Линейные преобразования. Матрица линейного преобразования

Содержание лекции: Отображения пространств. Линейные отображения, линейные преобразования линейных пространств, матрица преобразования. Характеристические корни матрицы преобразования. Собственные числа и собственные векторы линейных преобразований.

Операции над линейными преобразованиями. Свойства операций.

Свойства собственных значений и собственных векторов. Ортогональные и симметрические преобразования. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду.

Отображения, линейные отображения. Примеры.

Основополагающее понятие математического анализа – понятие функции – определяется как соответствие между числовыми множествами Х и У: каждому значению х ÎХ по определенному закону ставится в соответствие единственное значение у ÎУ. Очевидно, в этом определении природа множеств Х и У не играет существенной роли. Это позволяет обобщить понятие функции на случай произвольных множеств. В этом случае вместо термина «функция» употребляется термин «отображение» или «оператор». Здесь мы рассмотрим понятие отображения множеств, являющихся линейными пространствами.

Определение 1

Пусть L и К линейные пространства размерности п и т соответственно. Говорят, что задано отображение линейного пространства L в пространство К, или оператор, переводящий L в К, если задан закон, по которому каждому вектору х ÎL поставлен в соответствие единственный вектор у ÎК. Обозначают
: L ® К, или L К.

При этом вектор у называют образом вектора х при отображении и обозначают , а вектор х называют прообразом вектора у. Совокупность всех прообразов (множество L) называют областью определения отображения , а совокупность образов (множество К или его подмножество) называют областью значений этого отображения. Пространство К, в частности, может совпадать с пространством L.

Рассмотрим примеры отображений.

I. Отображение : М₂ ® М₁_´₂ такое, что для вектора х = ÎМ₂образ имеет вид у = = ÎМ₁_´₂.

II. Оператор : V³® R такой, что "` х Î V³ = .

III. Отображение : R²®R² такое, что вектору х = [ х ₁, х ₂]ÎR² ставится в соответствие вектор у = = .

IV. Отображение :L ® L, при котором образом каждого вектора пространства L является сам этот вектор. Такой отображение называется тождественным или единичным и обозначается . Таким образом, " х Î L .

V. Оператор : L ® К такой, что каждому вектору из L ставит в соответствие нулевой вектор из К. Этот оператор называется нулевым оператором и обозначаетсяO. Таким образом, " х Î L O х = 0, где 0 – нулевой вектор пространства К.

Определение 2

Оператор (отображение) : L ® К называется линейным, если для любых х ₁, х ₂ÎL и любого aÎR выполняются условия линейности:

1) (х ₁+ х ₂) = х ₁+ х ₂, 2) (a х ₁) = a х ₁.

Чтобы выяснить, является ли заданный оператор линейным, необходимо проверить выполнение обоих условий линейности.

Пример 1

Проверить линейность оператора:

: V³® R, если " `а Î V³ = .

Пусть `а ₁, `а ₂– произвольные векторы пространства V³, заданные в базисе своими координатами: `а ₁= , `а ₂= .

Тогда

`а ₁+ `а ₂ = + = ,

= a = .

Отсюда , , , .

Проверим выполнение условий линейности для оператора :

= = + = ,

следовательно, первое условие линейности выполнено;

() = = a = a ,

т.е. второе условие линейности тоже выполнено. Значит, рассмотренный оператор – линейный.

Пример 2

Проверить линейность оператора : R²®R², если " х = [ х ₁, х ₂]ÎR² = .

Пусть х = [ х ₁, х ₂], у = [ y ₁, y ₂] – произвольные векторы пространства R². Тогда , .

Проверим выполнение условий линейности для заданного оператора.

= ,

х + у = + = .

Первые компоненты векторов и х + у, очевидно, совпадают. Но

т.е. вторые компоненты этих векторов не совпадают, поэтому

≠ х + у.

Следовательно, заданный оператор не является линейным.

Из определения линейного оператора следуют такие свойства:

1. При любом линейном отображении образом нулевого вектора является нулевой вектор, т.е. если оператор – линейный, то

0 _L= 0 _K.

2. При любом линейном отображении образом вектора, противоположного для данного вектора х, является вектор, противоположный для образа вектора х, т.е. (–а) = – а.

Линейные преобразования. Матрица линейного преобразования

Наиболее часто в линейной алгебре приходится иметь дело с операторами, отображающими заданное линейное пространство в это же линейное пространство. Такие отображения называют преобразованиями линейных пространств.

Определение 3.

Оператор , действующий из L в L, т.е. : L ® L, называется преобразованием линейного пространства L.

Это означает, что каждому вектору х из L по закону ставится в соответствие вполне определенный вектор у из этого же пространства L.

