Наблюдения, сделанные в классе Билла Холла 1 страница

 

Вчера на уроке вы показывали ученикам две палочки и предлагали определить соотношение их длины. Через некоторое время я заметил, что вы неизменно спрашивали вначале об отношении меньшей палочки к большей. В ответ дети называли дробь, в которой меньшее число было числителем. Если вы задерживались с реакцией, демонстрировали нерешительность или переспрашивали, некоторые из них мгновенно меняли местами числитель и знаменатель: если сначала они называли пять седьмых, то в исправленном варианте назывались семь пятых. Делали это трое: Рэйчел, один из мальчиков и Барбара.

Именно Барбара, обычно такая рассудительная и умненькая, заставила меня обратить внимание на это явление. Показав черную (7) и голубую (9) палочки и поменяв их местами, вы спросили: «Какую часть голубое составляет от черного?» То есть изменили последовательность вопросов. Девочка ответила: «Семь девятых», но, увидев вашу нерешительность, выпалила, покраснев: «Девять седьмых». Я не уловил ни в ее лице, ни в голосе, ни в манере и слабого намека на то, что она понимает, почему ее первый ответ был неверным, или на то, что она уверена в правильности второго ответа. Если она не уверена, уверены ли другие?

Палочки нам нужны для того, чтобы показать детям дорогу в джунглях арифметики. Но не поглотят ли джунгли дорогу? Что за смысл уговаривать Монику смотреть на палочки, если в них она не видит ответа? Вместо одной головоломки она сталкивается с двумя.

Декабря 1958 г.

 

Однажды в классе я пытался показать ученикам, что деление — действие, которое может быть произведено не только над числами, и что его может выполнить человек, и вовсе незнакомый с числами. Я сказал: представьте себе, что у вас есть большой мешок шариков, которые вам нужно поровну разделить между четырьмя людьми, причем сосчитать шарики невозможно. Большинство детей решило, что шарики нужно раздавать по очереди, пока они не кончатся. Но Пат и еще один мальчик решили делить по-другому. Пат написала: «Можно измерить длину мешка линейкой. Предположим, у вас получилось 8 дюймов; 8 делим на 4, получаем 2 дюйма. Можно разрезать мешок по отметкам 2 дюйма (тут была приложена схема мешка, рассеченного прямыми, долженствующими изобразить разрезы) и тем самым поровну разделить шарики».

Мальчик поделился примерно такой же идеей. Я поговорил с ними с глазу на глаз по очереди. Перед каждым я изобразил большой,и тяжелый мешок с шариками, к которому я приступаю с ножницами: «Ну, разрежу я мешок для начала пополам, и что получится?» Оба очень веселились, представив себе воочию свой способ дележки, бывший до этого чистой теорией.

Конечно, если бы они столкнулись с этой проблемой в жизни, им и в голову бы не пришло резать мешок. Это они только в школе так здорово думают.

В связи с этим я вспоминаю один эпизод. Приятель готовился к экзамену по химии. Он пытался запомнить перечень солей, растворимых в воде. Повторяя перечень, в числе растворимых солей он упомянул карбонат кальция. Я предложил ему припомнить, в состав каких материалов входит эта соль. Он тут же назвал известняк, гранит и мрамор. «Интересно, — сказал я, — и часто ты видел, как гранит растворяется под дождем?» Такой практический подход ему и в голову не приходил. Между химией, которую он изучал, и реальным миром, миром его чувств и здравого смысла, никакой связи не было.

6 февраля 1959 г.

 

Меня вдруг осенило. Предположим, мы дадим задание ученикам начертить два отрезка, причем один из них должен быть равен по длине пяти седьмым второго. Скорее всего, они начертят отрезки длиною 5 и 7 дюймов. А теперь предложим начертить два других отрезка, чтобы длина одного из них была равна пяти семнадцатым длины другого. Почти все скажут, что это невозможно, потому что отрезок длиной 17 дюймов не уместится на тетрадном листе.

Единственное утешение в такой ситуации — то, что чем больше мы понимаем, что к чему, тем лучше мы сможем исправить ошибки. Если мы хотим, чтобы дети поняли дроби, нужно придумать разные способы использования дробей.

