Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.

3. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику. Иначе: Любое сечение выпуклого многогранника - выпуклый многоугольник.

ежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то он выпуклый. Доказательство (от противного): Пусть внутренние точки многогранника расположены по Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной его грани, называется диагональю многогранника. Отрезок, соединяющий две не соседние вершины многогранника, лежащие в одной его грани, называется диагональю этой грани. Угол многоугольника, являющегося гранью многогранника, называется его плоским углом (при соответствующей вершине). Грани многогранника, имеющие общее ребро, аждая сторона каждого многоугольника развертки должна склеиваться еще с какой-либо стороной одного многоугольника; аждая сторона каждого многоугольника развертки должна склеиваться еще с какой-либо стороной одного многоугольника ;, при которых из развертки можно склеить многогранник и а F называется связной, если любые две ее точки можно соединить линией, целиком лежащей в этой фигуре F. При этом линия, соединяющая точки, может оказаться довольно сложной конфигурации.

Определение 3. Точка М фигуры F является внутренней точкой этой фигуры, если найдется шар с центром в точке М, целиком содержащийся в фигуре F.

Определение 4. Точка М пространства называется граничной точкой фигуры F, если любой шар с центром в точке М содержит как точки фигуры F, так и точки, не принадлежащие этой фигуре. Множество всех граничных точек фигуры F называется границей этой фигуры.

Определение 5. Фигура F называется ограниченной, если найдется шар, целиком содержащий эту фигуру.

Определение 6. Связная фигура, все точки которой внутренние, называется пространственной областью.

Определение 7. Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется геометрическим телом. Границу геометрического тела называют его поверхностью.

Определение. Геометрическое тело - это связная замкнутая фигура, обладающая следующими свойствами:

У нее есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить линией, которая целиком состоит из внутренних точек;

Фигура содержит свою границу, и эта граница совпадает с границей множества всех внутренних точек фигуры.ранственной области и ее границы называется геометрическим телом. Границу геометрического тела называют его поверхностью.ся граничной точкой фигуры F, если любой шар с центром в точке М содержит как точки фигуры F, так и точки, не принадлежащие этой фигуре. Множество всех граничных точек фигуры F называется границей этой фигуры.любые две ее точки можно соединить линией, целиком лежащей в этой фигуре F

n-угольная призма имеет: n + 2 грани, 3n ребра, 2n вершины.

Призмой называется многогранник, у которого две грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответствующие стороны параллельны, а остальные грани – параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.

Эти остальные грани называются боковыми гранями призмы, а их стороны, не лежащие на основаниях призмы, - боковыми ребрами призмы.

n-угольная призма имеет: n + 2 грани, 3n ребра, 2n вершины.

Высотойпризмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани. У n-угольной призмы n(n – 3) диагонали.

 

 

Свойства призмы:

1. Отрезки, соединяющие соответственные точки оснований призмы, равны и параллельны друг другу. Таким образом, призма является цилиндром, в основании которого лежит многоугольник.

2. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.

3. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

 

2. Прямая призма.

Прямой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания.

Свойства прямой призмы:

1. Все боковые грани прямой призмы прямоугольники.

2. Все двугранные углы при ребрах основания прямой призмы прямые.

3. Линейные углы двугранных углов при боковых ребрах прямой призмы равны соответствующим углам основания.

4. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Правильной называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

 

3. Параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Свойства параллелепипеда:

1. Все грани параллелепипеда – параллелограммы.

2. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

3. У параллелепипеда любую пару параллельных граней можно принять за основания. В зависимости от выбора оснований у параллелепипеда можно рассмотреть три различных высоты.

4. Диагонали параллелепипедапересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

5. Сумма квадратов диагоналей параллелепипедаравна сумме квадратов всех его ребер.

Прямым называется параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Прямоугольным называется параллелепипед, в основании которого – прямоугольник. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

4. Изображение различных фигур в параллельной проекции.

За изображение фигуры в пространстве принимается фигура, подобная какой-либо ее параллельной проекции. Очевидно, что полученная фигура обладает теми же свойствами, что указаны в теореме. Выполняя чертежи, нужно следить, чтобы эти свойства выполнялись. Эти свойства называются аффинными свойствами фигур.

1. Треугольник. Каждый треугольник можно спроектировать так, что получится треугольник, подобный данному. Треугольник проектируется в треугольник или отрезок.

2. Параллелограмм. Изображением параллелограмма может служить любой параллелограмм или отрезок.

Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны плоскости основания. В основаниях призмы равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые грани - параллелограммы.

Высотойпризмы называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, а также длина этого перпендикуляра. Фактически высота призмы - это расстояние между плоскостями ее оснований. Высота наклонной призмы меньше длины бокового ребра.

Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани. У n-угольной призмы n(n – 3) диагонали. Плоскость, проходящая через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы этой плоскостью - диагональным сечением.

Построим сечение призмы, перпендикулярное боковому ребру.

KM^AA₁; KF^AA₁; KM∩KF Þ KMNQF ^AA₁. Сечение KMNQF - перпендикулярное сечение призмы.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней призмы.

Теорема. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призматической поверхности на боковое ребро.

1. Параллелепипед и его элементы.

Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом.

У параллелепипеда 6 граней и 4 диагонали. Шесть граней параллелепипеда - параллелограммы. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими (противоположными). Параллельные ребра параллелепипеда, не лежащие в одной грани, называются его противолежащими (противоположными) ребрами.

Свойства параллелепипеда:

1. Все грани параллелепипеда – параллелограммы.

2. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

3. У параллелепипеда любую пару параллельных граней можно принять за основания. В зависимости от выбора оснований у параллелепипеда можно рассмотреть три различных высоты.

4. Диагонали параллелепипедапересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

5. Сумма квадратов диагоналей параллелепипедаравна сумме квадратов всех его ребер.

2. Виды параллелепипедов.

Прямым называется параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Если боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания, то параллелепипед называется наклонным.

Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.

Прямоугольным называется параллелепипед, в основании которого – прямоугольник.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. Все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

2. Любые две грани параллелепипеда либо параллельны, либо перпендикулярны.

3. Ребра, сходящиеся в одной его вершине,попарно взаимно перпендикулярны.

4.Каждое его ребро перпендикулярно тем граням, которые содержат лишь концы этого ребра.

Длины трех реберпрямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной его вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

3. Пространственная теорема Пифагора.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.

За изображение фигуры в пространстве принимается фигура, подобная какой-либо ее параллельной проекции. Очевидно, что полученная фигура обладает теми же свойствами, что указаны в теореме. Выполняя чертежи, нужно следить, чтобы эти свойства выполнялись. Эти свойства называются аффинными свойствами фигур.