Модели на основе алгебраических регрессионных зависимостей

По аналогии со статистической регрессионной зависимостью (векторная ARX-модель) [6, 7, 8, 25]:

, (4.13)

где – матрица коэффициентов регрессии размером n на l; – l- мерный вектор значений внешних влияющих факторов в(j-i)-й момент времени; q – порядок векторной регрессии, рассматривают подобные алгебраические (детерминированные) регрессионные зависимости. Отличие их состоит в том, что при идентификации блочной матрицы параметров модели используется выборка ограниченного объема дискретных наблюдений входа – выхода объекта электропотребления , , и задача формально ставится следующим образом: определить оценку матрицы параметров наилучшую по некоторому критерию качества в допустимой области их значений [4]:

.

Методом решения последней оптимизационной задачи, не требующим никакой априорной информации о статистических характеристиках шума или , является метод наименьших квадратов. Единственным исходным предположением является то, что уравнение типа (2.13) даёт точное описание процесса для предыстории.

В случае обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК) в качестве критерия качества выбирают положительно определенную квадратичную форму

, (4.14)

где – положительно определенная весовая матрица, ; – вектор невязок. При этом наилучшая оценка ОМНК для параметров задается соотношением

.

Если ввести понятие псевдообратного оператора для оператора , то последнее матричное выражение переписывают в форме

,

где , .

Таким образом, псевдообратный оператор однозначно определяется линейным оператором и весовой матрицей критерия качества идентификации .

Используя последнее выражение, несложно определить ошибку идентификации или определения параметров модели

,

где .

Таким образом, добиться уменьшения ошибки идентификации , в частности процесса электропотребления, можно привлечением дополнительной информации о неизвестных параметрах или соответствующим выбором матрицы в критерии качества идентификации (2.14) при заданной выборке измерений.

Существуют различные подходы определения такой положительно определенной матрицы в критерии качества идентификации (2.14) [4]:

1) Минимаксный подход, определяемый выражением

,

матрицу выбирают из класса положительно определенных матриц.

2) Подход выбора матрицы методом ортогонализации. При этом предполагают, что задан вектор ошибки , тогда

,

задаваясь , получают .

Таким образом, выбирается такая матрица , что вектор оказывается ортогональным ко всем столбцам матрицы .

3) Подход на основе минимизации нормы вектора ошибок. Этот подход выбора матрицы опирается на очевидное неравенство

.

Идея заключается в том, чтобы минимизировать норму , не подвергая заметному изменению величину . Последнее достигается требованием равенства единице среднего арифметического элементов матрицы , которая предполагается диагональной:

При этом минимизация нормы достигается в первую очередь за счет уменьшения модуля наиболее выделяющихся компонент вектора .

Существуют также и другие подходы выбора матрицы при построении алгебраических регрессионных зависимостей.

Алгебраические регрессионные зависимости вида (4.13) удобны в использовании при моделировании процесса электропотребления, когда имеется единственная измеренная выборка ограниченного объема (малое число наблюдений) или когда процесс достаточно быстро изменяет свой характер и для его моделирования необходима достаточно короткая предыстория (оперативный прогноз).

Трудности применения алгебраических регрессионных зависимостей во многом совпадают с перечисленными проблемами для статистической многомерной регрессии, в частности, решение плохо обусловленных систем и т.п.

4.2.8. Метод сингулярного спектрального анализа (метод Caterpillar или «гусеницы»)

Основное назначение метода [64, 65] – это анализ временных рядов вида , состоящих из вещественных значений, с целью разложения их на три составляющие: тренд , периодическую составляющую и шум . При этом: .

Основное применение метода «гусеницы» – это фильтрация временного ряда с дальнейшим изучением его структуры при единственной реализации ряда в гидрогеологии, астрономии и экономике. Однако есть попытки использования этого метода и при прогнозировании этих процессов на малое упреждение [64].

Изначальной предпосылкой метода является построение матрицы данных ряда, подобной используемой при построении ковариационных и корреляционных матриц стационарных временных рядов [12, 13], в частности, при реализации систем Юла – Уокера в регрессионных моделях. При этом величина L определяет порядок регрессии или авторегрессии. В данном случае эту матрицу данных называют траекторной размером и представляют в виде

.

Осуществляют сингулярное (SVD) разложение траекторной матрицы T в форме

,

где – упорядоченные сингулярные числа матрицы T; и – матрицы левых и правых сингулярных векторов матрицы T, называемых факторными векторами.

По особым правилам, например, на основе анализа периодограмм сингулярных векторов или других правил [64, 65], группируют элементарные матрицы на три группы , , или более. И на последнем шаге по каждой из полученных матриц , , восстанавливают соответствующую ей составляющую временного ряда , и . Для этого усредняют вдоль антидиагоналей элементы матриц, , , так, например, элемент ряда получается усреднением элементов с индексами такими, что .

