Динамика сооружений (продолжение)

Свободные колебания деформируемой системы с одной степенью свободы

Пусть на пружине с длиной L в ненагруженном состоянии подвешено тело массой m рассмотрим вертикальные движения теда после толчка под действием пружины и силы тяжести. Уравнение движения системы:

(II.7)

 

где f_пр - восстанавливающая сила пружины, f_тр - сила трения, Р - постоянная сила веса. По условию консервативности f_тр=0 тогда величина f_пр зависит только от ее деформации - координаты х₁. Между силой и деформацией пружины существует линейная зависимость - закон Гука f_пр = f_пр(x₀) + k(x₁ – x₀)

Выберем новую координату х=х₁-х₀, это означает, что начало отсчета системы координат перемещается в положение равновесия, где f_пр(х₀)=Р. Тогда уравнение (II.7) запишется так (II.8)

или (II.9)

 

где ω²=k/m. Таким образом, ω² - единственный физический параметр, характеризующий колебательные свойства системы. Решение дифференциального уравнения (II.9):

х =А cosωt + B sin ωt (II.10)

где А и В- постоянные величины, зависящие от начальных условий. Отклонение от положения равновесия будет совершать со времена гармонические колебания с частотой ω. Эти колебания называются собственными (или свободными) колебаниями.

Продолжительность одного цикла колебаний - период колебаний Т=2π/ω или

(II.11)

измеряется в сек. Величину (II.12) называют круговой собственной частотой системы в отличии от обычной частоты р, равной числу периодов колебаний за единицу времени. Частота р=1/Т измеряется в герцах. Период свободных колебаний Т и связанная с ним частота являются главнейшими динамическими параметрами системы (конструкции, сооружения). Величину k называют жесткостью системы или коэффициентом жесткости (н/м, дин/см, кгс/см и т.д.) Величина k равна силе, которую нужно приложить к пружине, чтобы изменить ее деформацию на единицу длины.

Следовательно, период колебаний зависит от отношения массы и жесткости системы. Свободные колебания с течением времени затухают от сопротивления внешнего и внутреннего трения. При механических колебаниях трение пропорционально первой степени скорости. Уравнение движения (II.8) примет вид:

(II.13)

где - сила трения, С - коэффициент силы трения, имеющий размерность Н

 

сек/м или кгс сек/м.

Для анализа колебательного процесса уравнение (II.13) можно представить в виде:

 

(II.14)

где ξ=C/2m и ω²= k/m (II.15)

Размерность |ξ|= сек^-1. Уравнение (II.14) является уравнением затухающих колебаний системы его решение имеет вид:

x = D e^ξt cos(ω_D t - α) (II.16)

где D и α - константы, зависящие от начальных условий, а ω²_D= ω²- ξ² (II.17)

На рис. внизу затухающие колебания одномассовой системы