Формальні та змістові моделі.

9.1. Формальні моделі – це моделі, яка задані на математичній або іншій формалізованій мові. Як вказують Лямец В.І., Тевяшев А.Д. [17], вказані моделі мають достатньо високий рівень абстракції та використовуються як «шаблони», за допомогою яких дослідник приступає до побудови змістовних моделей систем. Рівень абстракції формальних моделей різний. Чим вище цей рівень, тим більш широкий клас складних систем може бути описаний цими моделями.

До формальних моделей високого рівня абстрагування відносяться чотири типи моделей: "чорний ящик", "склад системи", "структура системи", "структурна схема системи" (модель типу "білий ящик"), функціональна модель системи, інформаційна модель системи.

9.2.Змістові моделі – цеформальна модель, що наповнена змістовною сутністю із заданої предметної галузі, тобто вербально (словесно) "пов’язану" з об’єктом моделювання.

Коротко розглянемо вказані типи формальних моделей:

9.1.1. Модель «чорного ящика» – модель, яка описує тільки входи і виходи складної системи, а не внутрішнє улаштування системи. Іншими словами, модель «чорного ящика»– це формальнамодель об’єкта, який активно взаємодіє із зовнішнім середовищем через входи і виходи (система відкрита), але зміст об’єкта та процеси, які там відбуваються невідомі досліднику. Модель цього типу була уведена в 50-х рр.. ХХ ст.. кібернетиком Ст. Біром [2]. Ця модель є вихідною при побудові моделі складної системи. Для задання моделі системи типу «чорний ящик» необхідно попередньо мати моделі зовнішнього середовища, межі, входу і виходу системи (рис. 6.1).

СИСТЕМА

межа

Зовнішнє середовище

Входи

Виходи

 

Рис. 6.1. Формальна модель системи типу «чорний ящик»

Зовнішнє середовище виявляє дію на систему через ресурсне забезпечення, яке дає змогу системі реалізувати свої цільові функції. Такі зв’язки зовнішнього середовища із системою називають входами системи. До входу системи направлені ресурси: енергія, речовина, матеріали, інформація, час, технології, фінанси, кадри і т. ін.

Цільові продукти системи – це виходи системи. До них відносяться: наукова продукція, промислова продукція, продукти розумової праці, відходи виробництва, наукові та виробничі кадри і т. ін.

Межа або границя системи і зовнішнього середовища вказує на цілісність системи, її відокремленість від зовнішнього середовища. Межа може бути явна або неявна. Останнє може відноситися до границі дії розповсюдження сигналів керуючої інформації системи. Наприклад, границя дії сигналів маршрутизатора (Wi –Fi маршрутизатор, роутер) мережі Інтернет.

Зовнішнє середовище – це сукупність всіх об’єктів зовні границі системи. Зміна властивостей цих об’єктів впливає на поведінку системи. Зауважимо, що поведінка системи – це зовнішній прояв її функціонування. Вивчення якості середовища пов’язано з аналізом таких його властивостей, як [17]:

· складністю, яка описується числом і різноманітністю факторів, які значимим чином впливають на систему;

· взаємопов’язаністю факторів, які характеризується інтенсивністю (силою) з якою зміни одного фактора впливають на зміни іншого;

· рухливістю, який вимірюється відносною швидкістю змін властивостей середовища;

· невизначеністю, що вимірюється відносною кількістю інформації про середовище і ступенем упевненості в її достовірності.

9.1.2. Модель складу системи. Внутрішній склад системи є, як правило, неоднорідним, що робить необхідним розрізняти внутрішні частини, тобто структурувати систему. Рівень та глибина структуризації залежить як від самої системи, так і від цілей, що стоять перед дослідником. У системі розрізняють компоненти, тобто підсистеми різних рівнів і елементи (ЕЛ). Підсистеми, як правило, складаються з різного набору елементів (рис.6.2).

Склад системи, яка проектується залежить від аспекту представлення (зображення, подання) системи.

Аспект представлення системи може бути такий [6]:

· функціональний;

· морфологічний;

· процесний.

