Визначення характеристик стаціонарного випадкового процесу

Нехай в результаті досліду отримані деякі дані, що подані у вигляді таблиці. Потрібно знайти оцінки математичного сподівання, дисперсії і нормальної кореляційної функції. Перевіримо гіпотезу про те, що дана функція є стаціонарною. Так як при розв’язку практичних задач дослідних даних (реалізацій випадкових функцій) є обмежене число, то це може привести до того, що теорія статистичної перевірки гіпотез, яка базується на достатньо великій кількості спостережень, не підтвердить гіпотези про стаціонарні функції, хоча насправді є всі підстави вважати таку гіпотезу справедливою.

Основною ознакою стаціонарності випадкової функції є однорідність протікання процесу в часі.

Випадковий процес в будь-якій динамічній системі починається з нестаціонарної стадії – перехідного процесу, після затухання якого система переходить в усталений режим, і тоді процеси, які відбуваються в системі, можуть бути описані стаціонарними функціями.

Таким чином, вважатимемо випадковий процес стаціонарним, а зміни математичного сподівання і дисперсії віднесемо на рахунок спотворень. Сумуючи по стовпцях і розділивши суму на n – число реалізацій, і знайдемо наближено залежність середніх арифметичних значень від проміжку часу t.

		…
		…

Для отримання оцінки математичного сподівання обчислюють середнє арифметичне із середніх арифметичних координат випадкового процесу:

.

Знайшовши оцінку дисперсії і їх середнє арифметичне, знайдемо оцінку дисперсій для стаціонарної функції:

.

Оцінка стандартного відхилення:

.

Обчислимо нормовану кореляційну функцію. Для стаціонарного випадкового процесу кореляційна функція залежить від величини . Отже, при Δt = const кореляційна функція є сталою. Дисперсія стаціонарної функції не змінюється з часом, тому й нормована кореляційна функція є сталою при Δt = const.

Знайшовши по реалізаціях і звівши їх в таблицю, зможемо знайти оцінку нормованої кореляційної функції.

			…
			…
			…	…
…	…	…	…	…
	…		…

Постійному значенню Δt відповідає головна діагональ (Δt =0) і паралелі цієї діагоналі . Знайшовши середнє оцінок значень нормованої кореляційної функції, запишемо отримані значення у вигляді таблиці.

		…
		…

;

- показує початок діагоналі.

Після визначення нормованої кореляційної функції і побудови її графіка потрібно її апроксимувати простим аналітичним виразом, який повинен відображати найбільш характерні властивості графіка функції і згладжувати випадкові коливання при великих Δt, тобто в точках, отриманих осередненням невеликого числа даних і тому ненадійних. Найбільш часто використовують такі апроксимальні вирази: