Метод контурных токов (МКТ)

Применение метода к расчету электрической цепи позволяет уменьшить общее количество уравнений системы до числа r (независимых контуров). Для расчета цепи МКТ необходимо:

В произвольно выбранной совокупности независимых контуров (п. 3.1.4) обозначить контурные токи. Направление контурных токов выбирается совпадающим с направлением обхода контуров.

Для определения контурных токов составить систему уравнений в следующей форме

где R _11,..., R_pp – собственное сопротивление контура (арифметиче­ская сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур);

R ₁₂ = R _21,..., R _{1 p} = R_{p 1} – общее сопротивление двух контуров, которое может быть положительным, если контурные токи по общей ветви протекают согласно; отрицательным, если контурные токи по общей ветви протекают встречно; равным нулю, если два контура не имеют общей ветви;

Е ₁₁,..., Е_pp – контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС, включен­ных в ветви, образующие данный контур. Правило знаков аналогично II закону Кирхгофа).

3. Решить полученную систему уравнений любым известным методом, например:

– методом Гаусса (при помощи определителей);

– методом исключения (подстановки).

На основании полученных значений контурных токов рассчитать токи во всех ветвях по I закону Кирхгофа как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Метод узловых потенциалов (МУП)

Применение этого расчетного метода позволяет уменьшить количество уравнений системы до (n -1), где n – число узлов электрической цепи. Для расчета цепи МУП необходимо:

Потенциал одного из узлов (любого), обозначенных в п. 3.1.1, условно принять равным нулю (этот узел называют опорным).

2. Для расчета (n -1) неизвестного потенциала составить систему уравнений в следующем виде:

где G ₁₁, …, G_{n -1, n -1} – собственная проводимость соответствующего узла (арифметическая сумма проводимостей ветвей, присоединенных к данному узлу); [1]

G ₁₂ = G ₂₁,..., G _{1, n -1} = G_{n -1,1} – общая проводимость двух узлов (взятая со знаком "минус" сумма проводимостей ветвей, примыкающих одновременно к этой паре узлов);

J ₁₁, …, J_{n -1, n -1} – узловой ток некоторого узла, определяемый по формуле

,

где – алгебраическая сумма произведений напряжений источников ЭДС на проводимость соответствующих ветвей, сходящихся в узле k;

– алгебраическая сумма токов источников тока, подключенных к узлу k.

Со знаком "плюс" в эти суммы входят слагаемые, соответствующие источникам, действующим в направлении рассматриваемого узла, со знаком "минус" – остальные слагаемые.

Определить значения неизвестных потенциалов (решить систему уравнений).

Определить токи во всех ветвях и напряжение на источнике тока на основании соотношений, составленных по обобщенному закону Ома. Результаты расчета сравнить с результатами, полученными по п. 3.2.4.

Баланс мощностей

Для любой автономной электрической цепи сумма мощностей, развиваемых источниками энергии (Р _ист), равна сумме мощностей, расходуемых в потребителях энергии (Р _потр).

или .

В левую часть уравнения со знаком "плюс" войдут мощности источников, отдающих энергию (рис. 1.2, а, в), а со знаком "минус" – мощности источников, работающих в режиме потребителей (рис. 1.2, б, г).