В залежності від виду представлення формується певний склад системи. Окрім цього, конкретний вид моделі «складу системи» залежить від [17]:

· цілей моделювання;

· можливості визначення границь компонент системи;

· потрібної глибини поділу моделюючої системи на частини;

· рівня інформованості суб’єкта моделювання та спеціаліста-консультанта;

· рівня компетентності суб’єкта моделювання.

9.1.3. Модель структури системи. Як відомо, в основі структури системи є сукупність стійких зв’язків між елементами системи.

Якщо представлення системи морфологічне (М-представлення), то в залежності від виду та кількості зв’язків між елементами системи реалізуються різні функції системи. Зокрема конструкторське представлення характерно для виробів машинобудування та будівництва.

Функціональне представлення (Ф-представлення) означає, що як елементи розглядаються функції системи, які визначаються цілями функціонування (роботи) системи. Виконання функцій може здійснюватися як послідовно, так і паралельно. Сукупність функцій і зв’язків між ними дає функціональну структуру.

Якщо елементами є джерела інформації, то структура буде називатися інформаційною.

Якщо елементами є посадові особи організації, то маємо управлінську структуру.

ЕЛ

ЕЛ

ЕЛ

ЕЛ

ЕЛ

ЕЛ

ЕЛ

ЕЛ

ЕЛ

ЕЛ

Підсистема 2-го рівня

Підсистема   1-го рівня

 

 

Рис. 6.2. Формальна модель типу «склад системи».

Структурні моделі системи можуть бути засобом їх наочного дослідження. Для цього структурні моделі зображуються як логіко-формальні моделі. На рис. 6.3 показані декілька видів структур: а) лінійна; б) деревоподібна; в) матрична; г) сіткова (мережева); д) кільцева.

9.1.4. Модель морфологічна. Вказана модель є результатом об’єднання розглянутих вище моделей: чорного ящика, складу та структури. У цій моделі описуються [17]:

· ієрархічний склад системи;

· ієрархічна структура системи;

· входи і виходи системи;

· границі, які розділяють систему та зовнішнє середовище;

· об’єкти зовнішнього середовища, які мають відношення з системою в даній системі.

а)

б)

в)

г)

д)

 

 

Рис. 6.3. Різноманітні типи структур: а) лінійна; б) деревоподібна; в) матрична; г) сіткова (мережева); д) кільцева.

Для проектування системи раціонально застосовувати стратифіковане представлення [27]. В теорії багаторівневих ієрархічних систем прийнято виділяти шість рівнів абстракції (6 страт):

1) теоретико-пізнавальний (філософський) опис замислу системи;

2) представлення системи на мові вибраної наукової теорії;

3) проектне представлення системи;

4) конструкція системи (конструкторська документація);

5) технологія (технологічна документація);

6) матеріальне втілення системи.

Підводячи підсумки з попереднього контексту зобразимо класифікацію основних моделей (рис. 6.4).

В основі будь-якого виду моделювання лежить деяка модель, яка гомоморфно відображає реальний об’єкт (існуючий чи проектувальний). Об’єктивно реальний об’єкт має певну формальну структуру, яка відображується в структуру моделі.

Таким чином, зміст моделі повинен відображати склад і структуру реального об’єкта. Це означає, що створена модель М також стає системою S, тобто S (М). Нехай це будескладна організаційно-технічна система, яку можна віднести до класу великих систем.

Моделі

Пізнавальні

Прагматичні

Статичні

Динамічні

Матеріальні

Ідеальні

Фізичні

Аналогові

Знакові (семантичні)

Інтуїтивні

Розумовий експеримент

Операційна гра

Сценарії

Математичні

Логічні

Графічні

Аналітичні

Алгоритмічні

Імітаційні

Рис. 6. 4. Класифікація моделей

6.3. Характеристики моделей організаційно-технічних систем та економічних об’єктів

Розглянемо характеристики моделей організаційно-технічних систем та економічних об’єктів. До останніх відносяться підприємства, фірми, об’єднання підприємств (трести, концерни, картелі, синдикати та ін.).

1. Мета функціонування, яка визначає ступінь цілеспрямованоситі поведінки моделі М. В залежності від того, скільки теоретичних задач (практичних завдань) може розв’язати система S, моделі розділяються на одноцільові та багатоцільові.

