Статистические характеристики случайной величины

Задание

Разработать модель выходного сигнала радиолокационной станции, определяющий параметры движения неманеврирующего объекта с частотой 10 Гц., оценить точностные характеристики определения декартовых координат за 5 с. при известных статистических характеристиках шумов радиолокатора:

- аддитивные шумы распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, среднеквадратичным отклонением 3 град. по углам, 25 м по дальности

 

2. Общие положения:

Сигнал на выходе любого радиоэлектронного устройства при работе в идеальных условиях определяется входным сигналом и известными внутренними параметрами самого устройства – так называемый «истинный сигнал». На практике же существуют внешние возмущающие воздействия и неучтенные погрешности в параметрах устройства, которые приводят к появлению в составе выходного сигнала «шумовой составляющей» - отклонения реального выходного сигнала от «истинного»:

, (1)

где - измеренный выходной сигнал, - истинный сигнал, а - шумовая составляющая.

На практике выделить из состава сигнала «истинный», то есть точно определить значение шумовой составляющей (случайной величины) для каждого измерения не представляется возможным, однако часто можно ее определить статистические характеристики.

 

Статистические характеристики случайной величины

 

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Дискретная случайная величина принимает каждое из возможных значений с некоторой вероятностью Вероятностные свойства случайной величины характеризуются с помощью функции распределения и плотности вероятности.

На практике чаще всего встречаются равномерно распределенные на отрезке случайные величины и распределенные по Гауссовому закону (нормально распределенные) случайные величины.

Основными статистическими характеристиками для равномерно распределенной случайной величины являются:

- математическое ожидание (МО)

- минимальное и максимальное значения.

Основными статистическими характеристиками для нормально распределенной случайной величины являются:

- математическое ожидание (МО)

- дисперсия (σ²) и среднеквадратичное отклонение – квадратный корень из дисперсии.

 

При регистрации случайного процесса (то есть при наличии вектора значений в первую очередь необходимо определить закон его распределения, для чего построить гистограмму этого процесса в соответствии со следующей процедурой:

- определить вектор возможных значений случайной величины (или разбить весь интервал возможных значений на отрезки малой длины δ, и задать вектор дискретных значений , отстоящих друг от друга на величину δ);

- для каждого значения определить число его появлений в векторе (или число элементов вектора , отстоящих от не более чем на δ/2);

- построить график, отложив по оси абсцисс значения , а по оси ординат – число появлений этого значения

- сравнить полученную гистограмму с одной из известных плотностей распределения.

Если полученная гистограмма позволяет заключить, что случайный процесс распределен по равномерному закону, то необходимо определить минимальное и максимальное значения и математическое ожидание по формуле

. (2)

Если случайный процесс является нормальным (гистограмма похожа на плотность распределения гауссова процесса), то помимо математического ожидания необходимо определить среднеквадратичное отклонение по формуле

, (3)

или для облегчения расчетов

 

(4)