется определить минимальные раз­меры опасного поперечного сечения, которые обеспечат при задан­ной нагрузке необходимую прочность. Изгибающий момент в опас­ном сечении и материал балки (следовательно, допускаемые на­пряжения тоже) известны. Как и в случае других деформаций, расчет ведут в предположении, что максимальные действительные напряжения будут равны или несколько меньше допускаемых, т. е.

≤ [ σ_И ],

отсюда

W ≥ .

Затем в зависимости от предполагаемой формы поперечного сече­ния балки определяют его необходимые размеры. Если сечение балки круглое, то W=0,1 d³, откуда находится искомый диаметр d. Если же сечение балки представляет собой квадрат со стороной а, то искомый размер находят из равенства

W = .

Несколько сложнее определить размеры прямоугольного сече­ния балки. В этом случае необходимо знать ориентацию сечения по отношению к действующему моменту, т. е. надо знать положе­ние нейтральной оси. Знание положения нейтральной оси позволит из двух зависимостей

W = , W = .

выбрать необходимую. Однако определить величины b и h можно будет лишь при условии, если известно отношение . Если сече­ние представляет собой стандартный профиль (двутавр, швеллер), то по полученной в расчете величине W из справочных таблиц под­бирают номер соответствующего профиля. Причем табличное зна­чение W_табл должно быть больше расчетной величины W или рав­но ей.

При проверочном расчете определяют максимальные действи­тельные напряжения, т. е. напряжения в наиболее опасных точ­ках опасного сечения и сравнивают их с допускаемыми. В этом случае предварительно находят изгибающий момент в опасном се­чении и момент сопротивления в этом сечении балки:

σ_{И max} = ≤ [ σ_И ].

2.10.2. Определение опасного сечения при изгибе

Выше отмечалось, что одно из отличий деформации изгиба от деформации растяжения (при рассмотренных выше случаях нагружения) — наличие опасного сечения, т. е. сечения, в котором действует максимальный изгибающий момент.

Очевидно, надо научиться определять положение опасного сечения балки и изги­бающий момент в этом сечении. Анализ простейшего случая

 

 

 

Рис. 24. Построение эпюры изгибаю- Рис.25. Построение эпюры изги-

щих моментов для одноопорной (кон- бающих моментов для двухопор-

сольной) балки: ной балки:

а — схема действия внешней силы; б, в — а — схема действия внешней силы; б —

равновесие отсеченных частей; г—эпюра равновесие балки под действием внеш-

изгибающих моментов. ней силы и опорных реакций; в — эпю­
ра изгибающих моментов.

 

 

нагружения балки (см. рис. 22) позволил найти положение опасного сечения, опираясь лишь на опыт. Снова вернемся к этому случаю и приведем более строгие доказательства. Балку теперь изобразим упрощенно (рис. 24, а). Для определения внутренних силовых факторов воспользуемся ме­тодом сечений. Так как этот метод применим лишь к свободному телу, то будем рассматривать равновесие отсеченной правой части (рис. 24, б). В сечении 1 будут действовать поперечная сила Q = P и изгибающий момент М _И =Рz₁. Рассмотрим теперь сечение 2 (рис. 24, в). В нем будет действовать та же сила Q, но момент будет другой — Рz₂. Аналогичные результаты получим и для дру­гих сечений. Мы уже условились, что поперечными силами и вы­званными ими касательными напряжениями сдвига будем прене­брегать. Все внимание сосредоточим на изгибающем моменте, величина которого, как это ясно из предыдущих рассуждений, изме­няется по длине балки по линейному закону — пропорционально отрезкам z₁, z₂ и т. д.

Этот закон можно изобразить графически – построить эпюру (график изменения) моментов. Выбрав масштаб для единицы измерения момента, откладываем от осевой линии эпюры (рис. 24, г) ординату, соответствующую величине наибольшего момен­та— Рl (условимся момент считать положительным, если он про­гибает балку выпуклостью вниз, следовательно, в данном случае момент отрицательный).

Вторая точка для построения графика соответствует свободно­му концу балки. В этом сечении момент равен нулю. Соединив точ­ки а и б, получим график изменения изгибающего момента по дли­не балки, т. е. эпюру моментов. Промежуточные между точками а и б ординаты соответствуют моментам в соответствующих сече­ниях. Итак, для данного случая получили, что опасное сечение — в заделке, а изгибающий момент в нем равен Pl.

