б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую

Тета. Я думаю, что Гамма прав относительно необходимости проведения раздельной линии между рациональным и иррациональным расширением понятий. Действительно, расширение понятий зашло слишком далеко и из скромной рациональной деятельности превратилось в радикальную и иррациональную.

Первоначально критика сосредоточивалась исключительно на не большом расширении одного частного понятия. Оно должно было быть небольшим, чтобы мы не могли его заметить; если бы его действительная – расширяющая – природа была увидена, то оно могло не быть принятым как законная критика. Оно сосредоточивается на одном частном понятии, как в случае наших несофистических универсальных предложений «Все А суть В». В таком случае критик хочет найти слегка расширенное А (в нашем случае многогранник), которое не будет В (в нашем случае эйлеров).

Но Каппа заострил это в двух направлениях. Во-первых чтобы подвергнуть расширяющей понятие критике более чем одну составную часть предложения, находящегося под ударом. Во-вторых, превратить расширение понятий из тайной и даже скромной деятельности в открытое деформирование понятия вроде превращения «все» в «не». Здесь в качестве опровержения принимается любой имеющий смысл перевод терминов атакуемого предложения, который делает теорему ложной. Тогда я сказал бы, что если предложение не может быть опровергнуто в отношении своих составных частей: a, b, …, то оно будет логически истинным для этих составных частей[182]. Такое предложение представляет конечный результат длинного критико-спекулятивного процесса, в течение которого смысловой груз некоторых терминов полностью перенесен на остальные термины и на форму теоремы.

Теперь все, что говорит Каппа, сводится к тому, что не существует предложений, логически истинных для всех их составных частей. Но могут быть предложения, логически истинные по отношению к некоторым составным частям, так что поток опровержений может быть открытым снова, если будут добавлены новые составные части, могущие быть расширенными. Если мы доведем дело до конца, то кончим иррационализмом, – но мы в этом не нуждаемся. Теперь, где же должны мы провести граничную линию? Мы можем допустить расширение понятий только для особо выделенной подгруппы составных частей, которые станут первыми мишенями для критики. Логическая истинность не будет зависеть от их значения.

Сигма. Таким образом, в конце концов мы приняли пункты Каппы: мы сделали истину не зависящей от значения по крайней мере некоторых из терминов!

Тета. Это верно. Но если мы хотим разбить скептицизм Каппы и избегнуть его порочных бесконечностей, то мы непременно должны остановить расширение понятий в той точке, где оно перестает быть орудием роста и становится орудием разрушения: может быть, нам придется определить, какими будут термины, значение которых может быть расширено только за счет уничтожения основных принципов рациональности[183].

Каппа. Можем ли мы расширять понятия в вашей теории критической рациональности? Или будет ли это очевидно истинным, формулированным в не допускающих расширения точных терминах, которые не нуждаются в определении? Не кончится ли ваша теория критицизма «обращением к суду»? Можно ли критиковать все, кроме вашей теории критицизма, вашей «метатеории»[184]?

Омега (к Эпсилону). Мне нравится этот отход от истины к рациональности. Чьей рациональности? Я чувствую конвенционалистскую инфильтрацию.

Бета. О чем вы говорите? Я понимаю «мягкий образец» Теты расширения понятий. Я также понимаю, что расширение понятий, может атаковать более чем один термин: мы видели это, когда Каппа расширял «расширение» или когда Гамма расширял «все»…

Сигма. Но Гамма, конечно, расширял «односвязные»!

Бета. Ну нет. «Односвязные» – это сокращение – расширил только термин «все», который попался среди определяющих слов[185].

Тета. Вернемся к делу. Вы чувствуете себя несчастными из-за «открытого» радикального расширения понятий?

Бета. Да. Никто не захочет принять эту последнюю выпущенную марку за настоящее опровержение! Я хорошо вижу, что мягкая расширяющая понятия тенденция эвристического критицизма, раскрытая Ни, представляет наиболее важный двигатель математического роста. Но математики никогда не примут эту последнюю дикорастущую форму опровержения!

Учитель. Вы неправы, Бета. Они приняли ее и их принятие было поворотным пунктом в истории математики. Эта революция в математическом критицизме изменила понятие о математической истине, изменила стандарты математического доказательства, изменила характер математического роста[186]. Но теперь закроем на данный момент нашу дискуссию; об этой новой стадии мы поговорим в другое время.

Сигма. Но ведь ничего не установлено. Мы не можем остановиться теперь.

Учитель. Сочувствую вам. Эта последняя стадия даст важные источники пищи для нашей дискуссии[187]. Но научное исследование «начинается и кончается проблемами»[188]. (Покидает классную комнату).

Бета. Но вначале у меня не было проблем! А теперь у меня нет ничего, кроме проблем!

[1] См. Чёрч (Church A. (1956). Introduction to mathematical logic. I. Princeton, 1, стр. 76 – 77.) Также у Пеано. (Peano C. (1894). Notations de logique mathematique. Turin, стр. 49) и у Уайтхеда – Рассела (Whitehead A.N., Russell B. (1910 – 1913). Principia mathematica, vol. I, 1910, vol. II; 1912; vol. III, 1913. Cambridge, 1, стр. 12.) Это интегральная часть евклидовой программы, формулированной Паскалем (Pascal B. (1657 – 1658). Les Réflexions sur la Géométrie en général (De 1'esprit géométrique et de 1'art de persuader); ср. Лакатос (Lakatos I. (1962). Infinite Regress and the foundations of mathematics, Aristotelian society supplementary volume. 36, стр. 158).

[2] Ситуационная логика – принадлежащий, по-видимому. Попперу малораспространенный термин, обозначающий логику продуктивную, логику математического творчества.– Прим. пер.

[3] Carnap R. (1937). The logical syntax of language. N.Y. London (просмотренный перевод «Logische Syntax der Sprache». Vienna, 1934).

[4] Б.Рассел (Russel B. (1901). Recent work in the philosophy of mathematics. – Int. Monthly, 3). Эта работа была перепечатана как 5‑я глава труда Рассела (Russel B. (1918). Mysticism and logic. London) под заглавием «Математика и метафизика». В издании «Пингвина» (1953) цитату можно найти на стр. 74. В предисловии к труду (Russel B. (1918). Mysticism and logic. London) Рассел говорит об этой работе: «Тон этого очерка отчасти объясняется тем, что издатель просил меня сделать его “сколь возможно романтическим”».

