Основы теории напряженного состояния

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют их смещению. Расположенная в данной точке частица по-разному взаимодействует с каждой из соседних частиц. Поэтому в общем случае в одной и той же точке напряжения различны по различным направлениям.

В сложных случаях действия сил на брус (в отличие от растяжения или сжатия) вопрос об определении наибольших напряжений, а также положения площадок, на которых они действуют, усложняется. Для решения этого вопроса приходится специально исследовать законы изменения напряжений при изменении положения площадок, проходящих через данную точку. Возникает проблема исследования напряженн ого состояния в точке деформируемого тела

Напряженное состояние в точке – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

Исследуя напряженное состояние в данной точке деформируемого тела, в ее окрестности выделяют бесконечно малый (элементарный) параллелепипед, ребра которого направлены вдоль соответствующих координатных осей. При действии на тело внешних сил на каждой из граней элементарного параллелепипеда возникают напряжения, которые представляют нормальными σ и касательными напряжениями τ – проекциями полных напряжений на координатные оси.

Нормальные напряжения, как было показано выше, обозначают буквой σ с индексом, соответствующим нормали к площадке, на которой они действуют (σ_х , σ_y, σ_z). Касательные напряжения обозначают буквой τ с двумя индексами: первый соответствует нормали к площадке, а второй – направлению самого напряжения, например τ_xy – касательное напряжение, действует по площадке с нормалью х в направлении действия напряжения σ_y (или наоборот) (рисунок 1.2).

 

Рисунок 1.2 – Напряженное состояние в точке

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напряжения. Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений.

Тензор напряжений полностью описывает напряженное состояние в точке, то есть если известен тензор напряжений в данной точке, то можно найти напряжения на любой из площадок, проходящих через данную точку (заметим, что тензор представляет собой особый математический объект, компоненты которого при повороте координатных осей подчиняются специфическим правилам тензорного преобразования, при этом тензорное исчисление составляет отдельный раздел высшей математики и здесь не рассматривается).

Главные площадки – три взаимно перпендикулярные площадки в окрестности исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главные напряжения – нормальные напряжения (с индексами 1, 2, 3), действующие по главным площадкам ( то есть площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения).

На главных площадках нормальные напряжения (главные напряжения) принимают свои экстремальные значения – максимум σ₁, минимум σ₃ и минимакс σ₂

(σ₁ ≥σ₂ ≥σ₃).

В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестности данной точки, различают три вида напряженного состояния (рисунок 1.3):

- линейное (одноосное) – если одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю (

- плоское (двухосное) – если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю ;

- объемное (трехосное)– если все три главных напряжения отличны от нуля .

 

 

а) линейное б) плоское в) объемное

Рисунок 1.3 – Виды напряженного состояния

 

1.4 Основы теории деформированного состояния.

Под действием внешних сил элементы машин и конструкций изменяют свои первоначальные форму и размеры. Как правило, такие изменения невелики, но в ряде случаев могут препятствовать нормальной работе. Умение определять деформации, установление их допустимых величин имеют важное значение при проектировании и расчете конструкций. Рассмотрение деформаций необходимо также для выяснения закона распределения напряжений в элементах конструкций, при решении статически неопределимых задач, для оценки работоспособности по условиям прочности.

Рассмотрим особенности деформирования материала в окрестности некоторой точки A деформируемого тела. Вырежем около точки A внутри сплошного тела бесконечно малый параллелепипед. В процессе деформации тела точки выделенного элемента будут перемещаться, сам он – деформироваться, то есть будут искажаться первоначально прямые углы между гранями и изменяться длины их ребер.

Отношение изменения длины ребра параллелепипеда к первоначальной длине ребра определяет относительную линейную деформацию(ε _x, ε _y, ε _z) элемента вдоль соответствующей оси

 

(1.6)

 

Искажение первоначально прямого угла между ребрами элемента в плоскостях его граней определяет угол сдвига или угловую деформацию (γ _xy, γ _yz, γ _zx) в соответствующей плоскости, например, для плоскости xy (рисунок 1.4). Если угол ϕ=90+ xy γ=αβ^o–(α+β) – острый, то угол сдвига считается положительным. Растяжение ребер отвечает положительным значениям ε _x, ε _y, ε _z.

Деформированное состояние в точке – это совокупность относительных линейных деформаций и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через данную точку.

При этом можно сделать утверждение, что деформированное состояние в точке вполне определено, если задан тензор деформаций для этой точки.

Рисунок 1.4 – Деформирование тела в окрестности точки

Аналогично напряженному состоянию можно указать такие три ортогональные направления (с индексами 1, 2, 3), называемые главными осями деформации, для которых угловые деформации равны нулю, при этом линейные деформации принимают свои экстремальные значения (ε1 – максимум, ε3 – минимум, ε2 - минимакс), причем по алгебраической величине

 

(1.7)

 

Деформации ε₁, ε2,ε3 в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига, называются главными деформациями в точке.