Затем, реализуя тот или иной метод прогноза каждой из составляющих ряда , и , получают прогнозное значение ряда F в целом.

Проведенные в работе исследования по использованию метода «гусеницы» для краткосрочного прогнозирования временного ряда анализируемой реализацией процесса с часовыми отсчетами (при L =24) выявили ряд существенных недостатков метода, резко ограничивающих его применимость:

1) Метод для моделирования использует неоптимальный с точки зрения точности воспроизведения процесса ортогональный базис левых и правых сингулярных векторов матрицы T. Это объясняется тем, что при расчете базиса его подбор осуществляется не только к самим реализациям, но и к реализациям, сдвинутым во времени на 1, 2, 3, … точек, в соответствии с принципом построения траекторной матрицы T. При этом погрешность, как восстановления, так и прогнозирования реализации по методу «гусеницы», по сравнению с разработанным ДММ, выше в 2 – 4 раза при одной размерности m модели.

2) Сложность трактовки изменчивости полученных на основе матриц отдельных составляющих ряда, полученного из анализируемой реализации с изменчивостью влияющих внешних факторов. Это объясняется тем, что в матрице T помимо изменчивости реализации от внешних факторов искусственно введена изменчивость, не присущая реализации и никак не связанная с действием внешних факторов, а именно смещение реализации во времени. Это резко усложняет трактовку изменчивости базисных функций и элементарных рядов на основе матриц от действия внешних факторов. Поэтому учет внешних факторов в модели усложнен и требует дополнительных исследований.

3) Появление в ортогональном базисе левых и правых сингулярных векторов матрицы T пар амплитудно-модулированных с изменяющейся постоянной составляющей гармонических составляющих, что иногда трактуется как положительная черта метода, а именно использование общепринятых гармонических функций, как показали исследования, связано именно с воспроизведением искусственно введенного временного перемещения анализируемой реализации. Таким образом, это никак не связано с улучшением моделирования и прогнозирования процесса, более того, это необоснованно увеличивает порядок модели в 1,5 – 2 раза по сравнению с ДММ.

Заключение

Из анализа опубликованных работ можно заключить, что наиболее предпочтительными являются вероятностно-детерминированные математические прогнозирующие модели, составленные из комбинации статистических и детерминированных моделей. Именно эти модели позволяют обеспечить наилучшую точность прогнозирования, адаптивность к изменяющимся процессам, протекающим в радиотехнических системах [24, 33, 10].

Они базируются на концепции стандартизованного моделирования процессов [10], т.е. аддитивной декомпозиции фактической нагрузки на стандартизованный процесс (базовой составляющей, детерминированного тренда) и остаточной составляющей [2, 76 – 81]:

,

где t – время внутри суток; d – номер суток, например, в году.

В стандартной составляющей при моделировании также осуществляют аддитивное выделение отдельных составляющих, учитывающих [6]: изменение средней сезонной нагрузки ; недельную цикличность изменения процесса ; трендовую составляющую, моделирующую дополнительные эффекты, связанные с изменением времени восхода и захода солнца от сезона к сезону ; составляющую, учитывающую зависимость процесса от метеофакторов , в частности температуры, и т.п.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 4

1. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / под ред. К.Т. Леондерса. – М.: Мир, 1980. – 407 с.

2. Теория автоматического управления. Нелинейные системы, управление при случайных воздействиях / под ред. Л.В. Нетушила. – М.: Высшая школа, 1983. – 431 с.

3. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. – М.: Наука, 1987. – 712 с.

4. Галустов Г.Г., Бровченко С.П., Мелешкин С.Н. Характеристика основных типов детерминированных прогнозирующих математических моделей: учебное пособие. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. – 30 с.

5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. – 320 с.

6. Седов А.В., Давыдов А.Б. Определение пробы металла по вольтамперограммам инверсионного осаждения методами распознавания образов. // Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики: Материалы междунар. науч.-практич. конф., г. Новочеркасск, 21 сентября 2000 г.: в 10 ч. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). – Новочеркасск: УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2000. – Ч.3. – С. 33 – 34.

7. Бровченко С.П., Галустов Г.Г. Приём и обработка сверхвысокочас-тотных радиосигналов / под ред. Г.Г. Галустова. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. – 630 с.

8. Липас Дж.Р., Рунс Дж.М. Многомерный анализ химических данных факторными методами // ЭВМ помогает химии. – Л.: Химия, 1990. – С. 182 – 237.

9. Гордеев В.И., Васильев И.Е., Щуцкий В.И. Управление электропот-реблением и его прогнозирование. – Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1991. –104 с.

10. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности // под ред. С.А. Айвазяна. – М.: Финансы и статистика, 1989. – 600 с.