[5] Согласно Тюркетту (Turquette), положения Геделя не имеют смысла (Turquette A. (1950). Gцdel and the synthetic a priori. – J.Philos. стр. 129) Тюркетт спорит с Копи (Copi), который считает, что, поскольку эти положения являются «априорными истинами», но не аналитическими, то они опровергают аналитическую теорию априорности (Copi I.M. (1949). Modern logic and the synthetic a priori. – J.Philos., 46, 243 – 245; Copi I.M. (1950). Gödel and the synthetic a priori: a rejoinder. – J.Philos., 47, 633 – 636). Никто из них не замечает, что особый статус положений Геделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформальной содержательной математики и что в действительности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Они также не замечают, что теории неформальной математики определенно являются догадками, которые с точки зрения догматиста вряд ли возможно разделить на догадки a priori и a posteriori.

[6] Polya (Polya G. (1945). How to solve it. Princeton) в особенности стр. 102 и также Polya G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, I – II. London.; Polya G. (1962). Mathematical discovery, I.N.Y.); Bernays (Bernays P. (1947). Review of Polya’s «How to solve it». – Dialectica, 1, 178 – 188), в особенности стр. 187.

[7] Popper K.R. (1934). Logik der Forschung. Vienna (Английский перевод: The logic of scientific discovery. London, 1958); Popper K.B. (1945). The open society and its enemies. London, в особенности стр. 90 в четвертом издании (1962, стр. 97), а также Popper K.B. (1957). The poverty of Historicism. London, стр. 147 и сл.

[8] Это можно иллюстрировать работами Тарского (Tarski A. (1930). Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften, I. – Monatshefte Math. und Physik, 37, 361 – 404. На английском языке опубликовано в Tarski: Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956, 60 – 109.; Tarski A. (1935). On the concept of logical consequence. Опубликовано в Tarski: Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956, 409 – 420. Доклад был прочитан в 1935). В первой статье Тарский пользуется термином «дедуктивные науки» явно как стенографическим выражением для «формализованных дедуктивных наук». Он говорит: «Формализованные дедуктивные дисциплины составляют поле исследований метаматематики примерно в том же смысле, как пространственные сущности составляют поле исследований для геометрии». Этой разумной формулировке придается занятный империалистический уклон во второй статье. «Дедуктивные дисциплины составляют предмет (subjectmatter) методологии дедуктивных наук примерно в таком же смысле, в каком пространственные сущности составляют предмет геометрии, а животные – зоологии. Естественно, не все дедуктивные дисциплины представляются в форме, подходящей для объектов научного исследования. Неподходящими будут, например, такие, которые не опираются на определенный логический базис, не имеют точных правил вывода (inference) и в которых теоремы формулируются в обычных двусмысленных и неточных терминах разговорного языка – одним словом, те, которые не формализованы. Метаматематические исследования, таким образом, сводятся к рассмотрению лишь формализованных дедуктивных дисциплин». Нововведением является то, что в первой формулировке устанавливается, что предметом метаматематики являются формализованные дедуктивные дисциплины, в то время как вторая говорит, что предмет метаматематики сводится к формализованным дедуктивным дисциплинам только по той причине, что неформализованные дедуктивные дисциплины вообще не являются подходящим предметом научного исследования. Это предполагает, что предыстория формализованной дисциплины не может быть предметом научного исследования, в то время как, наоборот, предыстория зоологического вида вполне может быть предметом научной теории эволюции. Никто не будет сомневаться, что к некоторым проблемам, касающимся математической теории, можно подойти только после того, как они будут формализованы, совершенно так же, как некоторые проблемы относительно человеческих существ (например, касающиеся их анатомии) могут быть изучаемы только после их смерти. Но на этом основании не многие будут утверждать, что человеческие существа будут «пригодны для научного исследования», только когда они «представляются в мертвом виде», и что, следовательно, биологические исследования сводятся к изучению мертвых человеческих существ, хотя я не был бы изумлен, если бы какой-нибудь энтузиаст – ученик Везалия в славные дни ранней анатомии, когда появились новые мощные метода диссекции, отождествил биологию с анализом мертвых тел.

В предисловии к работе (Tarski A. (1941). Introduction to Logic and to the methodology of deductive sciences. N.Y. Second ed., 1946. Это частично измененный и расширенный перевод «On mathematical logic and deductive method» (польский оригинал опубликован в 1936, немецкий перевод в 1937)) Тарский подчеркивает свое отрицание возможности какой-нибудь методологии, отличной от формальных систем: «Курс методологии эмпирических наук… должен главным образом состоять из оценок и критик скромных попыток и безуспешных усилий». Причина заключается в том что, поскольку Тарский определяет научную теорию «как систему подобранных утверждений, расположенных в соответствии с некоторыми правилами» (там же), то эмпирические науки не являются науками.

[9] Одно из наиболее опасных заблуждений сторонников формалистской философии заключается в том, что (1) они стараются установить что-нибудь (вполне правильно) относительно формальных систем; (2) затем сказать, что это применимо и к «математике» – это будет опять правильно, если мы примем отождествление математики с формальными системами; (3) наконец, со скрытым изменением смысла, использовать термин «математика» в обычном смысле. Так, Куайн говорит (Quine W.V.O. (1951). Mathematical logic, пересмотренное издание. Cambridge, Mass. (1‑е издание 1940), стр. 87), что «это отражает характерную для математики ситуацию; математик наталкивается па свое доказательство при помощи неуправляемой интуиции и “счастья”, а затем другие математики могут проверить его “доказательство”». Но проверка обычного доказательства часто представляет очень деликатное предприятие, и, чтобы напасть на «ошибку», требуется столько же интуиции и счастья, сколько и для того, чтобы- натолкнуться на доказательство; открытие «ошибок» в неформальных доказательствах иногда может потребовать десятилетий, если не столетий.