Чувствую, что сам начал понимать разницу между дробью как числом и дробью как оператором. Выражение ¹/₂ + ¹/₃ = ⁵/_б может означать: 1) ¹/₂ единицы плюс ¹/₃ единицы равно ⁵/₆ единицы; 2) ¹/₂ чего-то плюс ¹/₃ того же равно ⁵/₆ того же, совершенно независимо от того, что это такое.

Но подождите минуту. Разве все числа не операторы? Когда мы говорим 2 + 3 = 5, разве мы не подразумеваем, что 2 чего-то плюс 3 того же равно 5 того же? Короче, когда мы учим арифметике, разве мы не учим одновременно алгебре? И не происходят ли все наши трудности от того, что мы этого не осознаем? Значит, если мы пишем 2 + 2 = 4, мы подразумеваем, что 2х + 2х = 4х.

Мы привыкли к тому, что не можем складывать дроби, пока у них разный знаменатель. Но это же относится и к целым числам. 2 лошади + 2 лошади = 4 лошади, но 2 лошади + 3 грузовых поезда = чему? Наверное, 5 объектам, 5 вещам. Тем самым мы присваиваем лошадям и грузовым поездам общий знаменатель. (Три года спустя я написал на доске в первом классе, ничего предварительно не объясняя: 2 лошади + 3 коровы =? И несколько ребят написали ответ: 5 животных.)

Я давно подозревал, что в «понимании» арифметики кроется нечто большее, чем видно поверхностному взгляду, а теперь понимаю, насколько это «нечто» велико. В «простой» арифметике простого нет. И мысль о том, что любая добрая, симпатичная женщина может научить детей «понимать» арифметику, просто нелепа.

Скоро мы убедились в нелепости и другой мысли: что доктора математических наук могут дать детям «понимание» арифметики. Ни одна широко разрекламированная революция в обучении математике в школе под эгидой кого-либо из профессоров не принесла коренного улучшения; безусловно, они дали некоторые неплохие идеи по мелочам, но иной раз даже приносили вред.

Я очень сомневаюсь, чтобы можно было научить кого-то понимать что-либо, то есть видеть взаимоотношение между отдельными частями и формировать мысленно модель структуры. Мы можем сообщить имена и даты, но не можем никому передать наши ментальные структуры. Каждый человек должен выстроить их сам. Многие высказывают мнение, что любая отрасль знаний или опыта может быть преобразована в ряд вопросов и ответов, что составляет основу программированного обучения. Один ученик одиннадцатого класса, обучавшийся год или два таким образом, как-то сказал мне, не подозревая, что раскрывает основной недостаток этого метода: «Когда мне задают вопросы, я могу вспомнить большинство ответов, но никогда не помню самих вопросов». В этом все и дело.

Марта 1959 г.

 

Изучение дробей в этой школе основано на принципе: если дети будут изображать дроби графически, на рисунках, они постигнут суть и не сделают ошибок. На одном уроке я увидел практическое использование этого принципа. Пат решала задачу: ¹/₂ + ¹/₃ =? Она подумала минутку, изобразила два треугольника и разделила каждый из них на три части. Потом заштриховала две части одного из них и подписала: «¹/₂». Потом заштриховала одну часть второго треугольника и написала: «¹/₃». Затем изучила рисунок и написала: «¹/₂ + ¹/₃ = 1 целое». И, радостная и довольная, откинулась на спинку стула.

Эстер написала: «¹/₂ + ¹/₃ = ³/₄». Ее соседка Барбара тут же заметила: «Нет! ¹/₃ — это не ¹/₄». Через секунду-другую я сообразил, что она имела в виду. Поскольку ¹/₂ + ¹/₄ = ³/₄, ¹/₂+¹/₃ никак не могло быть равно ³/₄. Это был тот редкий случай, когда ребенок мог проверить результат разными путями.

Я как-то спросил Монику, сколько третьих частей содержится в целом. Она ответила: «Смотря какое целое — большое или нет». Интересно было бы знать, сколько наших учеников втайне разделяет это убеждение? Вслух они этого не скажут, нельзя, но про себя?..

Иногда Пат обнаруживает здравый смысл в понимании дробей. Я спросил ее: «Ты предпочла бы съесть одну треть или одну четвертую часть чего-нибудь?» Она мгновенно отреагировала: «Смотря чего...»

