Построение графиков функций, содержащих модуль

По определению . Исходя из этого, получаем, что график функции состоит из двух лучей: при неотрицательных x и при отрицательных x. Построение этого графика можно проводить также, используя преобразование симметрии относительно оси ОХ.

Так как модуль любого выражения неотрицателен, то все точки графика расположены выше оси абсцисс, или на оси абсцисс. Из этого следует, что для получения графика функции все точки графика функции , лежащие выше или на оси ОХ, нужно оставить на месте, а все точки, лежащие ниже оси ОХ, отобразить симметрично относительно этой оси.

Пример 12. Постройте график функции .

Решение. Построение графика будем выполнять последовательно. Сначала строим график функции . Затем сдвигаем его на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Заметим, что при этом вершина графика окажется в точке с координатами и (рис. 35).

Пример 13. Постройте график функции .

Решение. Построение графика будем выполнять последовательно. Сначала строим график функции как параболу с вершиной в точке , и ветвями, направленными вверх. Затем точки графика, расположенные ниже оси ОХ, – это точки, у которых координата x принадлежит интервалу , – отображаем симметрично относительно этой оси (рис. 36).

Пример 14. Постройте график функции .

Решение. Функция – четная. Ее график симметричен относительно оси OY, причем при неотрицательных x он совпадает с параболой , имеющей вершину , и ветви, направленные вверх. Сначала построим часть данной параболы при неотрицательных х, а затем полученную кривую симметрично отобразим относительно оси OY (рис. 37).

Упражнения

12. Постройте графики функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

13. Постройте графики функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

14. Постройте графики функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

15. Постройте графики функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Гармонические колебания

Тригонометрические функции используются для описания различных колебательных процессов: колебания груза, подвешенного на пружине, вокруг положения равновесие, закон изменения переменного тока в цепи, колебания маятника, распространение звуковых и цветовых волн и т.д.

Формулы и , с помощью которых описываются такие процессы, называются формулами гармонических колебаний. Положительная величина А называется амплитудой колебания, положительная величина w – частотой колебания, величина j – начальной фазой колебания. Амплитуда характеризует размах колебания, частота – количество колебаний в единицу времени.

Построение графиков гармонических колебаний (гармоник) , производится в несколько этапов.

Рассмотрим алгоритм построения графика функции : а) строим график функции ; б) строим график функции , сдвигая график функции на | j | единиц по оси ОХ (если , то сдвигаем влево, если , то сдвигаем вправо); в) строим график функции , сжимая его в w раз к оси OY; г) строим график функции , растягивая его в A раз от оси ОХ.

Заметим, что функции и , описывающие гармонические колебания, являются периодическими с периодом . Они ограничены сверху и снизу, их наибольшее и наименьшее значения равны .

Пример 15. Постройте график гармонического колебания .

Решение. Для этой гармоники амплитуда , частота – , начальная фаза – .

Строим график функции ; сдвигаем на единиц по оси ОХ вправо; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3 раза (рис. 38).

Пример 16. Постройте график гармонического колебания .

Решение. Преобразуем формулу, раскрыв в аргументе косинуса скобки: . Следовательно, для этой гармоники амплитуда , частота – , начальная фаза – .

Строим график функции ; сдвигаем график на единиц по оси ОХ вправо; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3 раза (рис. 39).

Пример 17. Постройте график гармонического колебания .

Решение. Эта формула не задает гармоническое колебание, так как . Применив формулу приведения , преобразуем формулу к виду: . Следовательно, для этой гармоники амплитуда , частота – , начальная фаза – .

Строим график функции ; сдвигаем на единиц по оси ОХ влево; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3 раза (рис. 40).

Упражнения

16. Постройте графики функций:

а) ; б)

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

Литература

1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. / А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев. М.: Изд-во «Просвещение», 1980.

2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / A.Ф. Бермант. – М.: Изд-во физ-мат. литературы, 1963.

3. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа, т.1 / К.А. Бохан, И.А. Егорова, К.В. Лащенов. – М.: Изд-во «Просвещение», 1972.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – М.: Изд-во «Просвещение», 1988.

5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа / В.С. Крамор. – М.: Изд-во «Просвещение», 1990.

6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – М.: Изд-во «Наука», 1986.

7. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементарных функций. / М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во «Наука», 1980.

8. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – М.: Изд-во «Наука», 1984.

9. Туманов С.И. Элементарная алгебра. Пособие для самообразования / С.И. Туманов. – М.: Изд-во «Просвещение», 1970.

10. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы / Сост. И.Л. Никольская. – М.: Изд-во «Просвещение», 1991.

11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Изд-во «Наука», 1966.

12. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырев Г.И. Повторим математику / Э.З. Шувалова, Б.Г. Агафонов, Г.И. Богатырев. – М.: Изд-во «Высшая школа», 1969.

Оглавление

Введение...................................................................................... 3

§ 1. Множества. Операции над множествами. Числовые множества 6

§ 2. Понятие функции................................................................. 9

§ 3. Сложная функция............................................................... 12

§ 4. Обратная функция.............................................................. 13

§ 5. Свойства функций............................................................. 15

§ 6. Основные элементарные функции.................................. 19

§ 7. Линейные преобразования графиков функций.............. 34

§ 8. Линейные и квадратичные функции............................... 38

§ 9. Построение графиков........................................................ 41

дробно-линейных функций..................................................... 41

§ 10. Построение графиков функций, содержащих модуль. 43

§ 11. Гармонические колебания............................................... 46

Литература................................................................................. 50