Взаимное положение прямой и поверхности

 

Положение внешней прямой по отношению к поверхности следует рассматривать по отношению к линии, которая принадлежит поверхности и расположена в одной плоскости с внешней прямой.

Сложность создания единого алгоритма решения задачи состоит в многообразии поверхностей. Поэтому целесообразно выделить группу поверхностей и привести их к одному виду, например к конусу.

Боковая поверхность конуса задается вершиной (точка вне плоскости основания) и периметром основания (любая линия в плоскости основания конуса). Образующая боковой поверхности проходит через вершину и точку на периметре основания.

В классическом понимании периметр основания конуса – циркульная или лекальная кривая. Если периметр основания – многоугольник, то имеем дело с пирамидой. Если вершина расположена в бесконечности, а периметр основания, например, окружность, то это цилиндр, периметр основания многоугольник – призма.

На рис.35 задана поверхность пирамиды W(G,S(АВС)) и прямая MN. Пирамида задана основанием АВС, расположенным в плоскости П₁, и вершиной G. G₁ – горизонтальная проекция вершины пирамиды. Горизонтальная проекция основания (А₁В₁С₁) совпадает с (АВС).

 

Математически имеем систему уравнений:

W(G,S(АВС)) преобразуем S(АВС) решение:

ЕР

MN систему D(G, MN) линия пересечения

 

Составим системы уравнений:

 

ЕР решение: 1 G точка пересечения

1; К¹;

АС точка пересечения MN MN с гранью GAC

 

ЕР решение 2 G точка пересечения

2; K².

АС точка пересечения MN MN с гранью GBC

 

Графическое решение:

 

- На прямой MN взяли произвольную точку М (в нашем случае точка совпадает с концом отрезка MN). Задали плоскость D двумя пересекающимися прямыми MN и GM (вместо D(G, MN)).

 

- Определили точки пересечения прямой MN с плоскостью периметра основания (MN пересекает проекцию M₁N₁ в точке Р) и прямой GM с той же плоскостью (GM пересекает проекцию G₁M₁ в точке E).

- Прямая РЕ – линия пересечения плоскости D(G, MN) с плоскостью периметра основания конуса S (АВС), которая в нашем случае совпадает с П₁.

- Прямая РЕ пересекает в плоскости S (АВС) стороны периметра основания АС в точке 1 и ВС в точке 2. Прямая G1 – образующая грани GАС. Прямая G2 – образующая грани GВС.

- Прямые MN, G1 и G2 расположены в плоскости D(G, MN). К¹ – точка пересечения прямой MN с прямой G1 и с гранью пирамиды GАС. К² – точка пересечения прямой MN с прямой G2 и с гранью пирамиды GВС.

Рис. 35

 

Если прямая РЕ не пересекает периметр основания, то плоскость D(G,MN) не пересекает поверхность пирамиды. Прямая MN тоже не пересекает поверхность (проходит мимо).

Если точка пересечения прямой MN с плоскостью основания D(G,MN) Р расположена внутри периметра АВС, то прямая MN пересекает в этой точке основание повехности.

Пример. Определить взаимное положение конуса J(S, r) и

прямой t (рис. 36).

Основание конуса r(r₁, r₂) лежит в плоскости S(r), которая перпендикулярна плоскости П₂ (фронтальная проекция r₂ окружности r(r₁, r₂) на П₂ спроецировалась в линию, являющуюся фронтальным следом S₂ плоскости S).

На прямой t(t₁, t₂) возьмем произ-вольную точку D(D₁,D₂) и соединим ее с точкой S(S₁, S₂) прямой SD(S₁D₁, S₂D₂). Обе прямые t и SD расположены в плоскости D(S, t).

Чтобы построить линию пересече-ния плоскости основания конуса S(r) с плоскостью D(S,t), в которой рас-положена внешняя прямая t, достаточ-но найти точки пересечения F и E двух прямых t и SD (обе принадлежат D) с

Рис. 36 плоскостью S. Фронтальная проекция F2 находится на пересечении t₂ с S₂, горизонтальная проекция F₁ – на пересечении линии связи с t₁. Фронтальная проекция Е₂ находится на пересечении S₂D₂ с S₂ , горизонтальная проекция Е₁ – на пересечении линии связи с продолжением S₁D₁. Горизонтальная проекция линии пересечения - F₁Е₁, фронтальная проекция F₂ Е₂ совпадает с S₂ (на чертеже не обозначена).

Точки пересечения горизонтальной проекции F₁Е₁ с горизонтальной проекцией окружности r₁ будут горизонтальными проекциями А₁ и В₁ точек, через которые пройдут образующие конуса SA и SB (линии пересечения боковой поверхности конуса с плоскостью D).

На пересечении горизонтальных проекций t₁ с S₁A₁ и t₁ с S₁B₁ найдем горизонтальные проекции К¹₁ и К²₁ точек пересечения прямой t с поверхностью конуса. Фронтальные проекции К¹₂ и К²₂ точек будут на линиях связи и на фронтальной проекции t₂ прямой t.

Примечание: В конце составлены и решены системы уравнений Y=f(x). Координаты Х подставлены в уравнение Z=f(x) прямой t.