Сразу после каникул во второй половине уроков я раздал всем палочки и попросил с их помощью определить, сколько будет ¹/₂+ ¹/₃. Никаких пояснений я им не дал. Тем не менее большинство учеников, покрутив палочки так и эдак, нашли палочки длиной 6 см или составили палочки длиной 12 см, нашли ¹/₂ и ¹/₃ этой длины, сложили их и выдали ответ: ⁵/₆. Я почти боюсь повторить задание.

Думаю, некоторые ученики выполнят действие и без палочек, но большинство — нет.

Бетти сказала: «²/₄ + ³/₅ составляют 1 или больше. Нам понадобятся ²/₅, чтобы дополнить ³/₅ до 1, но ²/₄ больше ²/₅, значит, сумма будет больше 1». Поразительный ребенок! А в обычной школе ее сочли бы ученицей с замедленным процессом мышления (насколько я знаю, позже некоторые ее учителя математики так и считали). Ей нравилось рассматривать вещи с разных точек зрения, обдумывать смысл того, что она собиралась сделать. Естественно, на это требовалось время, и она не успевала за классом.

Позже она спросила кого-то: «А сколько будет одна треть от 20, только без половинок?»

Потом класс решал как-то задачу ¹/₂ + ¹/₄, и я прислушивался к их комментариям.

Ральф. Это будет ³/₄, но не спрашивайте меня почему.

Гил. Складываем 1 и 1 и получаем 3?

Бетти. Нет, я делаю не так, а та-а-ак!

Затем мы складываем ¹/₅ и ³/₁₀.

Бетти. В ответе будет ⁵/₁₀ или ¹/₂.

Гил. Но 5 — не половина от 10 и 10 — не половина от 3.

Джейн рассуждает задумчиво сама с собой:

«8 входит в 24 три раза. А сколько раз 3 входит в 24?» Сообразила не сразу. Несмотря на строжайшее запрещение говорить «входит» в смысле «содержится», все дети без исключения так говорят.

Апреля 1959 г.

 

Если дети начинают чувствовать, что вселенная не имеет смысла, это может возникнуть потому, что слова, которыми мы говорим о ней, кажутся бессмысленными или, по крайней мере, есть противоречия между тем, как мы ощущаем вселенную и как мы о ней говорим.

Одна из основных задач, стоящих перед учителями, — дать детям инструмент — язык, для того чтобы учиться, думать и говорить о мире, в котором мы живем. Вернее, мы пытаемся помочь им совершенствовать инструмент, которым они уже располагают. Мы как бы исходим из того, что этот язык как инструмент совершенен, и детям остается только научиться правильно им пользоваться — как мы. Фактически во многом это самый несовершенный инструмент. Если бы мы лучше осознавали несовершенство нашего языка, его несоответствие законам той вселенной, которую он призван описывать, парадоксы и противоречия, изначально ему свойственные, то смогли бы правильно сориентировать детей, помочь им увидеть расхождения между словами и опытом и, возможно, указали бы им способы использования языка, в какой-то мере помогающие преодолеть его ограничения. Посмотрите на прилагательные. Некоторые из них носят абсолютный характер: круглый, голубой, зеленый, квадратный. А другие — относительный: длинный — короткий, тонкий — толстый, легкий — тяжелый, высокий — низкий, близкий — далекий, легкий — трудный, громкий — тихий, горячий — холодный. Ни одно из них не имеет абсолютного смысла. Длинный и короткий означают только более длинный или более короткий, чем что-то другое. Но мы используем эти слова в смысле абсолютных. Наверное, много раз дети слышали, как что-то называли вчера длинным, а сегодня коротким, час назад горячим, а сию минуту — холодным. Мы используем слова, как будто их значение фиксировано, в то время как оно постоянно изменяется. Суп, который взрослым кажется холодным, будет горячим для маленького ребенка. Карандаш, отвергнутый сегодня потому, что он короткий (для каких-то конкретных целей, может быть и не связанных с его прямой функцией), завтра будет назван длинным. Котенок по имени Ночка уже довольно большой, подрос, но детям не разрешают eгo тискать слишком активно, ведь он еще маленький. Лошади — крупные животные; но вот ребенку предлагают посмотреть на эту маленькую (раза в три больше самого ребенка) лошадку. О-о, какой ты большой вырос! Но ездить на этом велосипеде тебе нельзя: ты еще маленький. Дети привыкают к подобной неразберихе, но то ли по причине несокрушимого душевного здоровья, то ли махнули на все рукой? Нужно ли объяснять первоклассникам, почему вот эту гору мы называем маленькой, а вот этого котенка — большим? Или им уже все ясно?