2. Складність, яка визначається різноманітністю елементів і зв’язків між ними, рівнів ієрархії, кількістю входів і виходів та інші ознаки.

3. Цілісність, яка вказує на те, що створена модель М є цілісною системою S (М), включаючи в себе велику кількість складових частин (елементів), які знаходяться в складному взаємозв’язку один з одним. Цілісність моделі відображає цілісність організаційно-технічної системи. Вказану «…цілісність належить розглядати як необхідну та достатню умову для існування даної системи» [17, с. 23].

4. Невизначеність, яка проявляється в системі: за станом системи, можливості досягнення поставленої мети, методам розв’язання задач, вірогідності вихідної інформації і т.д. Основна мета моделювання – отримання необхідної відповідності моделі реальному об’єкту і в цьому сенсі кількість управляючої інформації в моделі треба оцінити за допомогою ентропії та знайти ту граничну кількість, яка необхідна для отримання потрібного результату з заданою вірогідністю. Вказане означає застосування ентропії як для реальної системи, так і для моделі.

5. Поведінкова страта розгляду системи дозволяє оцінити ефективність досягнення системою поставлених цілей. Поведінкова страта, яка застосована до моделі М дозволяє оцінити ефективність побудованої моделі, а точність і вірогідність отриманих при цьому результатів. Очевидно, що поведінка моделі М не обов’язково співпадає з поведінкою реального об’єкта, причому часто моделювання може бути реалізовано на базі іншого матеріального носія.

6. Адаптивність є властивістю високоорганізованої системи, що дозволяє пристосуватися до різних зовнішнім збурювальним факторам зовнішнього середовища. Для моделі істотна можливість її адаптації в широкому спектрі збурювальних діянь, а також вивчення поведінки моделі в змінних умовах, близьких до реальних. Треба зазначити, що істотним є питання стійкості моделі (живучості, надійності і т. д.) до різних збурювальних діянь.

7. Організаційна структура системи моделювання, яка багато в чому залежить від складності моделі та ступеня досконалості засобів моделювання. Одним із останніх досягнень в галузі моделювання можна вважати можливість використання імітаційних моделей для проведення машинних експериментів.

8. Управляємість моделі, яка витікає з необхідності забезпечення управління з боку експериментаторів для отримання можливості розглядати протікання процесу в різних умовах, які імітують реальні. В цьому сенсі наявність багатьох управлінських параметрів і змінних моделі в реалізованій системі моделювання, в тому числі, які відрізняються високим ступенем автоматизації, дають можливість поставити широкий експеримент і отримати обширний спектр результатів.

9. Можливість розвитку моделі, яка виходячи з сучасного рівня науки і техніки дозволяє створювати потужні системи моделювання S (М) для дослідження багатьох сторін функціонування реального об’єкта. Необхідно передбачати можливість розвитку системи моделювання як по горизонталі в сенсі розширення спектра вивчаємих функцій, так і по вертикалі в сенсі розширення числа підсистем, тобто створена нова (інтелектуальна) система моделювання повинна застосовувати нові сучасні методи і засоби. Функціонування системи моделювання сумісно з колективом людей вимагає виконання ергономічних вимог.

Один із важливих аспектів побудови системи моделювання є проблема мети. «Будь-яку модель будують в залежності від мети, яку ставить перед нею дослідник, тому одна із основних проблем при моделюванні – це проблема цільового призначення. Подібність процесу, який протікає в моделі М, реальному процесу є не метою, а умовою правильного функціонування моделі, і тому як мета повинна бути поставлена задача вивчення будь-якої сторони функціонування об’єкта» [29, с. 29].

Якщо мета моделювання зрозуміла, то виникає проблема побудови моделі М. «Побудова моделі виявляється можливим, якщо є інформація або висунуті гіпотези відносно структури, алгоритмів і параметрів досліджуваного об’єкта. На основі їх вивчення здійснюється ідентифікація об’єкта. У теперішній час широко застосовують різні способи оцінювання параметрів: за методом найменших квадратів, за методом максимального правдоподібності, байесовські, марковські оцінки» [29, с. 29].

