Два замечательных предела.

Первым замечательным пределом называют предел .

Его используют для раскрытия неопределённостей вида .

Вторым замечательным пределом называют предел

или .

Его используют для раскрытия неопределённостей вида .

Пример выполнения задания 1

а) .

В данном случае имеем неопределенность [ ]. Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной, то есть, разделим на x ².

.

б) .

При x →2 числитель и знаменатель дроби равны нулю. Неопределенность вида [ ]. Следовательно, необходимо данное выражение преобразовать.

Числитель и знаменатель данной дроби при x = 2 обращается в ноль, поэтому многочлены x ²- 5 x + 6 и x ² - 2 x делятся без остатка на бином (x – 2) (теорема Безу).

в) .

В данном случае имеем неопределенность вида [∞-∞].

Умножаем выражение, стоящее под знаком предела, на такой множитель, чтобы получить разность квадратов: . Чтобы не нарушать тождество, на сопряжённый множитель так же и разделим.

В результате получим:

.

При x → + ∞ числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие величины, имеем неопределенность вида [ ].

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на x ²:

= .

г) .

Предел основания равен 1, а показатель степени стремится к бесконечности. Имеем неопределенность вида [1^∞].

Для вычисления предела преобразуем выражение так, чтобы выделить второй замечательный предел.

.

д) .

В данном случае имеем неопределенность вида [ ].

Для вычисления предела преобразуем выражение так, чтобы выделить первый замечательный предел.

=

.

Домножаем числитель и знаменатель дроби на х ²:

Сведения из теории

Непрерывность функции

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если

1) функция определена в этой точке и ее окрестности;

2) существует ;

3) предел фнкии равен значению функции в точке а, т.е. .

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке а, а сама точка а называется точкой разрыва.

Если не существует, но существует оба односторонних предела в точке а, которые не равны друг другу, то разрыв в точке а называется разрывом первого рода или скачком.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существуют или равен бесконечности, а, следовательно, не существует и , то разрыв в точке а называется разрывом второго рода.

Если существует, но функция f (x) в точке а не определена или определена, но так, что , то разрыв в точке а называется устранимым.

Рассмотрим функцию:

Область определения ее – вся числовая ось. Разрывы возможны лишь в точках x = 1, x = 2, в которых функция изменяет аналитическое выражение. Найдем односторонние пределы в точках х = 1, х = 2.

При х = 1

; так как f (1-0) = f (1+0) = 3, то в точке х = 1 функция непрерывна.

При х = 2

; ,

так как f (2-0) ≠ f (2+0), то в точке

х = 2 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1.

Асимптоты графика функции

Под асимптотой графика функции понимают такую прямую линию, к которой неограниченно приближаются точки графика функции у = f (x) по мере их удаления в ± ∞.

Если , то х = а – уравнение вертикальной асимптоты.

Если , то у = b – уравнение горизонтальной асимптоты.

Если , то у = kx + b – уравнение наклонной асимптоты.