Изучение грамматики способствует увеличению неразберихи. Мы говорим о значении и использовании существительных и прилагательных в том смысле, что они резко различаются, но на практике у них оказывается много общего. Зеленый мяч, зеленая башня, зеленый велосипед, зеленый плюшевый зверь все они игрушки (существительное) и все зеленые (прилагательное). То есть они отнесены к одному общему классу по признаку цвета — зеленый — и по признаку предметов — игрушки, то, что предназначено для игр. Почему мы ожидаем от детей способности разграничивать эти классы по их характеристикам? Почему зеленый цвет мячика — нечто иное, отличное от его свойства быть мячиком? Я не улавливаю никакой разницы между ними. Оба они несут ту или иную информацию о предмете. Мы говорим детям, что разница между разными частями речи — в их смысле, когда он имеет отношение к их использованию в предложениях.

Апреля 1959 г.

 

На вопрос, как он решает примеры на действия с дробями, Нат ответил: «Я обнаружил, что они всегда имеют какую-то диагональную форму». Это был результат его усилий найти правило, действительное всегда, вне зависимости от того, что представляют собой дроби. Элейн при сложении дробей всегда складывает числители с числителями, знаменатели со знаменателями (ведь + означает сложение).

Как-то раз я наблюдал, как этот же Нат решает пример ¹/₃ + ¹/₄ =? Начал он с того, что выписал ряд дробей, кратных ¹/₃: ²/₆, ⁴/₁₂, ⁸/₂₄ и т. д. Потом то же самое для ¹/₄: ²/₈, ⁴/₁₆, ⁸/₃₂. И не мог найти общего знаменателя. Сэм должен был показать ему, что '/₄ можно представить как ⁶/₂₄.

Уж эти правила! Иногда дети напоминают неопытного солдата в танке, мчащегося по полю. Они обозревают мир через узкую смотровую щель, намечают цель и бросаются на нее, но упаси Боже им попасть на кочку: щель перемещается, цель исчезает; все потеряно! Они не имеют понятия, откуда начали, как далеко заехали и где они вообще находятся.

Первоклассник решает столбец примеров в рабочей тетради. Даны ответы, некоторые правильные, другие — нет, нужно лишь соответствующим образом их отметить. Ученик отмечает первые три ответа как правильные, четвертый — как неправильный. И все это проделывает так быстро, что учитель интересуется: как же он так скоро вычислил неправильный ответ?

— Ну, в этом месте всегда неправильный ответ.

Правила, выведенные детьми... Я не вижу ничего дурного в попытках детей отыскать правила для решения примеров с дробями, хотя некоторые из них могут показаться довольно странными. В конце концов, даже Кеплер выдвигал спорные предположения, когда в течение 25 лет пытался вывести законы, определяющие движение планет вокруг Солнца. Беда в том, что дети не могут выяснить, правильны ли их законы. Они не могут опереться на реальные факты, внутреннюю логику и непротиворечивость для их проверки. Они идут к учителю с результатами своих трудов и спрашивают: «Правильно?»

Далее, эти их правила бывают настолько причудливыми, случайными и ни с чем не связанными, что, даже изобретя действующее правило и получив «добро» учителя, они редко удерживают в памяти само правило и вид задач, для которых оно справедливо.

Июня 1959 г.

 

Кажется, ученики в школе прибегают к довольно логичной стратегии; даже хорошие ученики используют ее очень часто, плохие же — все время. И все без исключения пользуются ею, будучи в стрессе. Определяя ее коротко, можно сказать, что она ориентирована на ответ, а не на задачу. Разницу можно пояснить на примере подхода двух учеников к одной задаче.

