Приложение последовательностей в экономике

На финансовом рынке кредитор получает доход от предоставления денег в долг в виде, например, помещения денег на сберегательный счет, покупки акций, выдачи ссуды и т.д. Получаемый доход называется процентами и определяется кредитной ставкой.

Различают два вида процентных ставок – простые и сложные. Начисления при ставке простого процента предполагает применение ставки только к первоначальной сумме на протяжении всего срока долга. Пусть S_n – наращенная сумма долга через n периодов после предоставления ссуды в размере P денежных единиц, а простая ставка процента за период равна i процентов. Тогда в каждом периоде процентные начисления постоянны и равны (iP) / 100. Найдем наращенную сумму долга в каждом из периодов:

S ₀ = P, S ₁ = P + (iP) / 100 = P (1 +i/ 100),

S_n = S_{n- 1}+(iP) / 100 = P (1+((n- 1) i) / 100)+(iP) / 100 = P (1+(ni) / 100).

Данная формула

S_n = P (1+(ni) / 100), n = 0, 1,...,

называется формулой простых процентов, (1+(ni)/100) – множителем наращения.

Рассмотрим теперь как изменяется сумма долга при начислении сложного процента. В этом случае доход определяется применением процентной ставки к первоначальной сумме вместе с начисленными в предыдущих периодах процентами.

При первоначальной сумме P и сложной ставке за период начисления i% наращенная сумма меняется следующим образом:

S ₀ = P, S ₁ = P+ (iP) / 100 = P (1 +i/ 100),

S ₂ = S ₁+(iS ₁) / 100 = S ₁(1 +i/ 100) = P (1 +i/ 100)²,

S_n = S_{n- 1} +S_{n- 1}(1+(i) / 100) = P (1 +i/ 100) ⁿ.

Формула

Sn = P (1 +i/ 100) n, n = 0, 1, 2,...,

(1)

называется формулой сложных процентов.

Пример 30. Пусть ссуда в 2000 рублей предоставляется на пять лет при простой ставке 3% годовых. Тогда наращенная сумма через пять лет составит

S ₅ = 2000(1+5 × 0,03) = 2300.

При той же ставке сложных процентов сумма через пять лет составит

S ₅ = 2000(1+0,03)⁵ = 2319.

Очевидно, что сумма растет быстрее при сложной ставке процента, при этом рост будет выше при большей ставке процента.

Отметим, что формулы типа (1) используются в демографических расчетах (прирост народонаселения) и в экономических прогнозах (увеличение валового национального продукта).

Если предположить, что вклады вносятся каждый период, то по формуле (1) легко подсчитать общую сумме дохода.

S ₁ + S ₂ +···+S_n = P (1 +i/ 100) +···+P (1 +i/ 100) ⁿ =

=P (1 +i/ 100)(1+ (1 +i/ 100) +···+ (1 +i/ 100) ^{n- 1}).

Используя формулу для нахождения суммы геометрической прогрессии, получим

G=P (1 +i/ 100)((1 +i/ 100) n- 1) / (i/ 100).

(2)

Пример 31. Университет производит замену персональных компьютеров каждые три года. При этом университет может выделять 30000 рублей ежегодно, размещая их под 8 % годовых. Какая сумма поступит в распоряжение университета по окончании трехлетнего срока?

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся формулой (2)

G = 30000×1,08(1,08³–1) / 0,08=105183,36.

Упражнение 1. Компании необходимо производить замену оборудования каждые 8 лет. Для этого выделяются определенные средства. Если компания может выделить 100000 рублей ежегодно и разместить их под 4% годовых, то какая сумма будет в ее распоряжении по окончании восьми лет?

