Безмоментная теория расчета тонкостенных оболочек

 

Безмоментная теория расчета тонкостенных оболочек предполагает следующие допущения:

- толщина оболочки должна быть достаточно малой по сравнению с ее другими геометрическими размерами. Например, для цилиндра толщина стенки должна составлять не более 10 % внутреннего диаметра;

Вследствие малой толщины нормальные напряжения растяжения или сжатия по толщине оболочки не изменяются, величина их в R/s раз больше изгибных (R- радиус оболочки) что и определяет безмоментное состояние.

- по форме сосуд обязательно должен представлять оболочку вращения;

- нагрузка (давление на стенки) должна быть симметричной относительно оси вращения.

Кроме этого, теория упрощается путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формируется в используемых гипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е.:

- гипотезам плоских сечений;

- гипотезам “не надавливания” слоев оболочки друг на друга.

Следует отметить, что чем меньше отношение толщины (S) оболочки к ее радиусу R, тем точнее выполняется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выполняются расчеты по безмоментной теории.

Как было сказано ранее, в стенках оболочек при действии давления возникают напряжения:

- σ_r - радиальные, действуют вдоль радиуса;

- σ_t – тангенциальные, касательные к параллельному кругу;

- σ_m –меридиональные, касательные к меридиану.

При этом, на внутренних волокнах в точке 2 действуют все три напряжения σ_r, σ_t и σ_m (рисунок 1.21 а), т.е. напряженное состояние - объемное, а на наружных в точке 1 – действуют только два напряжения σ_t и σ_m и напряженное состояние – плоское. Распределение напряжений по толщине стенки – неравномерное (рисунок 1.21 б).

а) б)

Рисунок 1.21– Элементы, вырезанные на наружной (1) и внутренней (2) поверхностях оболочки (ось х совпадает с меридианом)

 

Радиальные напряжения на внутренних волокнах оболочки равны давлению Р (см рисунок 1.21). Но так как давление для тонких оболочек меньше 10 МПа, то радиальные напряжения значительно меньше допускаемых. Например, для стали Ст3, допускаемое напряжение при 20⁰ С равно 154 МПа. Поэтому для тонких оболочек пренебрегают радиальным напряжением, т.е. принимают σ_r = 0 (рисунок 1.22).

В этом случае напряженное состояние материала тонких оболочек - плоское и для внутренних и наружных волокон(рисунок1.22).Также принимают, что напряжения σ_t и σ_m распределяются равномерно по толщине стенки, т.е. постоянны по S (рисунок 1.22).

 

 

Узел А

 

Рисунок 1.22 - Плоское напряженное состояние материала оболочки

 

Рисунок 1.23 - Напряжения, действующие в стенках оболочек, распределены равномерно (показаны эпюры только тангенциальных напряжений)

 

Кроме этого, как было сказано ранее, пренебрегают напряжениями, возникающими от изгибающих моментов. На рисунке 1.23 это σ_m от Мm. Остаются только напряжения σ_t и σ_m соответственно, от усилий (рисунок 1.24):

- U^Р–продольных;

- T^Р–кольцевых (тангенциальных, окружных).

При этом данные усилия и напряжения в любом поперечном сечении цилиндрической части корпуса колонны постоянны при действии равномерного газового давления.

 

Рисунок 1.24 - Усилия и напряжения, возникающие в стенках тонких оболочках при расчете по безмоментной теории

Для толстостенных оболочек (сосудов высокого давления - СВД) радиальные напряжения могут достигать значительных величин. Например, при внутреннем давлении, равном 300 МПа, радиальные напряжения на внутренних волокнах будут также равны 300 МПа, что значительно больше, чем допускаемое напряжение. Поэтому в этом случае нельзя пренебрегать радиальным напряжением и тогда напряженное состояние СВД – объемное.

Таким образом, основная причина, по которой разделяю сосуды на тонкостенные и толстостенные – разные напряженные состояния:

- для тонкостенных – плоское НС ( σ_{r =0}; σ _{m 0;} σ _{т 0)}

- для СВД – объемное НС σ_{r 0}; σ _{m 0;} σ _{т 0}

Кроме того, для СВД учитывают, что напряжения распределяются по толщине стенки неравномерно.

Резюмируя, можно сказать, что при расчете тонких оболочек по безмоментной теории при действии внутреннего давления принимают, что:

- напряжения от изгибающих моментов малы и ими пренебрегают;

- напряженное состояние плоское, т.е. не учитывают радиальные напряжения;

- напряжения σ_t и σ_m по толщине стенки распределяются равномерно.

В этом случае, необходимо определить только меридиональные и кольцевые напряжения, причем только от усилий U и T.

На участках удаленных от узла сопряжения (см. рисунок 1.20), указанные напряжения определяются по известным формулам безмоментной теории.

Для цилиндрической оболочки данные зависимости имеют следующий вид

 

(1.14)

(1.15)

где - радиус срединной поверхности, мм.

Сравнение формул показывает, что

. (1.16)

 

Из последнего выражения следует, что в продольных швах действуют в два раза большие напряжения, чем в поперечных (рисунок 1.25) и, соответственно, по этим швам или вдоль меридиана в первую очередь может произойти разрыв оболочки и ее разрушение (рисунок 1.26).

Поперечные швы

Продольные сварные швы

 

Рисунок 1.25 – Наиболее опасные продольные швы

 

 

 

Рисунок 1.26 – Разрушение происходит в продольном направлении (вдоль меридиана)