«Для правильно побудованої моделі М характерним є те, що вона виявляє лише ті закономірності, які потрібні досліднику, і не розглядає властивості системи S, не істотні для даного дослідження. Належить відзначити, що оригінал і модель повинні бути одночасно схожі за одними ознаками та відмінні за іншими, що дозволяє виділити найбільш важливі вивчаємі властивості. В цьому сенсі модель виступає як деякий «замісник» оригіналу, що забезпечує фіксацію та вивчення лише деяких властивостей реального об’єкта» [29, с. 30]. Зазначимо, що для спрощення моделі М мету моделювання ділять на підцілі та створюють відповідно більш ефективні види моделей. Таким чином, можна виділити такі послідовні етапи процесу моделювання (рис.6. 5).

Зазначимо, що процес моделювання має феноменологічну основу. Це означає, що модель повинна достатньо правильно відображати досліджуване явище або інші об’єкти ПГ (процеси, ситуації, події і. т. ін.). Окрім цього, модель повинна бути зручною для користувача. Тому ступінь деталізації моделі, форма її представлення, внутрішня структура, організація визначаються цілями дослідження та безпосередньо залежать від дослідника.

6.4. Вимоги, які пред’являються до моделей реальних об’єктів

Розглянемо вимоги, які пред’являються до моделей. Моделі відображають реальні об’єкти ПГ, причому це відображення є гомоморфне. Виникають питання:

· До якого ступеня можна ототожнювати модель з оригіналом?

· Які властивості чи ознаки повинні мати моделі, для того, щоб задовольняти цілі моделювання?

· Які якості моделей визначають цінність процесу моделювання?

Розглянемо основні вимоги, які пред’являються до моделей, зокрема до математичних моделей (ММ).

1. Цілеспрямованість моделей полягає в тому, що вони завжди будуються з певною

метою. Ця мета має вплив на те, які властивості об’єкта ПГ вважаються істотними, а які – ні. Модель є, як би мовити, проекцією об’єктивної реальності під певним кутом зору. Тому, наприклад, моделі вищого навчального закладу як інформаційної, фінансової, енергетичної та соціальної системи будуть зовсім різними. Інколи, залежно від мети, можна отримати ряд проекцій об’єктивної реальності, що вступають у суперечність. Це характерно, як правило, для складних систем, в яких кожна проекція виділяє суттєве для певної мети з безлічі несуттєвого.

Метою моделювання є здобуття, обробка, представлення і використання інформації про об'єкти, які взаємодіють між собою і зовнішнім середовищем; а модель тут виступає як засіб пізнання властивостей і закономірностей поведінки об’єкта. Основним призначенням моделі в завданнях управління є прогноз реакції об’єкта на керуючі впливи.

Завдання моделювання полягає в тому, що для заданого об’єкта потрібно підібрати такий опис, який у повній мірі відображав би оригінал з точки зору заданої мети моделювання.

2.Скінченність моделей. Як відомо з філософії, матеріальні об’єкти оточуючого світу мають нескінченне число елементів ядерного, атомарного та молекулярного рівнів, нескінченне число зв’язків і відношень. Вивчення всього названого суттєво обмежується нашими власними ресурсами (часом, числом нервових клітин мозку, числом дій, які ми можемо виконати в одиницю часу тощо). Обмежені також і зовнішні ресурси, які надають нам сучасні технічні, технологічні та інформаційні системи. Творець кібернетики Н. Вінер у свій час зауважив [4], що вирішити суперечність між нескінченністю світу і скінченністю розуму людини можна тільки єдиним засобом – застосуванням моделей при всіх їх недоліках. Самі ж моделі наділяються строго фіксованим числом властивостей (ознак), тобто абстрактні моделі скінченні.

1. Постановка задачі та мети моделювання

2. Аналіз інформації (висунутої гіпотези) щодо структури, алгоритмів і параметрів досліджуваного об’єкта

3. Ідентифікація об’єкта

4. Оцінювання параметрів об’єкта

5. Визначення ступеня гомоморфності об’єкта і моделі

6. Побудова чи вибір формальної моделі певного типу

7. Побудова змістової моделі об’єкта

8. Побудова алгоритму та машинна реалізація моделі

9. Перевірка правильності отриманих в ході моделювання результатів

10. Виявлення основних закономірностей, отриманих в процесі моделювання

 

Рис. 6.5. Основні етапи процесу моделювання

Таким чином, скінченність моделей визначається, насамперед, скінченністю наших ресурсних можливостей (енергетичних, матеріальних, часових і т. д.). і способом відображення оригіналу через скінченну сукупність його властивостей. Скінченність моделі визначає те, що модель відтворює лише скінчену кількість властивостей та відношень, і через це модель завжди є більш простою, ніж оригінал.