Пусть первоначальный депозит Q₀ помещен в банк под i=100% годовых, тогда через год сумма депозита удвоится. Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом Q₁ = Q₀(1+1/2) = 3/2 Q₀ и эта сумма снова помещается на депозит. В конце года депозит будет равен Q₂ = Q₀(1+1/2)² = 2,25 Q₀. Аналогично, при ежеквартальном размещении депозит в конце года будет равен Q₃ = Q₀(1+1/3)³ = 2,37Q₀. Если ежемесячно повторять ту же операцию, то Q₁₂ = Q₀(1+1/12)¹² = 2,61 Q₀, при ежечасной операции Q₈₇₂₀ = Q₀(1+1/8720)⁸⁷²⁰ = 2,718 Q₀. Заметим, что последовательность значений увеличения первоначального вклада Q_n/Q₀ совпадает с последовательностью x_n = (1+1/n)ⁿ, предел которой равен e.

В общем случае, если i – процент начисления и год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита будет равна

Q_n = Q ₀(1 +i/ (100 n)) ^nt

или

Q_n = Q ₀((1 +i/ (100 n))^{100 n/i} )^{(it) / 100}.

Введем новую переменную m=100n/i, при n®¥, получим m ®¥.

lim _n ®¥ Q_n = lim _m ®¥ ((1+1 /m) ^m)^{(it) / 100} = Q ₀ e (it) / 100.

Данная формула называется формулой непрерывных процентов.

Пример 32. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода? Используем формулу сложных процентов (1)

Q=Q ₀(1-1 / 100)¹⁸²,

или

Q=Q ₀((1-1 / 100)^-100)^{-182 / 100} = Q ₀ e^{- 1,82},

то есть инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

Пусть в некоторый фонд вносится разовый взнос и лицо, которое произвело этот взнос, получает определенные суммы денег через определенные промежутки времени. В такой ситуации наиболее распространенной формой выплаты является договор об аннуитете. Оценим стоимость аннуитета на момент заключения договора. Заметим, что данная задача является обратной для выше рассмотренной. Обозначим каждую выплату как S, процентную ставку как i%, а (1+i/100) = q – процентный коэффициент, n – период действия аннуитета. По формуле (1) будем иметь текущую стоимость выплаты, произведенной в конце года n

P_n = S/qⁿ.

Общая стоимость аннуитета V является суммой всех выплат:

V = S (1 /q+ 1 /q ² +··· + 1 /qⁿ).

Тогда используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получим

V = S (1 /qn)((qn– 1) / (q– 1)).

(3)

Пример 33. Определить текущую стоимость аннуитета при регулярных выплатах в размере 15000 рублей ежегодно в течение 5 лет и процентной ставке в размере 4% годовых.

Применяя формулу (3), получим

V = 15000((1,04)⁵–1) / (0,04 · (1,04)⁵) = 66777.

Для того чтобы приобрести аннуитет, нужно заплатить один раз, и затем можно получать регулярные ежемесячные или ежегодные выплаты. В предыдущем примере текущая стоимость аннуитета равна 66777 рублей. Если Вам предлагают купить данный аннуитет за 60000 рублей, то данная стоимость его ниже текущей, и это выгодное предложение. Однако, если для получения ежегодных выплат в размере 15000 рублей Вам предлагают заплатить 73000 рублей, то следует проанализировать данное предложение.

Пример 34. Пусть стоимость аннуитета 73000 рублей, ежегодные выплаты равны 15000 рублей, процентная ставка 4% годовых. Сколько лет должны производиться выплаты, чтобы их стоимость превысила стоимость аннуитета?

Применяя формулу (3), получим

73000=15000(1 / 1,04 ⁿ)((1,04 ⁿ– 1) / 0,04)

или

1,04 ⁿ = 1,2417219.

Отсюда n = 6

Таким образом, аннуитет должен выплачиваться в течение не менее 6 лет, чтобы его стоимость превысила стоимость его приобретения.

Ипотечная ссуда также может рассматриваться с точки зрения аннуитета. Определенная сумма берется в долг, обычно для покупки дома или квартиры, и постепенно выплачивается на протяжении нескольких лет таким образом, что к концу срока возвращаются долг и проценты за него. Если сумма V берется в долг на срок n лет под i% годовых и q=(1+i/100), то ежегодная выплата будет определяться из формулы 3:

S=Vqⁿ (q– 1) / (qⁿ– 1).

Упражнение 2. Определить размер ежегодных выплат для ипотечной ссуды в 200000 рублей на срок 10 лет под 11% годовых.