Человек, ориентированный на задачу, видит эту задачу как некое определение ситуации, в котором отсутствует одна из деталей. Другими словами, в этой ситуации имеется соотношение или следствие, не указанное в условии задачи, и именно это следует найти. Человек обдумывает ситуацию, воссоздавая ее в уме. Когда он видит ее целиком, ему становится ясно, что опущено в условии задачи, и ответ приходит сам собой. Ответ на любую школьную задачу заключен в самой задаче, его лишь надо увидеть. Нечто вроде подстановки недостающего кусочка в головоломку. Взглянув на пустое место в головоломке, вы уже знаете форму недостающей детали.

Но большинство школьников ориентировано не на задачу, а на ответ. Для них задача представляется своего рода объявлением, что далеко-далеко, в таинственной Стране Ответов, существует некий ответ, который они должны отыскать. Поиски будут тем успешнее, чем лучше удастся истолковать поведение учителя. Младшие ученики — просто мастера этого дела.

Младшие ученики – просто мастера этого дела. Достаточно прикинуться сконфуженными или перепуганными, и учитель послушно скажет все, что они хотят знать. Это называется «помочь ребёнку». Те, кто посмелее, отважно отправляются в Страну Ответов в поисках клада — ответа. Для них проблема заключается в том, чтобы получить руководящие указания — намеки или признаки, что-то вроде стрелок и надписей на пиратской карте: найти большой дуб, отмерить сто шагов в направлении скалы и прочее. Эти исследователи думают: «Сделаю-ка я вот так, как в последний раз!» И если задача аналогична предыдущей, а память хорошая, им удается получить правильный ответ.

Предположим, задача такая: «Энн тремя годами старше Мэри, а вместе им 21 год. Сколько лет каждой из девочек?» Ученик, ориентированный на задачу, представляет себе обеих девочек. Они большие? Вряд ли, сумма лет маленькая. Им что-то около 10. Используется дополнительная информация — Энн старше на 3 года, и вот они вырисовались — девочки 9 и 12 лет.

Тот, кто ориентирован на задачу, может использовать формулу. Он легко сообразит, что девочки были бы ровесницами, будь Энн моложе на 3 года, и тогда им обеим было бы —1|21 — 3) лет. Можно записать Э + М = 21; М + М + 3 = 21; 2М = 18; М = 9; Э = 12. То есть ответ вытекает из самой задачи, а не берется из памяти.

Что до ученика, ориентированного на ответ, предположим, он не снисходит до уламывания учителя или угадывания его мыслей. И ход его рассуждений будет примерно таким: «Посмотрим, как бы подойти к этой задаче. У нас же было что-то похожее... Ага, вспомнил, что-то записывали о возрасте, пусть возраст Мэри будет;с, тогда возраст Энн, я думаю, будет х + 3; что же дальше? Попробуем их сложить, х + х + 3 = 21; ага, перенесем 3 за знак равенства — это значит вычтем 3...» — и так далее, пока он не получит правильный ответ и не покажет его учителю: «Правильно?» Но этот ответ извлечен откуда угодно, только не из условий задачи, и логика здесь ни при чем, только память.

Практически все, что мы делаем в школе, делает детей в итоге ориентированными на ответ. Во-первых, нужны правильные ответы. Школы — это своего рода места почитания правильных ответов, и чем больше правильных ответов возложено на алтарь, тем лучше ученик. Во-вторых, не исключено, что и учителя, особенно математики, рекрутируются из славного племени ориентированных на ответы. Они делают так, потому что их учили делать так, или они где-то вычитали, что нужно делать так, или они просто привыкли так делать. В-третьих, даже учителя, изначально не ориентированные на ответ, не видят разницы, как это было со мною в течение многих лет, между ориентацией на задачу и на ответ или не придают ей большого значения. И поэтому их методика обучения детей и прежде всего сами объемы заданий, выдаваемых ученикам, просто толкают их к стратегиям, ориентированным на ответ, потому что ни на что другое времени не хватает. Я часто замечал, что при небольшой нагрузке дети охотно задумываются о чем-либо; у них есть время обдумать вещи; когда учебная нагрузка возрастает, начинаются жалобы: «Я этого не понял!», дети перестают думать и ждут, что им все разжуют и в рот положат. Так что стремление к «более высоким стандартам» оборачивается чрезмерными нагрузками на ум детей, и им становится некогда думать.

