Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Опр. Функция называется однородной, если

 

Пример.

 

Опр. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Опр. Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Такое уравнение вычисляется с помощью замены подставим в (1) =>

 

 

Частные производные

 

Дана функция двух переменных Z=F(x,y),дадим аргументу x приращение Bx, а арг. Y менять не будем, Т.Е. перейдем от точки с координатами (x,y) к точке с координатоми (x+bx,y).

Тогда функция F(x,y) получит приращение ,которое над частным приращ. Ф-ии. F(x,y) по переменой x.

Опр.10.1:

Он над частной производной ф-ии

F(x,y) и обозн.

Аналогична опред-ся ч.пр. F(x,y) по Y

Т.Е ч.пр. это обычная производная ф. F(x,y) по переменой x при фиксиров.знач. y, а ч.пр это есть обыч. Пр. Ф. F(x,y) по переменой y при фиксир. Знач. X

 

Пр; Найти ч.пр. ф-ии

 

 

 

IV. Ряды.

Числовые ряды.

Ряды бывают: числовые, функциональные, степенные, конечные и бесконечные, знакопеременные.

Опр. Числовым рядом называется выражение вида , где числа.

Для сокращенного обозначения рядов используют знак

Пример.

Опр. Сумма первых n элементов ряда называется частичной суммой ряда .

Опр. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. , где S – сумма ряда. (если предел не существует или равен , то ряд расходится).

Пример. Определить сходимость ряда - геометрическая прогрессия.

Докажем сходимость каждого ряда.

 

Эти ряды являются рядами бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем <1, тогда . Так как сумма ряда конечное число, то ряд сходится.

Т. (Необходимый признак сходимости рядов).

Если ряд сходится, то его общий элемент стремится к нулю, т.е. .

Пример. ряд расходится.

 

Признак Даламбера сходимости рядов.

Пусть дан ряд Допустим, что , тогда

1) Если p<1, то ряд сходится.

2) Если p>1, то ряд расходится.

 

Пример. ряд сходится.

Задача. Написать первые пять элементов ряда по заданному общему элементу и проверить сходится ли ряд.

 

Знакопеременные ряды.

Опр. Рассмотрим ряд, у которого все элементы по очереди меняют знак: , где . Такой ряд называется знакочередующимся.

Пример.

Т.. (Признак Лейбница).

Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет следующим условиям:

1. Все элементы ряда убывают .
2. Общий элемент ряда стремится к 0 при .

 

Тогда ряд сходится.

 

Функциональные ряды.

Опр. Пусть дана бесконечная последовательность функций , где все функции определены на некотором множестве, тогда ряд называется функциональным рядом.

Если вместо аргумента x поставить конкретное число, то получим числовой ряд .

Опр. Если этот ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда.

Опр. совокупность всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда.

Факториал! n!=1*2*3*4*…*n

3!=1*2*3

2!=1*2

1!=1

0!=1

Пример.

Определить сходимость данного ряда по признаку Даламбера.

ряд сходится.