Способи означення математичних понять

Зміст поняття розкривається за допомогою означення.

Означення - це речення, в якому розкривається зміст даного поняття, тобто формулюються його істотні ознаки.

Правильне означення поняття повинно містити мінімальну кількість ознак, тобто лише необхідні і достатні, які б виділяли його з іншого, ширшого за обсягом. Ніяких зайвих ознак, які можна довести на основі інших, в означенні не повинно бути.

Взагалі, означення — це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Розглянемо найпоширеніші способи означення понять.

Способи означення понять бувають явні і неявні.

Явний спосіб означення понять – це означення через рід і видову відмінність.

Нехай обсяг поняття А є частиною обсягу поняття В, тобто всі істотні ознаки поняття А входять до істотних ознак поняття В. Тоді поняття А називають видовим відносно поняття В, а поняття В називають родовим відносно поняття А. Явні означення мають форму рівності, співпадання двох понять: означуваного і визначального.

А = В + С,

де А - поняття, якому дається означення, В – родове поняття,

С – видова відмінність, В + С - визначальне поняття.

Означення понять за такою формою називають означенням через рід і видову відмінність.

Наприклад.

Означення паралелепіпеда. Паралелепіпедом називається призма, основа якої паралелограм. (А — паралелепіпед, В – призма, С - основа є паралелограм).

Означення квадрата. Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні. (А - квадрат, В - прямокутник, С - всі сторони рівні).

Щоб дістати означення поняття через близький рід і видову відмінність, треба виділити суттєві (видові) ознаки, які відрізняють вид, що містить означуване поняття від усіх інших видів цього роду.

Неявні способи означень понять:

1. Контекстуальні.

В контекстуальних означеннях зміст нового поняття розкривається через уривок тексту, через контекст, через аналіз конкретної ситуації, яка описує смисл поняття, яке вводиться.

Наприклад, означення рівняння в початковій школі.

2. Остенсивні.

Остенсивні означення вводяться через демонстрацію, через показ об’єктів. Наприклад, означення поняття рівності, нерівності в початковій школі.

2 • 7 > 2 + 6 9 – 6 = 6 – 3

65 - 5 < 65 + 5 24 2 = 47 + 1

24 + 6 > 24 + 3 18 – 8 = 6 + 4

Це нерівності. Це рівності.

В початковій школі частіше при введенні понять застосовуються остенсивні і контекстуальні способи означення понять.

3. Генетичні.

Генетичний спосіб означення понять це такий спосіб, коли зміст поняття розкривається за допомогою утворення тих об’єктів, які описуються означуваним поняттям.

Наприклад, означення кола: колом називається крива лінія, утворена в результаті руху на площині точки, яка зберігає однакову відстань від фіксованої точки - центра кола.

Це означення дає відомий спосіб побудови кола на площині.

Генетичні означення мають такі поняття, як «лінійний кут», «многогранний кут», «конічна поверхня» тощо.

4. Означення через узгодження.

Ці означення мають вигляд певних формул. Наприклад, = 1, 0! = 1.

 

5. Індуктивні або рекурентні означення.

Ці означення складаються з двох частин:

1) безпосередньо називаються об’єкти, які належать даному поняттю;

2) формулюються правила, як з одних таких об’єктів дістати інші об’єкти цього ж поняття. Наприклад, означення арифметичної прогресії: арифметичною прогресією називається така числова послідовність, кожен член якої починаючи з другого дорівнює попередньому доданому з одним і тим же числом.