11. Бэнн Д.В., Фармер Е.Д. Сравнительные модели прогнозирования электрической нагрузки. – М.: Энергоатомиздат, 1987. – 200 с.

12. Орнов В.Г., Рабинович М.А. Задачи оперативного и автоматического управления энергосистемами. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 223 с

13. Френкель А.А. Прогнозирование производительности труда: методы и модели. – М.: Экономика, 1989. – 214 с.

14. Лукашин Ю.Г. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирова-ния. – М.: Статистика, 1989. – 256 с.

15. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. – М.: Высш. шк., 1994. – 554 с.

16. Abu-Hussien M.S., Kandil M.S., Tantuary M.A., Farghal S.A. An accurate model for short-term load forecasting // Proc. IEEE. –1979. – № 10. – Р. 1860 – 1882.

17. Аккерман Г. Почасовое прогнозирование нагрузки // Сравнительные модели прогнозирования электрической нагрузки. – М.: Энергоатомиздат, 1987. – С.31 – 39.

18. Инструктивные материалы Главгосэнергонадзора Минэнерго СССР. – М.: Энергоатомиздат, 1986. – 120 с.

19. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. – М.: Статистика, 1977. – 250 с.

20. Праховник А.В., Розен В.П., Дегтярев В.В. Энергосберегающие режимы электроснабжения горнодобывающих предприятий. – М.: Недра, 1985. – 232 с.

21. Brown R.G. Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time Series. Prentice-Hall, 1962. – 150 p.

22. Седов А.В., Лачин В.И., Иванов Е.А. Прогнозирование изменения сопротивления изоляции судовых ЭЭС постоянного тока на основе уточненного метода экспоненциального сглаживания // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Техн. науки. – 2002. – №3. – С.12 – 16.

23. Седов А.В., Сухомлинова О.А. Обобщенное векторно-матричное представление модели экспоненциального сглаживания для прогнозирования электрической нагрузки энергосистем // Кибернетика электрических систем: матер. XXV сессии семинара «Электроснабжение промышленных предприятий», г. Новочеркасск, 15 – 16 окт. 2003 г./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. – Новочеркасск: Ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», 2004 [прил. к журналу] – С. 36-37.

24. Галустов Г.Г., Рыжов В.П. Применение теории нечетких множеств для оптимизации алгоритма распознавания сигналов. – Таганрог: ТРТИ, 1990. Деп. в ВИНИТИ 28.12. 90, №6491 – В90.

25. Галустов Г.Г. Автоматизированные системы и аппаратура медицин-ской диагностики: учебное пособие. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. – 162 с.

26. Оценивание состояния в электроэнергетике / А.З. Гамм, Л.Н. Герасимов, Н.Н. Голуб и др. – М.: Наука, 1983. – 300 с.

27. Методы решения задач реального времени в электроэнергетике / А.З. Гамм, Ю.Н. Кучеров и др. – Новосибирск: Наука, 1990. – 294 с.

28. Шнейдер А.М., Такенава Т., Шиффман Д.А. Суточное прогнозирование нагрузки электроэнергетической системы с учетом прогнозов температуры // Сравнительные модели прогнозирования электрической нагрузки. – М.: Энергоатомиздат, 1987. – С.74 – 91.

29. Schweppe F.C. Role of system identification in electrical power system. – PSCC Proc., Grenoble, Sept. 11 – 16 1972, Queen Mary College, Univ. London.

30. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния электроэнер-гетических систем. – М.: Наука, 1976. – 220 с.

31. Корн Г., Корн Т. Справочник для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1984. – 831 с.

32. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. – М.: Наука, 1965. – 780 с.

33. Седов А.В., Надтока И.И. Системы контроля, распознавания и прогно-зирования электропотребления: модели, методы, алгоритмы и средства. – Ростов-на-Дону: Изд-во Рост. ун-та, 2002. – 320 с.

34. Галустов Г.Г., Цымбал В.Г., Михалев М.В. Принятие решений в условиях неопределенности. – М.: Радио и связь, 2001. – 196 с.

35. Тимченко В.Ф. Колебание нагрузки и обменной мощности энергосистем. – М.: Энергия, 1975. – 208 с.

36. Гордеев В.И. Регулирование максимума нагрузки промышленных электрических сетей. – М.: Энергоатомиздат, 1986. – 182 с.

37. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. – М.: Наука, 1981. – 488 с.

38. Ристхейн Э.М. Электроснабжение промышленных установок. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 424 с.

39. Электрические нагрузки промышленных предприятий / С.Д. Волобринский, Г.М. Каялов, П.Н. Клейн и др. – Л.: Энергия, 1971. – 264 с.

40. Федеральный закон «Об электроэнергетике» от 26.03.2003 г. №35-Ф3 Собрание законодательства Российской Федерации, 2003, № 13, ст. 1178. (http://www.eesros.elektra.ru).