[10] Пуанкаре и Полья предлагают «основной биологический закон» Геккеля относительно онтогенеза, повторяющего филогенез, применять также и к умственному развитию, в частности, к математическому умственному развитию [ Poincarй H. (1908). Science et Methode. Paris. Авторизованный английский перевод G.B.Halsted: foundations of science, 359 – 546. Lancaster, Pa, 1913, стр. 135 и Polya G. (1962). The teaching of mathematics and the biogenetic law. «The scientist speculates» (ed. L.J.Good). London, 352 – 356]. Цитируем Пуанкаре: «Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного повторяет всю историю его предков в течение геологического времени. По-видимому, то же происходит и в развитии ума… По этой причине история науки должна быть нашим первым руководителем».

[11] По поводу дискуссии относительно роли математики в догматико-скептическом споре см. мою работу Lakatos I. (1962). Infinite Regress and the foundations of mathematics, Aristotelian society supplementary volume. 36, 155 – 184.

[12] Впервые замечено Эйлером (Euler L. (1750). Elementa Doctrinae Solidorum. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (1752 – 1753), 1758, 4,109 – 140. (Прочитано в ноябре 1750 г.)). Первоначальной его задачей было дать классификацию многогранников. На трудность этого было указано в заключении издателя: «В то время как в плоской геометрии многоугольники (figurae rectilineae) легко могут быть классифицированы по числу сторон, которое, конечно, всегда будет равно числу углов, в стереометрии классификация многогранников (corpora hedris plants inclusa) представляет собой значительно более трудную задачу, так как только одно число граней недостаточно для этой цели». Ключом к полученному Эйлером результату было как раз введение понятий вершины и ребра; он первый указал на то, что кроме числа граней число точек и линий на поверхности многогранника определяет его (топологический) характер. Интересно отметить, что, с одной стороны, он очень хотел подчеркнуть новизну его концептуальной основы и что ему пришлось изобрести термин «acies» (ребро) вместо старого «latus» (сторона), так как «latus» было понятием, относящимся к многоугольникам, тогда как ему нужно было ввести понятие, относящееся к многогранникам; с другой стороны, он все же удержал термин «angulus solidus» (телесный угол) для -подобных точке, вершин. С недавнего времени стали считать, что приоритет в этом деле принадлежит Декарту. Основанием этого притязания является рукопись Декарта (Descartes R. (ок. 1639). De solidorum elementis, впервые опубликовано Foucher de Careil: Oeuvres inйdites de Descartes, II. Paris, 1860, 214 – 234. Значительно исправленный текст, см. Adam – Tannйry. Oeuvres de Descartes, vol. X. Paris 1908, 257 – 278), скопированная с оригинала Лейбницем в Париже в 1675 – 1676 гг. и снова открытая и опубликованная Foucher de Careil в 1860 г. Однако приоритет Декарту отдать нельзя. Верно, что Декарт устанавливает, что число плоских углов равно, где f обозначает у него число граней, а a – число телесных углов. Также верно то, что он устанавливает, что плоских углов вдвое больше, чем ребер (latera). Простое соединение двух этих положений, конечно, даст формулу Эйлера. Но Декарт не видел надобности сделать это, так как он все же мыслил в терминах углов (плоских и телесных) и граней и не сделал сознательного революционного изменения, а именно: не ввел понятия нульмерных вершин, одномерных ребер и двумерных граней в качестве необходимого и достаточного основания для полной топологической характеристики многогранников.

[13] Эйлер проверил свою догадку достаточно исчерпывающим образом. Он испытал ее на призмах, пирамидах и т.д. Он мог бы добавить, что существование только пяти правильных тел тоже является следствием его догадки. Другое подозреваемое следствие представляет недоказанное до сих пор предложение, что четырех цветов вполне достаточно для раскрашивания карты.

Фазы догадки и испытания в случае разобраны Полья (Polya G. (1954). Mathematics and plausible reasoning. London, т. 1, первые пять отделов третьей главы, стр. 35 – 41). Полья остановился здесь и не разобрал фазы доказательства, хотя, конечно, он указал на необходимость для эвристики «задач для доказательства». Наше рассуждение начинается там, где Polya останавливается.

[14] Так думал Эйлер в 1750 г. (Euler L. (1750). Elementa Doctrinae Solidorum. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (1752 – 1753), 1758 (Прочитано в ноябре 1750 г.) стр. 119 и 124). Но позднее (Euler L. (1751). Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (1752 – 1753), 1758, 4, 140 – 160. (Прочитано в сентябре 1751 г.)) он предложил доказательство.

[15] Идея этого доказательства восходит к Коши (Cauchy A.L. (1811). Becherches sur les polyèdres. – J. de l’Ecole Polytechnique, 1813, 9, 68 – 86. (Прочитано в февр. 1811 г.)).

[16] Мнение Дельты, что это доказательство установило «теорему», вне всякого сомнения, разделялось многими математиками XIX в., например Crelle (Crelle A.L. (1826 – 27). Lehrbuch der Elemente der Geometric. Berlin, т. II, стр. 668 – 671), Маттисен (Matthiessen L. (1863). Ueber die scheinbaren Einschränkungen des Euler’schen Satzes von den Polyedern. – Z. Math. und Physik, стр. 449), Жонкьер (Jonquieres E. de (1890). Note sur un point fondamental de la théorie des polyèdres. – Comptes rendus des séances de L’Academic des Sciences, 170, 110 – 115; Jonquieres E. (1890). Note sur le théorème d’Euler dans la theorie des polyèdres. – Comptes rendus des seances de l’Acadomie des Sciences, 110, 169 – 173). Стоит привести характерный пассаж: «После доказательства Коши стало абсолютно несомненным, что изящное соотношение применимо к многогранникам любого вида, как и установил Эйлер в 1752 г. В 1811 г. вся нерешительность должна была исчезнуть» [ Jonquieres E. de (1890). Note sur un point fondamental de la théorie des polyèdres. – Comptes rendus des séances de L’Academic des Sciences, 170, 111 – 112].

[17] Этот класс, по-видимому, очень передовой. Для Коши, Пуансо и многих других прекрасных математиков XIX в. эти вопросы не существовали.

[18] Мысленный эксперимент (deiknymi) был наиболее древним образом математического доказательства. Он преобладал в доевклидовой греческой математике [см. Шабо (Szabo A. (1958). Deiknymi als mathematischer Terminus fьr «Beweisen». – Maia, N.S., 10, 1 – 26)].