Як підсумок, за допомогою скінченних моделей відображають і досліджують нескінченну реальність.

3.Простота моделей. Вимога простоти (спрощеності) моделі є наслідком скінченності моделі. Прикладами можуть бути моделі фізики: математичний маятник, ідеальний газ, ідеальний коливальний контур (без розсіювання енергії), абсолютно чорне тіло тощо. Більш того, правильні (істинні) моделі фізичних законів спряжені з їх простотою. Прикладом можуть бути формули законів Ньютона, Кулона, Ампера тощо. Як підмітили стародавні схоласти, «простота – печать істини». Наступна причина спрощення моделі пов’язана з необхідністю оперування з нею. Однак модель принципово бідніше оригіналу – це фундаментальна властивість моделі.

Отже, спрощеність моделей базована як на властивостях самої природи, так і на обмеженості ресурсів моделювання та властивостях мислення. Проте це не абсолютна властивість моделей: «…ієрархічність моделей має потенційно практичну необмеженість» [20, с. 49].

4. Точність моделей – ступінь збігу отриманих в процесі моделювання результатів зі заздалегідь встановленими, бажаними. Точність пов’язана зі ступенем наближеності відображення дійсності за допомогою моделей, яка залежить від цілей дослідження, практичних потреб, обмеженості самої моделі. Наприклад, точність наручного годинника цілком достатня для життєвих цілей людини, проте неприпустима для керування космічною ракетою. Отже, важливим завданням є оцінка необхідної точності результатів і наявної точності вихідних даних, погодження їх як між собою, так і з точністю моделі, яка використовується.

Вимога точності моделі має утилітарне значення. Відомо, що за допомогою контрольно-вимірювальних приладів з низькою точністю неможливо отримати точні результати (грубі вимірювання). З іншого боку, безглуздо вести розрахунок маси великого вантажу з точністю до грама, якщо потім результати треба округлювати з точністю до кілограму. Це означає, що точність результатів розрахунків й експериментальних досліджень моделі не може перевищити точності вихідних даних, вимірювальних приладів, вимірювальних інструментів тощо. Іншими словами, вид моделі повинен погоджуватися з точністю вихідних даних та бажаною точністю результатів, яка визначається потребами та реаліями практики. Вибір моделі та забезпечення точності моделювання вважається однією з самих важливих завдань моделювання.

Точність ММ оцінюється ступенем співпадання значень параметрів реального об’єкта і значень тих же параметрів, які розраховані за допомогою оцінюваної ММ. Це проводиться таким чином [19].

Нехай відображувані в ММ властивості оцінюються вектором вихідних параметрів Y = (y₁, y₂, y₃,… y_m). Тоді, позначивши істинне та розраховане за допомогою ММ значення j-го вихідного параметра через y_{j іст.} і y_{j м} відповідно, визначимо відносну похибку e_j розрахунку параметра y_j як

 

e_j = |y_{j м} – y_{j іст}| / y_{j іст.} . (6.1)

 

Отримана векторна оцінка відносної похибки

 

e = (e₁, e₂, e₃,…, e_m). (6.2)

 

При необхідності зведення цієї оцінки до скалярної оцінки використовують будь-яку норму вектора e, наприклад

 

e_М = || e || = max e_j. (6.3)

j Î [1, m]

5. Адекватність моделей. Адекватність моделі, зазвичай, є відповідність моделі вихідній реальній системі та врахування, насамперед, найбільш важливих якостей, зв’язків і характеристик. Проте більш точною дефініцією є така [17; 29]: адекватною називають таку модель, для якої вимоги повноти, точності та істинності моделі виконуються не взагалі в повній мірі, а тільки в той мірі, яка спричиняє до досягнення мети.