Преобразования линейных пространств будем обозначать буквами , , C, , и т.д.

Самым простым, и в то же время очень важным видом преобразований являются линейные преобразования. Поэтому дальнейшее изложение будет посвящено именно линейным преобразованиям линейных пространств.

Линейные преобразования можно записывать в координатной форме, т.е. для них существует единое правило нахождения координат образа по координатам прообраза.

Действительно, пусть – линейное преобразование линейного пространства L, х Î L – произвольный вектор, у = – его образ, у ÎL. Установим связь между координатами векторов х и у. Поскольку координаты вектора зависят от базиса, то зададим некоторый базис Б:{ а ₁, а ₂, …, а _п } пространства L. Пусть

Поскольку , то . В силу линейности преобразования имеем

Векторы – образы векторов базиса Б – являются элементами пространства L, и значит, могут быть разложены по базису Б:

Тогда для вектора у получим

у =

Отсюда, в силу единственности разложения вектора по базису, имеем

(1).

Формулы (1) определяют правило нахождения координат образа у через координаты его прообраза х при линейном преобразовании. Если координатные столбцы векторов х и у обозначить соответственно

Х = и У =

то систему (1) можно записать в матричном виде У =А.Х, (2)

где А = – квадратная матрица порядка п, i -й столбец которой составлен из координат вектора в выбранном базисе Б. Очевидно, А есть матрица системы векторов в базисе Б.

Таким образом, при фиксированном базисе любое линейное преобразование можно представить и притом единственным образом в матричной форме (2), или координатной форме (1)

Отсюда следует, что

· каждому линейному преобразованию в заданном базисе соответствует квадратная матрица, позволяющая осуществлять это преобразование посредством чисел – координат векторов и элементов данной матрицы;

· наоборот, любая квадратная матрица определяет в линейном пространстве L некоторое линейное преобразование, при котором координаты образа находятся по координатам прообраза с помощью системы (1).

Итак, мы имеем взаимно однозначное соответствие между множеством линейных преобразований линейного пространства L ⁿ и множеством квадратных матриц порядка п. Это соответствие, конечно, зависит от выбора базиса.

Определение 4.

Матрицей линейного преобразования в базисе Б называется матрица системы образов векторов базиса Бпри этом преобразовании.

Чтобы найти матрицу линейного преобразования , нужно:

1) выбрать базис рассматриваемого пространства;

2) найти образы базисных векторов при преобразовании ;

3) разложить полученные образы по выбранному базису;

4) составить матрицу, расположив в её столбцах координаты образов базисных векторов. Это и будет искомая матрица преобразования .

Пример 3

Найти матрицу линейного преобразования:

а) тождественного;

б) нулевого;

в) : R²®R², такого, что " х = [ х ₁, х ₂]ÎR² = *).

а) Пусть : L ® L такой, что " х Î L . Рассмотрим какой-либо базис Б:{ а ₁, а ₂, …, а _п } пространства L. Тогда

Отсюда получим матрицу преобразования

= Е,

т.е. матрицей тождественного преобразования является единичная матрица.

б) Рассмотрим нулевое преобразование : L ® L, такое, что х = 0. Выбрав произвольный базис Б:{ а ₁, а ₂, …, а _п } пространства L, получим

Отсюда получаем матрицу преобразования :

Следовательно, матрицей нулевого преобразования является нулевая матрица.

в) Для преобразования :R²®R², переводящего вектор х = [ х ₁, х ₂] в вектор = , найдем матрицу в каноническом базисе Б_к:{ е ₁= [1, 0], е ₂= [0, 1]}. Имеем

е ₁= [2.0, 1– 0] = [0, 1] = 0 е ₁+ 1 е ₂,

е ₂= [2.1, 0 – 1] = [2, –1] = 2 е ₁+ (–1) е ₂.

Тогда матрица этого преобразования А = .

Поскольку матрица линейного преобразования зависит от базиса, то возникает вопрос: как связаны между собой матрицы одного и того же преобразования в разных базисах? Справедлива следующая теорема.

Теорему 1

Если А – матрица линейного преобразования в базисе Б₁, а А¢ – матрица этого же преобразования в базисе Б₂, то А¢ = Т^–1.А.Т, где Т – матрица перехода от базиса Б₁ к базису Б₂.

Определение 5

Матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица S такая, что В = S^–1.А.S.

Согласно этому определению и теореме 6.2, матрицыодного и того же преобразования в разных базисах подобны.

Итак, мы установили соответствие между всеми линейными преобразованиями пространства L ^п и всеми квадратными матрицами порядка п. Это соответствие зависит от базиса, причем матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны между собой.