То, что в эвристическом порядке догадки (или теоремы) предшествуют доказательствам, было общим местом у древних математиков. Это вытекает из эвристического предшествования «анализа» «синтезу» [см. прекрасный разбор у Робинсона (Robinson R. (1936). Analysis in Greek Geometry. – Mind, 45, 464 – 73)]. По Проклу – «необходимо сначала знать, что ищешь» [Хизс (Heath Th.L. (1925). The thirteen books of Euclid’s elements, второе издание. (Первое издание появилось в 1908 г.), т. 1, стр. 129)]. «Они говорили, что теорема представляет то, что предложено с намерением доказать это предложение», – говорит Папп (Heath Th.L. (1925). The thirteen books of Euclid’s elements, второе издание. (Первое издание появилось в 1908 г.), т. 1, 10). Греки не думали много о предложениях, на которые они случайно наталкивались по ходу дедукции, если только предварительно о них не догадывались. Они называли поризмами – следствиями – те побочные результаты, которые получались из доказательства теоремы или решения задачи, результаты которых они непосредственно не искали; эти поризмы появлялись в таком виде случайно, без каких-нибудь добавочных трудов, и представляли, как говорит Прокл, нечто вроде плода, сбитого ветром (ermaion) или премии (kerdos) (Heath Th.L. (1925). The thirteen books of Euclid’s elements, второе издание. (Первое издание появилось в 1908 г.), т. 1, стр. 278). В издательском послесловии к Эйлеру (Euler L. (1753). Specimen de usu observationum in mathesi pura. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, (1756 – 57), 1761, 6, 185 – 230) мы читаем, что арифметические теоремы «бывали открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгим доказательством». Как Эйлер, так и издатель для этого процесса открытия употребляют новейший термин «индукция» вместо древнего «analysis». Эвристическое предшествование результата перед аргументацией или теоремы перед доказательством глубоко укоренилось в математическом фольклоре. Приведем несколько вариаций на знакомую тему: говорят, что Хризипп написал Клеанфу: «Пришли только мне теоремы и тогда я найду доказательства» [ Diogenes Laertius (ок. 200). Жизнеописания греческих философов, VII, 179]» Говорят, что Гаусс жаловался: «Я уже давно имел мои результаты, но я еще не знаю, как мне к ним прийти» [см.: Arber A. (1954). The mind and the eye. Cambridge, стр. 77)] и Риман: «Если бы я только имел теоремы! Тогда я смог бы достаточно легко найти доказательства» [См.: Hцlder O. (1924). Die mathematische Methode. Berlin, стр. 487]. Полья подчеркивает: «Вы должны угадать математическую теорему, прежде чем вы ее докажете» [ Polya G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, London, т. 1, стр. VI].

Термин «квази-эксперимент» взят из вышеупомянутого издательского послесловия к Эйлеру (Euler L. (1753). Specimen de usu observationum in mathesi pura. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, (1756 – 57), 1761, 6, 185 – 230). Издатель пишет: «Поскольку мы должны отнести числа к области одного лишь чистого интеллекта, то нам трудно понять, каким образом наблюдения и квази-эксперименты могут быть полезными при исследовании природы чисел. Как я покажу здесь при помощи очень хороших доводов, известные в настоящее время свойства чисел действительно были большей частью открыты наблюдением…». Полья по ошибке приписывает эту цитату самому Эйлеру (Polya G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, London. Т. 1, стр. 3)

[19] Люильо (Lhuilier), исправляя подобным образом доказательство Эйлера, сказал, что он делает только «небольшое замечание» (Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mémoire sur polyèdrométrie: contenant une démonstration directe du Théorème d’Euler sur les polyèdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., стр. 179). Однако сам Эйлер, заметив неувязку, отказался от доказательства, а этого «небольшого замечания» не сделал.

[20] Коши думал, что для нахождения на каждой стадии треугольника, который может быть вынут с устранением или двух ребер с вершиной, или лишь одного ребра, можно дать очень простую инструкцию для любого многогранника (Cauchy A.L. (1811). Becherches sur les polyèdres. – J. de l’Ecole Polytechnique, 1813, стр. 79. (Прочитано в февр. 1811 г.)). Это, конечно, связано с неспособностью вообразить многогранник, который не был бы гомеоморфным со сферой.

[21] Этот контрапример 1 был впервые замечен Люилье (Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mémoire sur polyèdrométrie: contenant une démonstration directe du Théorème d’Euler sur les polyèdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., стр. 194). Но издатель Жергонн (Gergonne) добавил (Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mémoire sur polyèdrométrie: contenant une démonstration directe du Théorème d’Euler sur les polyèdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., стр. 186), что он и сам заметил это задолго до статьи Люилье. Этого не сделал Коши, опубликовавший свое доказательство за год до этого. Этот контрапример был через двадцать лет снова открыт Гесселем (Hessel F.Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler’schen Lehrsatze von Polyedern. – J. die reine und angew. Math., стр. 16). И Люилье и Гессель пришли к своему открытию, рассматривая минералогическую коллекцию, в которой они заметили несколько двойных кристаллов, где внутренний кристалл был непрозрачным, а внешний пропускал свет. Люилье признал, что стимул к своему открытию он получил от коллекции кристаллов своего друга профессора Пикте (Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mйmoire sur polyиdromйtrie: contenant une dйmonstration directe du Thйorиme d’Euler sur les polyиdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce thйorиme est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., стр. 188), Гессель упоминает о кубах сернистого свинца, заключенных в прозрачных кристаллах полевого шпата (Hessel F.Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler’schen Lehrsatze von Polyedern. – J. die reine und angew. Math., стр. 16).

[22] Определение 1 встречается впервые в XVIII столетии, например, «Название многогранного тела или просто многогранника дают любому телу, ограниченному плоскостями пли плоскими гранями» (Legendre (1794). Elйments de gйometrie. Paris, стр. 160. Нумерация страниц по изданию 1809 г.). Подобное же определение дано Эйлером (Euler L. (1750). Elementa Doctrinae Solidorum. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (1752 – 1753), 1758, 4,109 – 140. (Прочитано в ноябре 1750 г.)). Евклид, определяя куб, октаэдр, пирамиду, призму, не дает определения общего термина «многогранник», но иногда пользуется им (например, книга XII, вторая задача, предложение 17).