Зауважимо, що повнота моделі – ступінь відповідності моделі об’єкту-оригиналу, відображення всіх істотних з точки зору мети моделювання властивостей оригіналу, а істинність моделі – відповідність моделі дійсності.

Надмірна повнота моделі в багатьох випадках навіть шкідлива, так як призводить до такого ускладнення моделі, що її використання стає неможливим.

Таким чином, адекватність –це відтворення моделлю з необхідною повнотою всіх властивостей об’єкта, важливих для цілей даного дослідження Це, мабуть, найголовніша властивість моделі, яка визначає можливість її використання. Оскільки будь-яка модель простіша за оригінал, ніколи не можна говорити про абсолютну адекватність, при якій модель за всіма характеристиками відповідає оригіналу.

Модель називається ізоморфною (однаковою по формі), якщо між нею і реальною системою існує повна поелементна відповідність, і гомоморфною, якщо існує відповідність лише між найбільш значними складовими частинами об’єкта і моделі.

Важливим елементом дослідження є вивчення тієї інформації, яка є в руках дослідника. Однак величина обсягу інформації не завжди є визначальним чинником при створенні моделі, якщо враховувати різноякісність цієї інформації, а також її явну неточність чи недостатню точність. Тому, як зазначає М.М. Моїсеєв, в умовах відповідності моделі й інформації «…надмірна деталізація моделі (намагання добитися «граничної адекватності» моделі реальному процесу) буде не тільки непотрібною, але й просто шкідливою» [18, с. 56]

Підкреслимо, що коли ми говоримо про істинність, правильність чи хибність моделі потрібно обов’язково акцентувати увагу на конкретні умови цього розгляду. Наприклад, феномен корпускулярно-хвильового дуалізму. Моделі світла як електромагнітна хвиля і як потік фотонів (корпускул - найдрібніших частинок матерії) є протилежні та суперечливі. Проте при відносно малих частотах домінує (переважає) хвильова модель світла, а при відносно великих частотах – корпускулярна.

У ряді випадків удається увести деяку кількісну міру адекватності моделі, тобто вказати спосіб порівняння двох моделей за ступенем успішності досягнення поставленої мети за їх допомогою. «Саме в таких випадках можна кількісно ставити питання про ідентифікацію моделі (тобто знаходження в заданому класі моделей найбільш адекватної), про дослідження чутливості та стійкості моделі (тобто залежності міри адекватності моделі від її точності), про адаптацію моделі (тобто підстроювання параметрів моделі з метою підвищення адекватності) тощо» [20, с. 52] (курсив мій. – МК).

Відзначимо, що на початковій стадії проектування, коли вигляд створюваної системи ще невідомий, оцінити адекватність вибраної моделі утруднено чи навіть дуже складно. У такій ситуації часто покладаються на досвід попередніх розроблень або застосовують певні методи, наприклад, метод послідовних наближень.

Розглянемо систему S, яка керована зовні (див. Лекція № 4). При функціонуванні системи відбувається перетворення входів Q у виходи Y(y₁(t), y₂(t), …, y_n(t)), де y_і(t), i = 1, 2, 3,…,n – фазові змінні стану системи. Поведінка простої керованої детермінованої технічної системи описується математичною моделлю виду:

 

Y = F (X, Q, G), (6.4)

де:

G = (g₁, g₂, …,g_r) – вектор параметрів збурення g_і (t) з боку зовнішнього середовища;

Q = (q₁, q₂,…,q_p) – вектор параметрів керуючих дій q_і (t) з боку керуючої системи (КС);

X = (x₁, x₂,…,x_n) – вектор внутрішніх параметрів x_і (t) об’єкта керування ОК, тобто керованої системи;

Y = (y₁, y₂,…,y_n) – вектор вихідних параметрів y_і(t);

F – оператор, тобто закон відповідності внутрішніх X, керуючих Q і збурювальних G параметрів параметрам виходу Y технічної системи (рис. 6.6).

Функція системи полягає в перетворенні входів Q у виходи Y, тобто

Q Þ Y, (6.5)

а властивості та поведінка системи залежить від внутрішніх і зовнішніх параметрів.

