Определенные интегралы. Площади плоских фигур.

Определенный интеграл (Римана) позволяет распространить формулу площади прямоугольника на площадь более или менее произвольной плоской геометрической фигуры. В основе понятия определенного интеграла лежит так называемая интегральная сумма, определяемая следующим образом. Пусть задана функция , определенная на отрезке . Разобъем отрезок произвольным образом на частей , ¼, (, ). В частности, можно разбить на равных частей, тогда длина каждого отрезка разбиения будет равна . В общем случае, пусть

.

Возьмем, опять же произвольным образом, внутри каждого из отрезков по точке . Интегральной суммой функции на по разбиению называется число

 

 

 

 

Если , то интегральная сумма есть площадь фигуры, состоящей из прямоугольников со сторонами и , . Интуитивно ясно, что, чем меньше максимальная длина отрезков разбиения , тем точнее эта фигура из прямоугольников приближает криволинейную трапецию с основаниями , и “боковыми сторонами” , . Интеграл от функции по отрезку есть предел по всевозможным разбиениям , когда .

Предел понимается здесь в обычном смысле: число называется определенным интегралом от по (обозначается как ), если для произвольного найдется такое , что, как только разбиение отрезка удовлетворяет условию , интегральная сумма , отвечающая этому разбиению, будет отличаться от не больше, чем на : .

Геометрический смысл определенного интеграла.

Значение (с точностью до знака) есть площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиком функции , осью абсцисс и прямыми , . В частности, если на отрезке заданы две функции и , причем , то площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиками этих двух функций, равна .

Связь между определенным и неопределенным интегралом заключена в формуле Ньютона-Лейбница:

,

или, в другой записи, , где - произвольная первообразная функции .

Справедливы следующие две формулы – замена переменной интегрирования и интегрирование по частям.

Замена переменной.

Пусть - произвольная непрерывно дифференцируемая функция, определенная на некотором отрезке , причем , , и при любом . Тогда

Интегрирование по частям.

.

Задача 3.6.а. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Заметим, что первое уравнение является уравнением параболы, ветви которой направлены вправо. Второе уравнение определяет прямую линию.

Найдем пересечения графиков функций и сделаем рисунок. Для этого решим систему

Û

откуда , что дает и .

 

 

3

 

0

 

 

Из рисунка видно, что фигура состоит из двух частей. При получаем сегмент параболы . При криволинейная трапеция заключена между прямой и параболой . Следовательно, площадь фигуры равна сумме двух следующих двух интегралов:

Для первого интеграла получаем:

Для второго интеграла получаем:

Таким образом, . Ответ: .

 

Задача 3.6.б. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение. На отрезке выполняется неравенство . Поэтому найдем площадь, используя формулу .

= .