[23] Определение 2 мы находим неявно в одной из работ Жонкьера, прочитанных во французской Академии против тех, кто хотел отвергнуть теорему Эйлера. Эти работы представляют целое сокровище техники удаления монстров. Он мечет громы против чудовищной пары всаженных кубов Люилье: «Эта система представляет не многогранник, но пару многогранников, каждый из которых не связан с другим… Многогранник, по крайней мере с классической точки зрения, заслуживает это имя прежде всего только тогда, когда точка может непрерывно двигаться по всей его поверхности; в данном случае это не так… Это первое исключение Люилье может быть поэтому устранено» (Jonquieres E. (1890). Note sur le théorème d’Euler dans la theorie des polyèdres. – Comptes rendus des seances de l’Acadomie des Sciences, стр. 170). Это определение, противопоставленное Определению 1, хорошо подойдет аналитическим топологам, которые совершенно не интересуются многогранниками как таковыми, но только их поверхностями, как горничная во время уборки.

[24] Контрапримеры 2, a и 2, b не были замечены Люилье и впервые открыты только Гесселем (Hessel F.Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler’schen Lehrsatze von Polyedern. – J. die reine und angew. Math., стр. 13).

[25] Определение 3 для устранения наших близнецов-тетраэдров впервые встречается у Мебиуса (Mцbius A.F. (1865). Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders. – Ber. Königl. Sächs. Ges. d. Wiss., Math.-phys. Klasse, стр. 32). Это путаное определение воспроизводится в некоторых новейших учебниках обычным авторитарным путем: «бери без разговоров»; история этого принципа, устраняющего монстры, которая по крайней мере уяснила бы его смысл, еще не рассказана [см.: Hilbert D., Cohn‑Vossen S. (1956). Geometry and imagination. N.Y. Оригинальное немецкое издание: Anschauliche Geometrie. Berlin, 1932, стр. 200].

[26] Определение И, согласно которому эйлеровость была бы определяющей характеристикой многогранника, в действительности было предложено Балцером: «Обычные многогранники иногда (по Гесселю) называются эйлеровыми многогранниками. Было бы лучше найти специальное название для ненастоящих (uneigentliche) многогранников» (Baltzer R. (1860 – 62). Die Elemente der Mathematik. Leipzig, т. II, стр. 207). Упоминание о Гесселе неправильно: Гессель использовал термин «эйлеров» просто как сокращенное название многогранников, для которых соотношение Эйлера справедливо в противоположность неэйлеровым (Hessel F.Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler’schen Lehrsatze von Polyedern. – J. die reine und angew. Math., стр. 29). Относительно Определения И см. также цитату из Шлефли в подстрочном примечании 27.

[27] «Морской еж» был впервые разобран Кеплером в его космологической теории (Kepler I. (1619). Harmonices mundi. Lincii, кн. II, 19 и 26 и кн. V, гл. 1, 3, 9, 47). Название «морского ежа» принадлежит Кеплеру (cui nomen Echino feci). Рис. 7 скопирован с его книги (стр. 52), которая содержит еще и другую картинку на стр. 182. Пуансо независимо открыл его второй раз; именно он указал, что формула Эйлера но приложима, к нему (Poinsot L. (1809). Mémoire sur les polygones et les polyèdres. – «J. de l’Ecole Polytèchnique», 1810, стр. 48 (Прочитано в июле 1809 г.)). Стандартный термин нашего времени «малый звездчатый многогранник» принадлежит Кэйли (Cayley A. (1859). On Poinsot’s four new regular solids. – The London, Edinburgh and Dublin Philos. Mag. and J.Sci., 4^th ser., стр. 125). Шлефли вообще допускал звездчатые многогранники, но тем не менее отбросил наш малый звездчатый многогранник как монстр. По его мнению, – «это не будет настоящим многогранником, так как он не удовлетворяет условию» (Schlafli L. (1852). Theorie der vielfachen Kontinuität. Посмертно опубликовано в «Neue Denkschriften der allgemeinen Schwei-zerischen Gesellschaft fur die gesamten, Naturwissenschaften», Zürich, 1901, § 34).

[28] Диспут о том, надо ли определять многоугольник так, чтобы включить и звездчатые многоугольники (Определение 4 или Определение 4'), является очень старым. Выставленный в нашем диалоге аргумент – что звездчатые многоугольники могут существовать как обыкновенные многоугольники в пространстве высших измерений – является новейшим топологическим аргументом, но можно выдвинуть и много других. Так, Пуансо, защищая свои звездчатые многогранники, в пользу допущения звездчатых многоугольников приводил аргументы, заимствованные из аналитической геометрии: «все эти различия (между обыкновенными и звездчатыми многоугольниками) являются более кажущимися, чем действительными, и полностью исчезают в аналитическом изложении, где эти различные виды многоугольников совершенно неразделимы. Ребру правильного многоугольника соответствует уравнение с действительными корнями, одновременно, дающее ребра всех правильных многоугольников того же порядка. Таким образом, нельзя получить ребра правильного вписанного семиугольника, не найдя в то же время семиугольников второго и третьего рода. Обратно, если дана сторона правильного семиугольника, то можно определить радиус круга, в который он может быть вписан, но, делая это, мы найдем три различных круга, соответствующих трем родам семиугольника, который может быть построен на данной стороне; аналогично и для других многоугольников. Таким образом, мы имеем право дать название многоугольника этим новым звездчатым фигурам» (Poinsot L. (1809). Mémoire sur les polygones et les polyèdres. – «J. de l’Ecole Polytèchnique», 1810, стр. 26. (Прочитано в июле 1809 г.)).

Шредер пользуется аргументом Ганкеля: «В алгебре было весьма плодотворным распространение на рациональные дроби понятия о степени, первоначально связанного только с целыми числами; это подсказывает нам сделать такую же попытку и в геометрии, когда представится возможность…» (Schröder E. (1892). Ueber dio Vielecke von gebrochener Seitenzahl oder die Bedeutung der Stern-polygone in der Geometric. – 7 Math. und Physik, стр. 56). Затем он показывает, что геометрическую интерпретацию многоугольников с числом сторон p/q можно найти в виде звездчатых многоугольников.

