Формулировка условия для эффективного применения детерминированного подхода решения проблемы прогнозирования

В радиотехнике и электроэнергетике, как отмечено в работах [1, 2, 3], есть примеры, когда вероятностные модели применяются без надлежащего обоснования, когда отсутствует возможность получения представительных выборок для построения математических моделей и проверки их адекватности.

В этих случаях эффективно использовать алгебраический, детерминированный, а не статистический подход к решению проблемы идентификации [4, 5]. Основные отличия алгебраического подхода от статистического заключаются в следующем:

- при моделировании находятся, уточняются и используются не статистические характеристики ошибок измерений, а непосредственно сами значения ошибок в конкретном эпизоде идентификации;

- уточнение параметров модели осуществляется непосредственно по невязке сигналов на выходе объекта и на выходе текущей модели.

Большинство детерминированных прогнозных моделей процессов (полиномиальная модель, конечный гармонический ряд Фурье, алгебраические регрессии, спектральные разложения и т.п.) могут представляться моделью общего вида:

,

где – вектор параметров детерминированной модели; – комбинированный вектор входных влияющих факторов Z _j в текущий и ряд предыдущих моментов времени, а также, возможно, самой выходной величины в предыдущие моменты времени; – вектор ошибки модели; – функция или векторная функция, определяющая детерминированную прогнозную модель.

Задача идентификации (2.6) ставится в алгебраическом случае следующим стандартным образом: определить наилучшую, по некоторому критерию качества оценку параметров на основании изменений входа-выхода объекта в допустимой области значений [4, 6]:

.

В алгебраической постановке вектор ошибки модели и его статистические характеристики считаются неизвестными.

С формальных алгебраических позиций система (2.6) не разрешима, так как содержит два неизвестных вектора: параметров модели и ошибки модели .

Однако, используя метод наименьших квадратов (МНК) при алгебраической идентификации, модель (2.6), по существу, приближенно заменяют системой

,

а за оптимальную оценку принимают значение, обеспечивающее минимум евклидовой нормы вектора невязок, или положительно определенной квадратичной формы

,

где – положительно определенная весовая матрица, ; – вектор невязок.

Хотя использование в теории идентификации этого подхода статистически не обосновано, тем не менее этот метод является самым практичным методом решения задачи по единственной выборке или малому количеству выборок измерений ограниченного объема [4, 7, 6].