Вывод формул частотных характеристик

Формулы амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик (АЧХиФЧХ) можно получить с помощью дробно-рациональной операторной функции К_U(р). Для этого нужно заменить операторную переменную р на мнимую частоту jω (p=jω). Получится комплексная функция частоты K_U(jω). Необходимо выделить действительную и мнимуючасти в числителе и знаменателе, а затем преобразовать комплексную функцию частоты K_U(jω) в показательную форму:

. (7)

Формула АЧХ представляет собой зависимость модуля (амплитуды) комплексной функции от частоты:

. (8)

Для нашего примера (см. ф.(6))

 

 

При p=jω

. (9)

Учитывая (8), и что

A(ω)=(10¹⁰–ω ²) B(ω)=0, C(ω)=(10¹⁰ –ω ²) D(ω)=0.3636·10⁵ω,

получим выражение (10) АЧХ

(10)

 

 

Формула ФЧХ выражает зависимость аргумента (фазового угла) комплексной функции K_U(jω) от частоты:

(11)

 

где φ _числ(ω) – аргумент комплексного числителяК_U(jω),

φ _знам(ω) – аргумент комплексного знаменателяК_U(jω).

При записи формул для φ _числ(ω) и φ _знам(ω) следует учитывать, что фазовый угол произвольного комплексного числа M(jω)=А(ω)+jB(ω) вычисляется различным образом в зависимости от положения комплексного числа на комплексной плоскости (см. таблицу 1).

Отсюда следует, что выражение ФЧХ может быть записано несколькими формулами, каждая из которых справедлива в некотором своем диапазоне частот. Граничные частоты диапазонов можно оценить приближенно, так как в точках, близких к биссектрисам координатных квадрантов, можно пользоваться формулами обеих соседних областей.

Для нашего примера действительные A(ω) и C(ω) и мнимая D(ω) части числителя и знаменателя коэффициента передачи (9) зависят от частоты и не только меняют свое значение, но и меняют знак. А это значит, что комплексные числа числителя и знаменателя меняют свое положение на комплексной плоскости. Это обстоятельство требует анализа аргументов числителя φ_числ(ω) и знаменателя φ_знам(ω) при изменении частоты от нуля до бесконечности.

1). Анализ числителя для определения его аргумента.

Действительная часть числителя равна A(ω)=10¹⁰–ω². Если , т.е. , числитель представляет собой действительное и положительное число – A(ω) ≥ 0. Поэтому φ _числ(ω)=0 при .

При , A(ω) < 0. Поэтому φ _числ(ω)= .

2). Анализ знаменателя.

Действительная часть знаменателя равна действительной части числителя C(ω)=A(ω)=10¹⁰–ω² и изменяется с изменением частоты также, как и числитель. Мнимая часть знаменателя D(ω)=0.3636·10⁵ω прямо пропорциональна частоте ω и положительная D(ω)> 0 при ω > 0.

 

Таблица 1

№пп	Область компл. пл.	Условия M(jω)=A(ω)+jB(ω)	Формула φ (ω)=
1)		A(ω) > 0. úB(ω)ú £ A(ω)	.
2)		B(ω) > 0. úA(ω)ú £ B(ω)	.
3)		B(ω)£ 0. úA(ω)ú £ –B(ω)	.
4)		A(ω) < 0. B(ω)> 0. úB(ω)ú £–A(ω)	.
5)		A(ω) < 0. B(ω) < 0. úB(ω)ú £–A(ω)	.

 

При точка, отображающая знаменатель, находится в первом квадранте комплексной плоскости, причем при ω>0.8346 10⁵ она пересекает биссектрису первого квадранта. Поэтому в диапазоне 0< ω<0.8346·10⁵ при вычислении фазового угла знаменателя нужно использовать формулу 1 из таблицы 1:

При 0.8346·10⁵ <ω 1.1982·10⁵ отображающая точка находится в области 2 таблицы 1. Поэтому

При ω >1.1982·10⁵ точка переходит в область 4 таблицы 1.

Таким образом, ФЧХ коэффициента передачи в нашем примере будет описываться различными формулами для четырех частотных областей.