Адекватність ММ – здатність відображати задані властивості об’єкта з похибкою не вище заданої. Зазвичай адекватність ММ має місце лише в обмеженій області W зміни внутрішніх параметрів, яка називається областю адекватності. Оскільки вихідні параметри Y являються функціями векторів параметрів зовнішнього збурення G і внутрішніх X, то похибка e_j залежить від значень G і X.

 

Зовнішнє середовище

(збурення)

G

Керуюча система

X Система, або керований об’єкт

 

Q

Вхід Y Вихід

 

 

 

 

Рис. 6.6. Формальна модель системи, яка керована зовні

 

Зазвичай [19], значення внутрішніх параметрів ММ визначають із умови мінімізації похибки e_м в деякій точці G_ном простору зовнішніх змінних, а використовують модель з розрахованим вектором X при різних значеннях G. При цьому, як правило, адекватність моделі має місце лише в обмеженій області змін зовнішніх змінних, тобто в області адекватності W математичної моделі:

 

W = í G | e_м £ dý, (6.6)

де d > 0 – задана константа, рівна гранично допустимої похибки моделі.

Відзначимо, що однією з вимог, які пред’являються до створюваної моделі, є достатня ступінь узгодження зі середовищем. Реальне або умовне функціонування моделі в середовищі, повинно враховувати фактори активності та стохастичності середовища. Іншими словами, модель повинна входити в середовище не як сторонній елемент, а як природна складова частина.

6. Ступінь універсальності моделей – повнота відображення в моделях властивостей реального об’єкта. Як наслідок, універсальність означає застосовність моделі до аналізу ряду однотипних систем в одному чи декількох режимах функціонування. Це дозволяє розширити сферу застосовності моделі для розв’язання значно більшого кола теоретичних задач чи практичних завдань.

Неважко зрозуміти, що якості адекватності і простоти суперечать один одному, тобто з поліпшенням однієї з них відбувається погіршення іншої. Відшукування оптимального поєднання (як то кажуть, «золотої середини») цих двох якостей при побудові моделі є окреме завдання, розв’язання якого лежить на досліднику. Тут потрібні професійна компетентність, досвід, інтуїція та відповідний рівень спеціальної підготовки дослідника.

Ступінь універсальності ММ характеризує повноту відображення в моделі властивостей реального об’єкта. ММ відображає лише деякі властивості об’єкта ПГ,зокрема фізичні й інформаційні процеси, що протікають в об’єкті. Наприклад, ММ резистора у вигляді закону Ома характеризує властивість резистора пропускати струм, проте не відображає габарити резистора, як деталі, його механічну міцність, його колір, вартість тощо [19].

7. Економічність моделей характеризується затратами на моделювання з використанням ЕОМ. Це, насамперед, затрати обчислювальних ресурсів на реалізацію ММ. До них відносяться затрати машинного часу, обсяг машинної пам’яті, середня кількість операцій, які виконуються при одному зверненні до моделі, розмірність системи рівнянь, кількість внутрішніх параметрів моделі тощо. Доцільна економічність, тобто точність отримуваних результатів і загальність розв’язання задачі (завдання) повинні ув’язуватися з затратами на моделювання. Разом з тим, вимоги високої точності, універсальності, широкої області адекватності, з однієї сторони, і високої економічності, з другої сторони, суперечливі. І вдалий вибір моделі, як показує практика, є результатом компромісу між відпущеними ресурсами та особливостями математичної моделі, яка використовується. Ось чому бажано мати широкий спектр математичних моделей.

6.5. Класифікація математичних моделей

Розглянемо класифікацію математичних моделей. Під терміном «математична модель» зазвичай розуміють сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному об’єкту ПГ.

На підставі різних критеріїв класифікації, виділяють наступні види моделей:

· теоретичні, емпіричні;

· динамічні, статичні;

· детерміновані, стохастичні, нечіткі;

· структурні, функціональні;

· неперервні, дискретні, дискретно-неперервні;

· лінійні чи нелінійні;

· з розподіленими або зосередженими параметрами;

· аналітичні, алгоритмічні, імітаційні;

· повні, макромоделі;

· мікрорівня, макрорівня, метарівня.

Зокрема, за ознаками класифікації, виділяють такі математичні моделі (табл. 6.1).

Таблиця 6.1