Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальным уравнением первого порядка называется любое уравнение вида

Решением дифференциального уравнения называется функция , подстановка которой в обращает уравнение в тождество:

Если уравнение можно разрешить относительно производной , то говорят, что уравнение записано в нормальной форме:

Задача Коши для уравнения заключается в нахождении решения , удовлетворяющего условию . Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши утверждает, что, если функция и её частная производная непрерывны по совокупности аргументов, то найдется такой интервал , на котором имеется, и притом единственное, решение уравнения , для которого .

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка есть соотношение вида такое, что

1) для любого решения уравнения найдется константа , для которой ;

2) для любой константы неявное уравнение определяет некоторое решение дифференциального уравнения .

Имеется несколько стандартных уравнений первого порядка, в которых нахождение общего решения сводится к взятию подходящих интегралов.

Уравнения с разделяющимися переменными. Эти уравнения имеют вид

Решение уравнения сводится к преобразованию

Задача 4.1.а) Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Запишем как и перегруппируем правую и левую части уравнения, так чтобы слева от знака равенства остались члены, зависящие только от , а справа –только от .

Вычисляя интеграл от левой части, получим:

Для правой части получаем

Окончательно,

Однородные уравнения. Уравнения имеют вид

Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены

, ,

откуда следует, что

Û .

Задача 4.1.б) Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Правая часть уравнения является функцией от , поскольку . Будем искать решение в виде . Тогда , и исходное уравнение можно записать в следующем виде

Û .

Разделяем переменные

Û ,

откуда

Для первого слагаемого получаем:

Для второго,

Следовательно,

С учетом табличного интеграла

получаем

Остается вернуться к переменной .

Ответ: .

Линейные уравнения. Линейные уравнения имеют вид

где и произвольные функции. Для решения линейных уравнений будем использовать метод Бернулли. Он заключается в том, что решение ищется в виде произведения двух функций , одну из которых мы выберем специальным образом. С учетом соотношения