Как-то раз я занимался с шестнадцатилетним мальчиком, у которого возникли трудности с физикой на первом курсе колледжа. Я предложил ему решить одну задачу из книги. Он тут же написал в тетради аккуратным столбиком:

Дано:

Найти:

Использование:

и начал трудолюбиво заполнять строки массой букв и цифр. Я его остановил: «Подожди, ты даже не знаешь, что это за задача; ты обдумай ее немного перед тем, как писать». Он возразил: «А наш преподаватель требует, чтобы мы решали все задачи именно так». И вся недолга! Несомненно, этот учитель скажет, что хочет побудить своих учеников думать о задачах, и эту железную форму записи он внедрил исключительно затем, чтобы они думали. Но ему и в голову не пришло и, наверное, никогда не придет, что эта форма абсолютно лишена содержания и стала частью ритуала, нацеленного на поиск ответа без участия мышления.

Когда на детей не давит необходимость выдать правильный ответ, да еще в кратчайшее время, они способны делать удивительные вещи. В прошлом семестре на уроке после полудня я предложил ученикам решить несколько задач. «Вы никогда не решали таких задач, — сказал я, — вы не знаете, как их решать, и мне безразлично, получите вы правильный ответ или нет. Мне важно посмотреть, как вы их будете решать». Это были простые алгебраические задачи, типа задачи о Мэри и Энн, или о некотором количестве никелей и даймов, которые нужно было добавить к 85 центам, короче, задачи, так трудно воспринимаемые учениками, приступающими к изучению алгебры. Мои пятиклассники вгрызлись в них, продемонстрировав воображение, изобретательность и здравый смысл — короче, интеллект. Они предложили несколько путей решения, в том числе и те, о которых я и не подумал бы. К сожалению, как раз в это время школьное начальство выразило беспокойство по поводу наших неспешных темпов, и дети быстро вернулись в наезженную колею. Не исключено, что насовсем.

Октября 1959 г.

 

Недавно д-р Гаттеньо провел показательные уроки в школе Лесли-Эллис. Это было незабываемо. Мне посчастливилось быть зрителем самых необычных и трогательных спектаклей в моей жизни.

Для уроков была выбрана группа, состоявшая из детей с серьезным отставанием в умственном развитии. Это были пять-шесть детей в возрасте четырнадцати-пятнадцати лет. Некоторые из них выглядели вполне нормальными, только их лица были лишены выражения. Я обратил внимание на высокого бледного темноволосого мальчика, сидевшего в конце стола. Мне редко приходилось видеть лица, в которых было бы столько страха и напряжения. Он бросал взгляды по сторонам, как птица, ожидающая появления врагов откуда угодно в самый неожиданный момент. Он проводил языком во рту, то под одной щекой, то под другой. Его рука под столом не просто чесала, а терзала ногу. И жуткое, и жалкое зрелище.

Гаттеньо начал работу без всяких вступлений и подготовки. Если у вас есть под рукой палочки, вы сможете более наглядно представить себе, что происходило на этом уроке. Сначала он взял в руки две голубые (9) палочки (объяснение см. на с. 213) и расположил между ними темно-зеленую (6) так, что над темно-зеленой было пустое пространство 3 см длиной. Он предложил группе сделать то же самое. Они сделали. Потом он сказал: «А теперь найдите палочку, которая заполнит этот промежуток». Я не знаю, что делали другие дети, потому что наблюдал за темноволосым мальчиком. Его движения были судорожными, лихорадочными. Выбрав палочку из кучки, он с трудом втискивал ее на место. После нескольких попыток правильное решение было найдено: светло-зеленая (3) палочка заполнила пространство.

Потом Гаттеньо, держа голубые палочки за верхние концы, потряс их, чтобы темно-зеленая палочка выпала, потом перевернул их и разместил так, чтобы в том месте, где была темно-зеленая палочка, образовалось пространство шириной 6 см. Группа сделала то же. И снова они должны были отыскать палочку, чтобы заполнить это пространство. Попробовал ли кто-нибудь из них выбрать темно-зеленую палочку, которая только что выпала? Нет, никто. Снова выбор методом проб и ошибок. В конце концов было обнаружено, что нужна темно-зеленая палочка.

Гаттеньо снова потряс свои палочки, чтобы из композиции выпала светло-зеленая палочка, оставив после себя пространство размером 3 см. И снова дети упорно трудились, выясняя методом проб и ошибок, какую палочку надо подставить на это место. Подбор производился, казалось, совершенно без системы.