41. Чуев Ю.В., Михайлов Ю.Б., Кузьмин В.И. Прогнозирование количес-твенных характеристик процессов. – М.: Сов. радио, 1975. – 398 с.

42. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. – 287 с.

43. Вайникко Г.М., Хамарин У.А. Саморегуляризация при решении некорректных задач проекционными методами // Модели и методы исследования операций. – Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. – 250 с.

44. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

45. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 3 т. Т.1. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. – 748 с.

46. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. – М.: Машиностроение, 1986. –440 с.

47. Седов А.В. Микропроцессорные устройства контроля и прогнозирова-ния в системах управления электроэнергетическими объектами с дискретно-распределенными параметрами: дисс. … канд.техн.наук. – Новочеркасск, 1995. – 370 с.

48. Демура А.В., Кушнарев Ф.А., Надтока И.И., Седов А.В. Прогнозиро-вание электропотребления в энергосистеме Ростовэнерго // Изв. вузов. Электромеханика. – 1994. – № 4-5. – С. 102 – 110.

49. Галустов Г.Г., Ковригин В.М. Нелинейное преобразование случайных процессов в диагностических системах // Радиотехника. Вып. 62 Радиоэлектронные устройства и системы управления, локации и связи. – М. – 2002. – №2 – С.10 – 14.

50. Джейн А.К., Муиуддин К.М. Введение в искусственные нейронные сети // Открытые системы. – 1997. – № 4. – С. 17 – 24.

51. Белан А.В., Демура А.В., Исаев К.Н., Морхов А.Ю., Надтока И.И., Седов А.В. Анализ и прогнозирование электрической нагрузки в энергосистеме // Улучшение экологии и повышение надежности энергетики Ростовской области. – Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 1995. – С. 90 – 100.

52. Barron A.R. Universal approximation bounds for superposition of a sigmoidal function // IEEE Trans. On Information Theory. – 1993. – Vol. 39. – P.930 – 954.

53. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 744 с.

54. Cybenco G. Approximation by superposition of a sigmoidal function // Math. Control Systems and Signals. – 1989. – № 2. – P. 303 – 314.

55. Демура А.В. Использование искусственной нейронной сети в качестве многофакторной модели при планировании электропотребления предприятий // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Сер. Техн. науки. – 1996. – № 3. – С. 102 – 108.

56. Hsu Y.Y., Yang C.C. Design of artificial networks for short-term load forecasting. Part I: Self-organizing feature maps for day type identification. Part II: Multilayer feed forward networks for peak load and valley load forecasting // IEEE Proc. – 1991. – Vol. 138, № 5. September. – P. 407 – 418.

57. Шумилова Г.П., Готман Н.Э., Старцева Т.Б. Краткосрочное прогнози-рование электрических нагрузок с использованием искусственных нейронных сетей // Электричество. – 1999. – № 10. – С. 6 – 12.

58. Peng T.M., Hubele N.F., Karady G.G. An adaptive neural network approach to one-week ahead load forecasting // IEEE Trans. PAS. – 1993. – Vol. 8, № 3.

59. Jang J.S.R. ANFIS: Adaptive network based fuzzy inference systems // IEEE Trans. On Systems, Man, and Cybernetics, – 1993. – Vol. 23, № 3. – P. 665 – 685.

60. Прикладные нечеткие системы / К. Асаи, Д. Ватада, С. Иваи и др. – М.: Мир, 1993. – 368 с.

61. Кушнарев Ф.А., Морхов А.Ю., Надтока И.И. Прогнозирование электропотребления на основе нечетких множеств // Изв. вузов. Электромеханика. – 1994. – № 6. – С. 74.

62. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. – Киев: Техника, 1975. – 345 с.

63. Ivachnenko A.G., Ivachnenko G.A., Muller J.A. Self-Organization of Neural Networks with Active Neurons // Pattern Recognition and Image Analysis. – 1994. – Vol. 4, № 2. – P. 185 – 196.

64. Главные компоненты временных рядов: метод “Гусеница” / под ред. Д.Л. Данилова, А.А. Жиглявского. – CПб.: Пресском, 1997. – 308 с.

65. Elsner J.B., Tsonis A.A. Singular Spectrum Analysis: A New Tool in Time Series Analysis // New York, London: Plenum Press, 1996. – 164 p.

66. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / под ред. Э.К. Лецкого. – М.: Мир, 1977. – 552 с.

67. Тихонов А.Н. Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье // Докл. АН СССР. – 1964. – Т.156, № 1.

68. Горбань А.Н., Россиев Д.А. Нейронные сети на персональном компьютере. – Новосибирск: Наука, 1996. – 276 с.

69. Морхов А.Ю. Совершенствование методов расчета электрических нагрузок и управление электропотреблением в условиях нечеткой информации: автореф. дисс. канд. техн. наук. – Новочеркасск, 1994. – 17 с.