Взаимное положение плоскостей

 

Чтобы выяснить взаимное положение двух плоскостей, следует определить взаимное положение двух пересекающихся прямых, расположенных в первой

- если прямые параллельны второй плоскости, то и плоскости параллельны (рис. 29a);

- если одна прямая пересекает вторую плоскость, а другая параллельна, то линия пересечения плоскостей проходят через точку пересечения первой прямой с плоскостью и параллельна второй прямой (рис. 29б);

- если прямые пересекают вторую плоскость, то точки их пересечения определяют линию пересечения плоскостей (рис. 29 в).

На рис. 29a две пересекающиеся прямые D₁ и D₂ плоскости D соответственно параллельны двум пересекающимся прямым S₁ и S₂ плоскости S,

следовательно, плоскости параллельны.

a б в

Рис. 29

 

На рис. 29б фронтальные следы D₂ и S₂ плоскостей D и S параллельны, а горизонтальные следы D₁ и S₁ пересекаются в точке 1(1₁,1₂). Если плоскости содержат параллельные между собой прямые D₂ и S₂, то линия пересечения плоскостей е параллельна этим прямым (фронтальная проекция е ₂ïï(D₂)₂ = D₂ и е ₂ïï (S₂)₂ = S₂, горизонтальная проекция е₁ïï(D₂)₁ = Х₁₂ и е ₁ïï (S₂)₁ = Х₁₂) и проходит через общую для плоскостей точку 1.

На рис. 29 в плоскости имеют 2 общие точки: 1(1₁,1₂) - точка пересечения фронтальных следов D₂ и S₂ и 2(2₁,2₂) - точка пересечения горизонтальных следов D₁ и S₁. Прямая 12(1₁2₁, 1₂2₂) – линия пересечения плоскостей.

В случае параллельности плоскостей следует определить расстояние между ними, а в случае пересечения - угол между ними.

Для этого достаточно изменить угол наклона плоскостей к П₁ или к П₂ так, чтобы одна из них стала перпендикулярна плоскости проекций. Взаимное положение плоскостей при этом не должно изменяться, т.к. они составляют единый объект.

На рис. 30 заданы плоскости D(ABC) и S(t½½EF). Для определения взаимного положения плоскостей в текущем положении 1 изменим угол a плоскости D до 90°. С этой целью в плоскости D(ABC) взяли прямую ВD c углом b = 0. Угол a прямой ВD равен В₂D₂^ÙB₁D₁. Угол поворота жесткой системы плоскостей D и S по часовой стрелке вокруг оси iY, которая проходит через точку В (см. рис. 3), равен 90°-a После поворота фронтальная проекция В¹₂D¹₂ ^ Х₁₂. Плоскость D станет перпендикулярна П₁, горизонтальная

 

проекция А¹₂В¹₂С¹₂ совпадет с горизонтальным следом D¹₁. В нашем конкретном случае горизонтальная проекция плоскости S E¹₁F¹₁R¹₁ совпадет с горизонтальным следом S¹₁, следовательно, плоскость S перпендикулярна П_1, одновременно горизонтальные следы плоскостей параллельны (D¹₁½½S¹₁), следовательно, плоскости тоже параллельны. Расстояние между плоскостями будет равно расстоянию между параллельными прямыми - следами D¹₁ и S¹₁.

Рис. 30

 

На рис. 31 заданы плоскости S(ABC) и D(D₁,D₂). Для определения их взаимного положения изменили угол b горизонтального следа плоскости до 90° (в первом текущем положении D¹₁ ^ Х₁₂). Плоскость D стала ^ П₂. В нашем конкретном случае плоскость S не перпендикулярна П₂ (фронтальная проекция А¹₂В¹₂С¹₂ не спроецировалась в прямую линию).

Фронтальная проекция любой прямой, лежащей в плоскости D, совпадает с D¹₂, в том числе и фронтальная проекция линии пересечения плоскостей E¹₂R¹₂ совпадет с D¹₂. Плоскости пересекаются.

 

 

Рис. 31

 

Для определения угла между плоскостями D и S достаточно на основании (15) изменить угол наклона линии пересечения плоскостей, например, к плоскости П₂ до 90°. Тогда обе плоскости на основании (16) будут перпендикулярны П₂.

Если задать плоскость D прямой ER и точкой T, которая принадлежит D, а плоскость S - ER и точкой A, принадлежащей S, то при изменении углов наклона плоскостей изменять положение будут прямая ER и точки A и Т.

В текущем положении 2 определен угол наклона линии пересечения ER к плоскости П2. b^ЕR = E²₁R²₁ ^ E²₂R²₂.

В текущем положении 3 плоскости D(ER, Т) и S (ER, A) перпендикулярны П₂, b^ЕR=90°, а угол между плоскостями j = S³₂ ^ D³₂.