[29] Заявление Гаммы, что он может определить площадь звездчатых многоугольников, не блеф. Некоторые из защитников более широкого понятия о многоугольниках решили эту задачу, выставив более широкое определение площади многоугольника. Это, в частности, можно сделать очевидным в случае правильных звездчатых многоугольников. Мы можем взять площадь многоугольника как сумму площадей равнобедренных треугольников, которые соединяют центр вписанного или описанного круга со сторонами многоугольника. В этом случае, конечно, некоторые «части» звездчатого Многоугольника будут считаться не один раз. В случае неправильных многоугольников, где у нас нет никакой выделяющейся точки, мы можем в качестве начала взять любую точку и рассматривав, отрицательно ориентированные треугольники как отрицательные площади (Meister A.L.F. (1769 – 1770). Generalia de gonesi figurarum planarum et inde pendentibus earum affectaonibus, Novi Com-mentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis, 1771, стр. 179). Оказывается – и этого наверняка можно было ждать от «площади» – что определенная тат площадь не будет зависеть от выбора начала (Mцbius A.F. (1827). Der baryzentrische Calcul. Leipzig, стр. 218). Конечно, можно спорить с теми, кто не считает оправданным понятия «площади» как числа, полученного в результате та кого подсчета; однако защитники определения Мейстера – Мебиус; называют его «правильным определением», которое «одно только научно оправдано» [замечания Р.Гаусснера: Haussner R. (ed.) (1906). Abhandlungen über die regelmässigen Sternkörper. – Ostwald’s Klassiker der Wissenschaften, N 151. Leipzig, стр. 114 – 115)]. Искание сущности было характерной чертой в спорах об определениях.

[30] Контрапример 4 мы найдем и в классическом труде Люилье: Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mémoire sur polyèdrométrie: contenant une démonstration directe du Théorème d’Euler sur les polyèdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., стр. 185. Жергонн добавил, что он тоже знал его. Но Грунерт не знал его четырнадцатью годами позже (Grunert J.A. (1827). Einfacher Beweis der von Gauchy und Euler gefundenen Sätze von Figurennetzen und Polyedern. – J. die reine und angew. Math., 2, стр. 367), Пуансо – сорока пятью годами (Poinsot L. (1858). Note sur la théorie des polyedres. – Comptes rendus de l’Académie des Sciences, стр. 67).

[31] Это парафраз из письма Эрмита к Стильтьесу: «Я с дрожью ужаса отворачиваюсь от ваших несчастных проклятых функций, у которых нет производных» (Hermite C. (1893). Lettre a Stieltjes, 20 mai 1893, Correspondance d’Hermite et de Stieltjes, Publiée par les soins de B. Baillaud et H.Bourget, I – II. Paris, 1905, vol. II, 317 – 319).

[32] «Исследования, производимые над… функциями, нарушающими законы, на универсальность которых возлагались надежды, рассматривались почти как распространение анархии и хаоса там, где прошедшие поколения искали порядка и гармонии» (Saks S. (1933). Thйorie de l’intйgrale. Warsaw. Английский перевод второго издания: Theory of the integral. Warsaw, 1937, Предисловие). Сакс говорит здесь о жарких битвах устранителей монстров (вроде Эрмита) с опровергателями, характерных для последних декад XIX в. (и, конечно, начала XX в.) в развитии современной теории функций действительного переменного, «ветви математики, которая имеет дело с контрапримерами» [Мунро (Munroe M.E. (1953). Introduction to Measure and Integration. Cambridge, Mass., Предисловие)]. Бушевавшая несколько позже между противниками и защитниками математической логики такая же ярая битва была ее непосредственным продолжением. См. также подстрочные примечания 36 и 36.

[33] Определение 5 было выставлено неутомимым устранителем монстров Жонкьером, чтобы убрать с дороги многогранник Люилье с туннелем (картинная рама): «И этот многогранный комплекс не будет настоящим многогранником в обычном смысле этого слова; действительно, если провести какую-нибудь плоскость через любую точку внутри одного из туннелей, проходящих через тело, то получающееся поперечное сечение составится из двух различных многоугольников, совершенно не связанных друг с другом; в обычном многограннике это может иметь место для некоторых положений секущей плоскости, а именно в случае некоторых невыпуклых многогранников, но не для всех таких» (Jonquieres E. (1890). Note sur le théorème d’Euler dans la theorie des polyèdres. – Comptes rendus des seances de l’Acadomie des Sciences, стр. 170 – 171). Можно задаться вопросом, заметил ли Жонкьер, что его Определение 5 исключает также некоторые невыпуклые сфероидальные многогранники.

[34] «Мы не должны забывать, что кажущееся сегодня уродством завтра может быть началом линии специального приспособления… Я подчеркнул важность редких, но крайне богатых следствием мутаций, влияющих на ход решающих эмбриональных процессов, которые могут положить начало тому, что можно назвать подающими надежды уродами, уродами, которые начнут новую эволюционную линию, если приспособятся к какой-нибудь незанятой окруженческой нише» (Goldschmidt R. (1933). Some aspects of evolution. – Science, стр. 544 и 547). Мое внимание было привлечено к этой работе Поппером.

[35] Парафраз из Пуанкаре (Poincarй H. (1908). Science et Methode. Paris. Авторизованный английский перевод G.B.Halsted: foundations of science, Lancaster, Pa, 1913, стр. 131 – 132). Полный оригинальный текст таков: «Логика иногда делает чудовища. Вот уже с половины века мы наблюдаем, как появляется толпа странных функций, которые, по-видимому, пытаются возможно меньше походить на честные функции, служащие какой-нибудь цели. Нет уже больше непрерывности, а если иногда и бывает, то без производных, и т.д. Даже больше, со строго логической точки зрения, именно эти странные функции и являются наиболее общими, а те, с которыми встречаешься без особых поисков, уже являются только как частные случаи. Для них остается только самый маленький уголок.

До сих пор, когда изобретали новую функцию, это было для какой-нибудь практической цели; сегодня их изобретают специально для того, чтобы сделать ошибочными рассуждения наших отцов, и ничего другого получить из них нельзя.

Если бы логика была единственным руководителем учителя, то стало бы необходимым начинать с наиболее общих функций, т.е. с наиболее странных. Именно начинающему пришлось бы разбираться в этом тератологическом музее». Пуанкаре обсуждает эту задачу в связи с положением в теории действительных функций, но это не представляет существенных различий.

