Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x ₀ человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x (t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению

.

Здесь k – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t:

.

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифферен­циального уравнения:

.

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:

x/ (N – x) = e^{Nkt + D},

из которого определим функцию x (t):

.

Здесь E = e^–D. Такого вида функция называется логистической, а её график – логистической кривой.

Если теперь учесть, что х (0) = х ₀ и положить х ₀ = N/ a, где a > 0, то можно найти значение константы Е. Логистическая функция примет вид:

.

На рисунке 2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях a. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

С помощью логистической функции описываются многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

Рассмотрим однородное уравнение

y ¢ + ay = 0. (3)

Перепишем его в виде: или . Последнюю формулу можно рассматривать как равенство дифференциалов функций одного и того же аргумента x. Интегрируя это равенство, получаем ln y = – ax + C, или y = e^{–ax + C}, где C ‑ произвольная константа. Если теперь ввести обозначение e^C = A, то можно представить так называемое общее решение уравнения (3) в виде:

y = Ae^–ax. (4)

Это решение зависит от неопределенной константы A, придавая которой различные значения, можно получить все множество интегральных кривых уравнения (3). Если мы хотим найти интегральную кривую, проходящую через точку (x ₁, y ₁), то нужно подставить координаты точки в формулу (4) и определить значение константы A. С этим значением константы A формула (4) будет определять лишь одну интегральную кривую или так называемое частное решение уравнения (3).

Как правило, задача ставится так: найти решение уравнения (3) при условии

y (0) = y ₀. (5)

Последняя формула называется начальным условием для уравнения (3).

Дифференциальное уравнение (3) при начальном условии (5) имеет единственное решение, которое определяется формулой

y (x) = y ₀ e^–ax. (6)

Заметим, что для задания начального условия, вообще говоря, не обязательно выбирать значение аргумента x, равное нулю. Как сказано выше, выделить единственное решение из множества, задаваемого формулой (4) (то есть определить константу А), можно с помощью любого соотношения y (x ₁) = y ₁, считая его начальным условием.

Если в уравнении (3) a = 0, то интегрирование приводит к решению y (x) = C, то есть к константе, которая при начальном условии (5) равна y ₀. Таким образом решение y (x) сохраняет начальное значение y ₀ при изменении x.

Рассмотрим теперь случай неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пусть дано уравнение

y¢ + ay = b, (b = cost) (7)

с начальным условием y (0) = y ₀.

Введем новую неизвестную (считаем, что a ¹ 0). Теперь уравнение (7) примет вид или z¢ + az = 0. Как было показано выше, решением последнего уравнения является функция z = z ₀ e^–ax, где . Возвращаясь к изначальной неизвестной, получаем решение уравнения (7) при заданном начальном условии:

. (8)

Если в уравнении (7) a = 0, то его решением при заданном начальном условии будет функция y (x) = bx + y ₀.

Заметим, что решение (8) состоит из двух частей: y_h = Ae^–ax ‑ решения однородного уравнения y¢ + ay = 0 и y ₀(x) = b / a ‑ решения, которое назовем равновесным и которое получается, если в уравнении (7) положить y¢ = 0. Такое представление позволяет рассматривать решение (8) уравнения (7) как сумму равновесного или фиксированного значения y_e и отклонения или девиации y_h тра­ектории y (x) от равновесного значения. Это отклонение возрастает экспоненциально с ростом x при a < 0 и стремится к нулю при a > 0. В первом случае (a < 0) решение называется неустойчивым, а во втором – устойчивым (асимптотически устойчивым).

Как показано на рисунках 1 и 2, отклонение y_h = (y ₀ – y_e) e^–ax от уровня равновесия уменьшается с ростом x при a > 0 и увеличивается с ростом x при a < 0.

В качестве примера рассмотрим динамическую модель Вальраса устойчивости рынка. Она формулируется следующим образом. Имеется несколько продавцов и несколько покупателей некоторого товара. Некий посредник объявляет цену p на товар, после чего каждый продавец сообщает, сколько товара он может продать при такой цене. Суммарное количество товара, выставляемое на продажу при данной цене, называется предложением и будет обозначаться S (p). Также каждый покупатель сообщает, сколько товара он собирается купить при данной цене. Сумма потребностей покупателей в дальнейшем будет называться спросом и обозначаться D (p). Введем понятие избыточного спроса E (p) как разности между спросом и предложением: E (p) = D (p) – S (p). Если E (p) ³ 0, цена растет до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие, которое определяется равенством спроса и предложения, то есть равенством D (p) = S (p) или E (p) = 0. Если E (p) £ 0, то есть имеет место избыточное предложение, происходит снижение цены, пока не наступит равновесие. Здесь уместно сделать самое простое возможное предположение, заключающееся в том, что скорость изменения цены во времени пропорциональна избыточному спросу: малый избыточный спрос вызовет медленное увеличение цены товара, большой избыточный спрос – быстрое увеличение цены, малое избыточное предложение – медленное понижение цены и т. д. Отсюда следует уравнение

.

Здесь k ‑ положительная константа, отражающая скорость процесса.

Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены: D (p) = a + bp и S (p) = g + dp. Тогда, приняв начальное условие p (0) = p ₀, будем иметь уравнение

.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, которое, как было показано выше, имеет решение

,

которое устойчиво, если b – d < 0 и неустойчиво при b – d > 0. Но b ‑ тангенс угла наклона кривой спроса, а d ‑ тангенс угла наклона кривой предложения, и если выполняется условие b – d < 0 (которое верно при убывании спроса и возрастании предложения с ростом цены), рынок устойчив, то есть избыточный спрос снижается и окончательно устраняется возрастающей ценой. Если b – d > 0, рынок неустойчив: будет иметь место непрерывная и неограниченная инфляция.

Часть № 2. (МЭСИ)