Разберем более сложный случай, когда балка двухопорная и нагружена силой в середине пролета (рис. 25, а). Здесь сразу нельзя применить метод сечений, так как по любую сторону от се­чения оказывается несвободная часть балки со связями. В подобных случаях надо вначале отбросить опоры и заменить их реакциями (рис. 25, б). Каждая из реакций равна . Применяя много­кратно метод сечений, вначале рассмотрим равновесие отсеченных частей балки, расположенных правее любого из сечений, проведен­ных на участке от правого конца балки до середины пролета. Результат очевиден: если на конце балки момент равен нулю, то к середине пролета он возрастает до значения * , т. е. . Затем точно так же рассмотрим равновесие отсеченных частей бал­ки, расположенных левее любого из сечений, проведенных на уча­стке от левого конца балки до середины пролета. Результаты бу­дут аналогичными. Выбрав масштаб единицы момента и устано­вив, что изгибающий момент положителен, отложим вверх по оси ординату и построим эпюру М_и (рис. 25, в). По эпюре вид­но, что в данном случае опасное сечение находится в середине про­лета, момент М_и в опасном сечении равен . Именно эту ве­личину надо
будет подставить в расчетное уравнение при проект­ном или проверочном расчете балки на изгиб.

 

2.11. Продольный изгиб.

Рассматривая деформацию сжатия, мы отмечали, что она воз­никает при действии на брус сил, направленных по его продольной оси навстречу друг другу, и что при этом поперечные размеры бруса мало отличаются от его продольных размеров.

Если поперечные размеры бруса будут во много раз меньше его длины (такой брус называют стержнем), то может возникнуть иное напряженное состояние. Вначале, когда силы невелики, стержень действительно подвергается сжатию и его ось будет оставаться прямолинейной. Однако, увеличивая силу, можно подойти к такому ее значению, которое выведет стер­жень из устойчивого положения и его ось станет криволинейной (рис. 26). Естественно, что работоспособность детали при этом будет нарушена. Деформация стержня, яв­ляющаяся следствием потери его устойчиво­сти под действием сжимающих сил, называ­ется продольным изгибом. Сила, которая соответствует моменту перехода стержня из устойчивого положения в неустойчивое, на­зывается критической силой, а напряжение сжатия, соответствующее этой критической силе,— критическим напряжением.

 

Рис. 26 Продольный изгиб стержней жестко защемленного (а) и с шарнирными опорами (б).

 

Практика показывает, что это напряже­ние меньше обычного предельно опасного напряжения, ориентируясь на которое, вы­бирают допускаемые напряжения при сжа­тии. Поэтому, чтобы расчет на прочность при сжатии одновременно гарантировал устойчивость, допускаемые напряжения на сжатие при таком нагружении стержней снижают­ся в зависимости от соотношения длины и поперечных размеров стержня и от способа закрепления его концов. Например, при прочих равных условиях стер­жень, закрепленный, как показано на рис. 26, а, менее устойчив, чем стержень, показанный на рис. 26, б.

2.12. Сложное сопротивление

Мы рассматривали случаи простых деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, поперечный и продольный изгибы. Одна­ко некоторые детали могут испытывать одновременно несколько простых деформаций, т. е. сложное сопротивление. Наиболее час­то встречаются следующие комбинации простых деформаций: рас­тяжение (сжатие) с изгибом и изгиб с кручением.

Если брус нагружен так, как показано на рис. 27, а, то это обычная деформация растяжения. Если брус нагружен так, как показано на рис.27, б (теперь это балка), то это обычная деформация поперечного изгиба. А если нагружение будет таким, как показано на рис. 27, в? Определить вид деформации в этом случае нетрудно, если раз­ложить заданную силу Р на две составляющие — P₁ и Р₂ (рис.27, г).Составляющие находятся как проекции силы Р на координатные оси. Тогда ясно, что нагружение аналогично сумме двух первых нагружений (рис.27, а, б), а значит, и напряженное состояние будет соответствовать одновременному появлению напряжений растяжения и напряжений изгиба. Проанализируем действие силы Р₁.

 

 

 

Рис. 27 Различные виды деформаций: а- растяжение; б- поперечный изгиб; в -сложная

деформация; г -сложная деформация как сумма двух простых деформаций.

 

При деформации растяжения все сечения по длине бруса и все точки в сечениях равноопасны. Равнодействующая внутренних сил N=P₁. Величина напряжения

σ_р = ,

где F — площадь поперечного сечения бруса.

Проанализируем действие силы Р₂. Здесь наиболее опасно сечение в заделке (там наибольший изгибающий момент М_И=Р₂l) и в этом сечении наиболее опасны точки, дальше всего расположен­ные от нейтральной оси. Напряжение в этих точках

σ_{И max} = ,

где Р₂l — изгибающий момент в заделке, W — осевой момент со­противления сечения изгибу.

Нормальные напряжения σ_р и σ_{И max} можно складывать алгеб­раически (они направлены по одной прямой). Очевидно, что в итоге наиболее опасным будет сечение в заделке, и в этом сечении наиболее опасными будут те точки, в которых напряжения сумми­руются, т. е. там, где у них будет одинаковый знак:

σ_сум = .