[36] Парафраз из Данжуа: Denjoy A. (1919). L’orientation actuelle des mathématiques. – Revue du mois, стр. 21.

[37] Bérard J.B. (1818 – 19). Sur le nombre des racines imaginairesdes equations; en reponse aux articles de MM. Téderat et Servois.– Ann. de math. pures et appl., стр. 347 и 349.

[38] Гессель (Hessel F.Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler’schen Lehrsatze von Polyedern. – J. die reine und angew. Math., стр. 13). Гессель снова открыл в 1832 г. «исключения» Люилье. Работу Люилье (Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mémoire sur polyèdrométrie: contenant une démonstration directe du Théorème d’Euler sur les polyèdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., 3, 169 – 191) он прочел как раз после отправки своей рукописи. Однако он решил не требовать назад своей работы, хотя большая часть ее результатов уже оказалась опубликованной ранее; он думал, что острие его статья должно быть направлено против «новейших авторов», игнорирующих эти исключения. Случилось, между прочим, что одним из этих авторов был издатель журнала, в который Гессель послал свою статью, а именно Крелле (A.I.Crelle). В своем курсе он «доказал», что теорема Эйлера верна для всех многогранников (Crelle A.L. (1826 – 27). Lehrbuch der Elemente der Geometric. Berlin, т. II, стр. 668 – 671).

[39] Matthiessen L. (1863). Ueber die scheinbaren Einschränkungen des Euler’schen Satzes von den Polyedern. – Z. Math. und Physik, стр. 49. Маттисен говорит здесь об «Lehrbuch der Geometrie» Heis'a è Eschweiler'a и об «Lehrbuch der Stereometrie» Grunert'a. Маттисен, однако, решил эту задачу не как Эта, устранением монстров, а их исправлением, как Ро (см. подстрочное примечание 60).

[40] Это из введения Коши к его знаменитой книге: Cauchy A.L. (1821). Cours d’Analyse. Paris.

[41] Люилье и Жергонн были, по-видимому, уверены, что список Люилье содержит все исключения. Во введении к этой части работы мы читаем: «Каждый может легко убедиться, что теорема Эйлера справедлива вообще для всех многогранников, будут ли они выпуклыми, или нет, за исключением специально указанных случаев» (Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mémoire sur polyèdrométrie: contenant une démonstration directe du Théorème d’Euler sur les polyèdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., стр. 177). Затем в примечаниях Жергонна мы опять читаем: «…указанные исключения, по-видимому, являются единственными возможными» (Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mémoire sur polyèdrométrie: contenant une démonstration directe du Théorème d’Euler sur les polyèdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., стр. 188). Но в действительности Люилье пропустил тетраэдров-близнецов, которые впервые были замечены только через двадцать лет Гесселем (Hessel F.Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler’schen Lehrsatze von Polyedern. – J. die reine und angew. Math.). Стоит отметить, что некоторые ведущие математики, даже математики с живым интересом к методологии, вроде Жергонна, могли верить, что можно полагаться на метод устранения исключений. Эта уверенность аналогична «методу деления» в индуктивной логике, согласно которому для явлений может быть произведено полное перечисление возможных объяснений, и что вследствие этого метод experimentum crucis, исключающий все объяснения, кроме одного, доказывает это последнее.

[42] Newton I. (1717). Optics, or, a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours of light, second Ed. London, стр. 380.

[43] Abel N.H. (1826). Письмо к Ганстину, в «Oeuvres». Sylow, Lie (Eds.), Christiania, vol. II, 1881, 263 – 265. Его критика, по-видимому, направлена против эйлерова индуктивизма.

[44] Это тоже парафраз из цитированного письма, в котором Абель заботился об устранении исключений из общих «теорем» относительно функций и об установлении таким образом абсолютной строгости. Его оригинальный текст (вместе с предыдущей цитатой) таков: «В высшем анализе очень мало предложений доказано с окончательной строгостью. Везде встречаешься с этим несчастным путем заключения от частного к общему и можно удивляться, что этот процесс только очень редко приводит к тому, что называется парадоксом. Конечно, очень интересно посмотреть, в чем тут причина. По моему мнению, причина заключается в том, что аналитики большой частью занимались функциями, которые могут быть выражены степенными рядами. Как только появляются другие функции, что, конечно, встречается очень редко, движение вперед не происходит, так как начинают получаться ложные заключения, следует бесчисленное множество ошибок, из которых одна подпирает другую…» (подчеркнуто мной. – Авт.). Пуансо нашел, что в теории многогранников, а также в теории чисел индуктивное обобщение «часто» терпит крушение: «В большей части свойства являются индивидуальными и не подчиняются какому-нибудь общему закону» (Poinsot L. (1809). Mémoire sur les polygones et les polyèdres. – «J. de l’Ecole Polytèchnique», 1810, § 45 (Прочитано в июле 1809 г.)). Интригующая характеристика этой осторожности к индукции заключается в том, что отдельные крушения приписываются тому обстоятельству, что вся совокупность (фактов, чисел, многогранников), конечно, содержит удивительные исключения.

[45] Это опять очень близко подходит к методу Абеля. Таким же путем область «подозрительных» теорем о функциях Абель ограничил степенными рядами. В истории догадки Эйлера такое ограничение выпуклыми многогранниками было весьма обычным. Лежандр, например, дав свое общее определение многогранников, предлагает доказательство, которое, с одной стороны, неприменимо ко всем его многогранникам вообще, а с другой, применимо ко многим невыпуклым. Тем не менее в дополнительном примечании мелким шрифтом (может быть, эта мысль появилась после того, как он натолкнулся па никем ранее не сформулированное исключение) он скромно, но безопасно отступает к выпуклым многогранникам (Legendre (1794). Elйments de gйometrie. Paris. Нумерация страниц по изданию 1809 г.: стр. 161, 164, 228).