 

 

Пример. Определить взаимное положение призмы и

прямой t (рис. 37).

Плоскость верхнего основания призмы S перпендикулярна фронталь-ной плоскости проекций П₂.

На прямой t взяли произвольную точку D(D₁, D₂) и соединили ее с вершиной S. Вершина расположена в бесконечности, поэтому прямую DS провели в направлении на вершину, которое параллельно боковым ребрам призмы.

Определили линию пересечения плоскостей S и D(S, t) – прямая EF.

Рис. 37 Фронтальная проекция E₂F₂ совпадает с S₂. E₂ расположена на пересечении S₂ с S2. F₂ – на пересечении S₂ с t₂. Горизонтальная проекция E₁ находится на линии связи и S₁, F₁ находится на линии связи и t₁.

А₁, В₁ - горизонтальные проекции точек пересечения прямой EF со сторонами треугольника основания призмы. Через них пойдут в направлении на вершину (параллельно боковым ребрам призмы) горизонтальные проекции линий пересечения граней призмы с плоскостью D(S, t), которые пересекаются с t₁ в точках К¹₁ и К²₁. К¹₁ и К²₁ - горизонтальные проекции точек пересечения прямой t с гранями призмы. Фронтальные проекции К¹₂ и К²₂ находятся на пересечении линий связи с фронтальной проекцией прямой.

 

В случае поверхностей, которые не содержат прямых линий, через прямую (АВ) проводится плоскость S и определяется линия пересечения этой плоскости с поверхностью. Точки пересечения внешней прямой с поверхностью, если таковые имеются,есть точки пересечения этой прямой с линией пересечения плоскости с поверхностью.

 

На рис. 38 заданы поверхность шара и прямая AB. Прямая AB заключена в пл. S ^ П₂. Шар пересекается с плоскостью по окружности радиусом R. Если изменить угол наклона a плоскости S до нуля (взаимное положение фронтальных проекций шара и прямой АВ определено расстоянием ОК), то на П₁ горизонтальная проекция линии пересечения шара плоскостью S - окружность радиуса R.

 

C¹₁, D¹₁ - горизонтальные проекции точек пересечения прямой AB c поверхностью шара. Фронтальные проекции находятсяна A¹₂B¹₂ и линиях связи.

Рис. 38

 

Для построения линии пересечения двух поверхностей следует выбрать на одной из них множество линий, например, для конуса - множество образующих, отличающихся одна от другой линейным шагом конца, расположенного на периметре основания. Затем определить точки пересечения этих прямых с поверхностью второго тела. Если соединить полученные точки лекальной кривой, то получится линия пересечения двух поверхностей.

При этом следует помнить, что обязательно построение точек линии пересечения, расположенных на очерковых образующих поверхностей. Эти точки являются точками перегиба и определяют видимость линии пересечения

Развертки поверхностей

 

Развертки поверхностей необходимы при изготовлении элементов газоходов (переходы с одного сечения на другое, повороты, отводы т.п.). Чертеж развертки обеспечивает раскрой материала в реальных размерах.

На рис. 39 выполнена развертка боковой поверхности наклонной призмы с нижним основанием АВС и верхним основанием FED.

Горизонтальная проекция нижнего основания А₁В₁С₁ - натуральная величина, т.к. угол a плоскости АВС равен 0.

Для определения натуральной величины боковых ребер в положении 1 изменен их угол b до 0.

Развертка выполнена методом раскатки, вращением пирамиды вокруг боковых ребер до совмещения граней в данном случае с плоскостью П₂.

Грань ADFC вращается вокруг оси А¹₂D¹₂. С¹₂О - фронтальная проекция радиуса вращения точки С вокруг А¹₂D¹₂. Точка О - центр вращения. После совмещения с плоскостью П₂ точка С будет находиться на направлении радиуса вращения и удалена от точки А на величину çАСç, т.е. расположена на пересечении прямой ОС¹₂ с дугой r¹, радиус которой равен А₁С₁=çАСç, центр ее расположен в точке А¹₂.

 

Рис. 39

 

Точка F находится на пересечении направления ребра СF и направления радиуса вращения Е¹₂F.

Аналогично выполнены развертки граней BEFC вокруг ребра СF и BEDA вокруг ребра ВЕ.

 

На рис. 40 выполнена развертка боковой поверхности пирамиды с вершиной S и основанием АВС.

 

Рис. 40

 

Горизонтальные проекции сторон треугольника равны их модулям.

В положении 1 определены модули боковых ребер пирамиды. S₂A¹₂=çSAç, S₂B¹₂=çSBç, S₂C¹₂=çSCç

На свободном месте поля чертежа проведем отрезок SA=S₂A¹₂=çSAç. Точка В удалена от S на величину S₂B¹₂=çSBç, а от точки А на величину А₁В₁=çАВç. Иначе точка В находится на пересечении дуги t^B, радиус которой равен S₂A¹₂, и дуги r^B, радиус ее равен А₁В₁.

Точки А и С построены аналогично.

Для построения разверток цилиндра и конуса в них следует соответственно вписать n - гранные призму или пирамиду и выполнить развертки их боковых поверхностей. Полученные точки А. В, С и т.д. соединить лекальной кривой.