Вывод формулы переходной характеристики

Выходного напряжения

 

Формулу переходной характеристики можно получить операторным методом [1 с.294–320]

Переходной характеристикой цепи h(t) называется отношение отклика цепи, например, выходного напряжения U₂(t) на ступенчатое воздействие, например, входное напряжение U₁(t)=U₀1(t) к величине воздействия U₀при нулевых начальных условиях [1,с.315-316]

Численно переходная характеристика равна отклику цепи U₂(t), если амплитуда воздействия равна единице U₀ = 1.

Операторное изображение отклика U₂(p) при заданном операторном воздействии U₁(р) определяют с помощью операторной передаточной функции K_U(p)

Операторное изображение ступенчатой единичной функции равно U₁(р) = =1/р. Следовательно, операторное изображение отклика, т.е. изображение переходной характеристики h(p) определяется выражением

Операторную передаточную функцию K_U(р) можно получить из комплексной K_U(jω) путем замены jω на p.

В рассматриваемом примере операторное изображение выходного напряжения U₇₇ равно

(12)

 

 

Операторная функция цепи, как правило, представляет собой правильную несократимую дробную рациональную функцию с вещественными коэффициентами и простыми полюсами. Эта функция может быть единственным образом разложена на сумму простых дробей

где А₁, А₂,…A_k –коэффициенты, значения которых находят в ходе разложения функции на простые дроби; p_*1, р_*2,...р_*k - полюсы функции U₂(p).

Для нахождения оригинала переходной характеристики можно воспользоваться таблицами обратного преобразования Лапласа [1, Приложение 1] отдельно для каждого слагаемого в сумме простых дробей. Оригинал переходной характеристики можно найти также другим способом, известным в теории электрических цепей под названием теорема разложения [1,с.296].

 

Теорема разложения

 

Пусть изображение функции цепи задано в виде дроби U₂(p)=M(p)/N(p), причем степень полинома числителя М(р) ниже степени полинома знаменателя N(p). Для перехода от изображения U₂(p) к оригиналу U₂(t) можно воспользоваться теоремой разложения. При этом возможно два случая; а) все полюсы функции U₂(p) простые; б) некоторые из них или все полюсы кратные.

А) Случай простых полюсов

Оригинал определяется по следующей формуле:

Частный случай: один из полюсов равен нулю –р_* = 0.

При этом изображение функции можно представить в виде

U₂(p) = M(p)/N(p) = M(p)/p·Q(p).

Обозначим полюс, равный нулю, через р₀, а полюсы уравнения Q(p) = 0 через p₁, p₂,...p_n. Тогда формула разложения имеет следующий вид:

Если среди полюсов p₁, p₂,... p_n есть пара комплексно–сопряженных, например, p₁,₂ =–s ± jw, то в оригинале двум членах суммы с этими полюсами соответствует временная функций в виде затухающего гармонического колебания:

где