Как ни трудно в это поверить, но Гаттеньо понадобилось повторить этот процесс четыре-пять раз, пока кто-то из них не догадался, что существует гораздо более простой способ выбора. Тем временем я думал: «На что же это должно быть похоже — так мало понимать окружающее, так слабо чувствовать регулярность, упорядоченность, разумность вещей». Только буйное воображение могло помочь нам ощутить себя в положении этих детей. Дело не в незнании того или иного факта; человек должен ощутить, что оказался в той вселенной, где живут маленькие дети, то есть месте причудливом и непредсказуемом, где ничто ни с чем не связано; но в отличие от маленьких детей эти недоразвитые дети остро ощущают враждебность своей вселенной.

И тут я обнаружил, что темноволосый мальчик увидел суть. Что-то щелкнуло в его мозгу, и он сразу, без колебаний протянул дрожащую от возбуждения руку к нужной палочке. Он едва мог втиснуть ее на свободное место. Сработало! Язык снова заходил под щеками, а рука принялась терзать ногу с удвоенной силой. Когда пришло время перевернуть палочки, освободить пространство и заполнить его снова, он от волнения не мог сразу взять нужную ему палочку; но вот все сделано. Он громко сказал: «Она подходит! Она подходит!» — и торжествующе показал всем палочки в своей руке. Многие из нас были тронуты до слез его возбуждением и радостью. Мы просто воочию увидели скачок, происшедший в его сознании.

Через некоторое время Гаттеньо проделал эти же манипуляции с палочками малинового (4) и желтого (5) цвета между двумя голубыми палочками. На этот раз темноволосому мальчику понадобился всего один цикл, чтобы сразу взять правильные палочки. На этот раз он был спокойнее, увереннее: он знал.

Затем с помощью палочек Гаттеньо показал детям, что мы имеем в виду, говоря, что одна вещь равна половине другой. Он взял белую (1) и красную (2), потом красную и малиновую (4) палочки, чтобы продемонстрировать значение понятия «половина». Потом он предложил детям отыскать половины палочек другого цвета, и темноволосый мальчик справился и с этим заданием. В конце занятия Гаттеньо показал коричневую (8) палочку и предложил найти половину половины этой палочки, и темноволосый мальчик справился и с этим заданием.

Я не мог не почувствовать тогда, да и сейчас так считаю, что независимо от величины его КУВ и обычной реакции на явления жизни этот мальчик продемонстрировал во время урока высокий уровень интеллекта. Если подумать о том, с чего он начал и чем окончил, о громадной территории математики, которую он одолел за какие-то сорок минут, станет ясно, что в нем скрыты исключительные способности.

И какая это трагедия его жизни, что он, скорее всего, никогда больше не встретится с человеком типа Гаттеньо, кто осознал, что его призвание — вступать в контакт с интеллектом своих учеников везде и всюду, где это возможно, кто одарен достаточными интуицией и воображением для своего дела. Ему не довелось много работать с умственно отсталыми детьми, но он мгновенно увидел то, на что другой учитель в лучшем случае затратил бы годы, а в худшем — так и не понял бы: чтобы вступить в контакт с интеллектом этих детей, дать им твердую почву, на которой они могли бы утвердиться и двигаться вперед, нужно проделать путь назад, к истокам узнавания и понимания. Но Гаттеньо показал и кое-что еще. Равно важный момент, своего рода уважение к этим детям — убеждение, что в соответствующих обстоятельствах они могут проявить и проявят первоклассный интеллект. В его манере поведения не было снисходительности или жалости, не было даже следа симпатии. В течение этого урока он и дети были коллегами, работающими над трудной задачей и в конце концов решившими ее.

Возможно, не все правильно поймут цель моего рассказа. Многие люди, читая, как Гаттеньо работал с этими детьми, решат, что мне хотелось сказать: если бы он потратил на них побольше времени, то мог бы сделать их сообразительными. Между тем я хотел сказать совсем не то. Я сказал, что они уже сейчас сообразительны. Гаттенъо на какой-то час предоставил в их распоряжение мини-вселенную, в пределах которой они могли тренировать имеющийся у них интеллект; мини-вселенную, где они могли создавать что-то реальное и сами проверять, работает ли то, что они создали.