Свойства выпуклых многогранников.

Геометрическое тело.

Одним из основных объектов изучения стереометрии являются геометрические тела. У любого геометрического тела есть внутренние точки, которые отделены от всех остальных точек пространства границей этого тела. Любые две внутренние точки геометрического тела могут быть соединены линией, состоящей только из внутренних точек этого тела.

Определение 1. Фигура F называется выпуклой, если отрезок АВ с концами в любых двух точках А и В фигуры F целиком содержится внутри этой фигуры.

Определение 2. Фигура F называется связной, если любые две ее точки можно соединить линией, целиком лежащей в этой фигуре F. При этом линия, соединяющая точки, может оказаться довольно сложной конфигурации.

Определение 3. Точка М фигуры F является внутренней точкой этой фигуры, если найдется шар с центром в точке М, целиком содержащийся в фигуре F.

Определение 4. Точка М пространства называется граничной точкой фигуры F, если любой шар с центром в точке М содержит как точки фигуры F, так и точки, не принадлежащие этой фигуре. Множество всех граничных точек фигуры F называется границей этой фигуры.

Определение 5. Фигура F называется ограниченной, если найдется шар, целиком содержащий эту фигуру.

Определение 6. Связная фигура, все точки которой внутренние, называется пространственной областью.

Определение 7. Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется геометрическим телом. Границу геометрического тела называют его поверхностью.

Определение. Геометрическое тело - это связная замкнутая фигура, обладающая следующими свойствами:

У нее есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить линией, которая целиком состоит из внутренних точек;

Фигура содержит свою границу, и эта граница совпадает с границей множества всех внутренних точек фигуры.

Многогранник.

Определение 1. Многогранник - геометрическое тело, граница (поверхность) которого есть объединение конечного числа многоугольников.

Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной его грани, называется диагональю многогранника. Отрезок, соединяющий две не соседние вершины многогранника, лежащие в одной его грани, называется диагональю этой грани. Угол многоугольника, являющегося гранью многогранника, называется его плоским углом (при соответствующей вершине). Грани многогранника, имеющие общее ребро, называются соседними гранями. Двугранный угол, образованный плоскостями соседних граней многогранника и содержащий данный многогранник, называется двугранным углом многогранника при данном его ребре.

У многогранника есть определенное число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г). Число В - Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника.

Теорема Декарта - Эйлера для выпуклого многогранника. Для любого выпуклого многогранника сумма числа вершин В и числа граней Г на две единицы больше числа его ребер Р, т. е. справедлива формула В - Р + Г =2.

Определение 2. Развертка многогранника - замкнутой многогранной поверхности - представляет собой объединение конечного числа многоугольников, соответственно равных граням этого многогранника, вместе с указанием того, какие стороны и какие вершины многоугольников изображают одни и те же ребра и вершины данного многогранника.

Условия существования развертки:

1) условие замкнутости: каждая сторона каждого многоугольника развертки должна склеиваться еще с какой-либо стороной одного многоугольника;

2) условие Эйлера: если развертка состоит из Г граней, В вершин и Р ребер, то В - Р + Г =2;

3) условие выпуклости: сумма внутренних углов многоугольников (граней) при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360°.

Свойства выпуклых многогранников.

1. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Обратно (признак выпуклого многогранника): Если многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то он выпуклый.