Свойства собственных векторов и собственных значений

1. Собственный вектор и линейного преобразования имеет единственное собственное значение l, ему соответствующее.

Доказательство: Предположим, что собственному вектору и соответствует два собственных значения l₁ и l₂. Тогда и = l₁ и и и = l₂ и, откуда l₁ и = l₂ и, или (l₁ – l₂) и = 0. Но т.к. и ¹ 0, то l₁ – l₂ = 0, откуда l₁ = l₂. Следовательно, собственное число, соответствующее данному собственному вектору – единственное. ▲

2. Если и – собственный вектор, l – соответствующее ему собственное значение и a ¹ 0 – произвольное действительное число, то a и – также собственный вектор с тем же собственным значением l.

Доказательство: Так как и – собственный вектор с собственным числом l, то и = l и. Поскольку – линейный оператор, то

(a и) = a( и) = a(l и) =l(a и),

следовательно, a и – собственный вектор с собственным значением l. ▲

3. Если и и v – собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению l, и и + v ¹ 0, то и + v – также собственный вектор, соответствующий собственному значению l.

Доказательство: Пусть и и v – собственные векторы, соответствующие собственному значению l, причем и + v ¹ 0. Тогда и = l и и v = l v.

Поскольку – линейное преобразование, то

(и + v) = и + v = l и + l v = l(и + v),

значит, и + v – также является собственным вектором, соответствующим собственному значению l. ▲

4. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.

Доказательство: Ограничимся доказательством этого свойство для двух векторов. Пусть и и v – собственные векторы, соответствующие собственным значениям l₁ и l₂, причем l₁¹ l₂. Предположим, что и и v линейно зависимы, т.е. a и +b v = 0 и a ¹ 0. Тогда и = l v, где l = – , а по свойству 2) вектор и = l v есть собственный вектор с таким же собственным числом, что и v, т.е. l₂. Но по условию вектор и соответствует собственному числу l₁ ¹ l₂.

Одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах соответствуют подобные, но разные матрицы. Естественно возникает вопрос, существует ли базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой – диагональный – вид? Справедливо утверждение:

Линейное преобразование : L ⁿ ® L ⁿ тогда и только тогда задается в базисе Б:{ а ₁, а ₂, …, а _п } диагональной матрицей, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами преобразования .

Пусть преобразование в базисе Б имеет матрицу А_Б, не являющуюся диагональной. И пусть в рассматриваемом пространстве существует базис Б_СВ из собственных векторов преобразования , в котором матрица преобразования имеет диагональный вид. Тогда из свойства подобия матриц линейного преобразования следует, что

,

где Т – матрица перехода от базиса Б к базису Б_СВ.

Матрицу А называют приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица Т такая, что – диагональная матрица. При этом говорят, что матрица Т приводит матрицу А к диагональному виду. Диагональную матрицу преобразования будем обозначать А_Д.