[46] Многих работающих математиков смущает вопрос, чем же являются доказательства, если они не могут доказывать. С одной стороны, они знают из опыта, что доказательства могут быть ошибочными, а с другой, – по своему догматистскому углублению в доктрину они знают, что подлинные доказательства должны быть безошибочными. Математики-прикладники обычно решают эту дилемму застенчивой, но крепкой верой, что доказательства чистых математиков являются «полными» и что они действительно доказывают. Чистые математики, однако, знают лучше – они уважают только «полные доказательства», которые даются логиками. Если же их спросить, какова же польза или функция их «неполных доказательств», то они большей частью теряются. Например, Харди (G.H.Hardy) имел большое почтение к требованию логиками формальных доказательств, но когда захотел охарактеризовать математическое доказательство, «как мы работающие математики его знаем», то он сделал это следующим образом: «Строго говоря, такой вещи, как математическое доказательство, не существует; все, что мы можем сделать в конце анализа, это только показать:…доказательства представляют то, что Литтльвуд и я называем газом, риторическими завитушками, предназначенными для воздействия на психологию, картинками на доске во время лекции, выдумками для стимулирования воображения учеников» (Hardy G.H. (1928). Mathematical proof. – Mind. N.S., стр. 18). Уайльдер думает, что доказательство представляет «только процесс испытания, которому мы подвергаем внушения нашей интуиции» (Wilder R.I. (1944). The nature of mathematical proof. – Am. Math. Monthly, стр. 318). Полья указывает, что доказательства, даже если они неполны, устанавливают связи между математическими фактами и это помогает нам удерживать их в нашей памяти: доказательства дают мнемотехническую систему (Polya G. (1945). How to solve it. Princeton, стр. 190 – 191).

[47] Matthiessen L. (1863). Ueber die scheinbaren Einschränkungen des Euler’schen Satzes von den Polyedern. – Z. Math. und Physik, 8, 449 – 450.

[48] Аргументация, что «морской еж» является «в действительности» обыкновенным прозаическим эйлеровым многогранником с 60 треугольными гранями, 90 ребрами и 32 вершинами – «un hexacontaedre sans epithete» – была выставлена крепким бойцом за правильность эйлеровой теоремы Жонкьером (Jonquieres E. de (1890). Note sur un point fondamental de la théorie des polyèdres. – Comptes rendus des séances de L’Academic des Sciences, стр. 115). Однако идея понимания неэйлеровых звездчатых многогранников, как эйлеровых многогранников, состоящих из треугольников, не происходит от Жонкьера, но имеет драматическую историю (см. примечание 50).

[49] Ничто не может быть более характерным для догматистской теории познания, как ее теория ошибок. Действительно, если некоторые истины очевидны, то нужно объяснить, каким образом кто-нибудь может в них ошибаться, иными словами, почему истины не бывают для всех очевидными. Каждая догматистская теория познания в соответствии со своей частной теорией ошибок предлагает свою частную терапевтику для очистки мозга от ошибок. [Ср. Popper K.B. (1963). Conjectures and refutations. London, Введение.]

[50] Пуансо наверняка выстирал свои мозги когда-то между 1809 и 1858 годами. Ведь как раз Пуансо снова открыл звездчатые многогранники, впервые проанализировал их с точки зрения эйлеровости и установил, что некоторые из них, вроде нашего малого звездчатого додекаэдра, не удовлетворяют формуле Эйлера (Poinsot L. (1809). Mémoire sur les polygones et les polyèdres. – «J. de l’Ecole Polytèchnique», 1810, 4, 16 – 48. (Прочитано в июле 1809 г.)). И вот этот самый Пуансо категорически утверждает в своей работе (Poinsot L. (1858). Note sur la thйorie des polyedres. – Comptes rendus de l’Acadйmie des Sciences, 46, 65 – 79), что формула Эйлера «верна не только для выпуклых многогранников, но и для любого какого угодно многогранника, включая и звездчатые». На стр. 67 Пуансо для звездчатых многогранников употребляет термин «polyиdres d'espиce superieure». Противоречие очевидно. Как его объяснить? Что случилось с контрапримером – звездчатым многогранником? Ключ лежит в первой, невинно выглядящей сентенции статьи: «Всю теорию многогранников можно привести к теории многогранников с треуголиыми гранями». Иными словами, Пуансо – Альфа после стирки мозгов превратился в Пуансо – Ро; теперь он видит одни лишь треугольники там, где раньше видел звездчатые многоугольники; теперь он видит только примеры там, где раньше видел контрапримеры. Самокритика, должно быть, производилась потихоньку, скрыто, так как в научной традиции не существует образцов для выполнения таких поворотов. Можно только задуматься, встретились ли ему когда-нибудь кольцеобразные грани, и если да, то сумел ли он сознательно перетолковать их своим треугольным зрением.

Изменение зрения не всегда действует в том же самом направлении. Например, Беккер в своей работе (Becker J.C. (1869). Ueber Polyeder. Z. Math. und Physik), увлеченный новосозданными понятиями одно- и многосвязных областей (Riemann B. (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grosse, Inaugural dissertation. Gцttingen), допускал кольцеобразные многоугольники, но остался слепым по отношению к звездчатым (Becker J.C. (1869). Ueber Polyeder. Z. Math. und Physik, стр. 66). Через пять лет после этой статьи, в которой претендовал на «окончательное» решение задачи, он расширил свое зрение и снова увидел звездчато-многоугольные и звездчато-многогранные фигуры там, где раньше видел лишь треугольники и треугольные многогранники (Becker J.C. (1874). Nouer Beweis und Erweiterung eines Fundamentalsatzes über Polyederflachen. – Z. Math. und Physik).

[51] Это часть стоической теории ошибок, приписываемой Хрисиппу [см. Aetius (ок. 150). Placita, IV, 12, 4); также Секст Эмпирик (Sextus Empiricus (ок. 190). Против логиков, I, 249)].

По теории стоиков «морской еж» составляет часть внешней действительности, которая производит впечатление на нашу душу: это phantasia или visum. Умный человек не должен допускать некритического принятия (synkatathesis или adsensus) phantasia, пока она не созреет в ясную и определенную идею (pnantasia kataleptike или comprehensio), чего она не может сделать, если является ложной. Совокупность ясных и определенных идей образует науку (episteme). В нашем случае воздействие «морского ежа» на мозг Альфы будет малым звездчатым додекаэдром, а на мозг Ро – треугольным гексаконтаэдром. Ро хочет претендовать на то, что звездчато-многогранное зрение Альфы, вероятно, не сможет созреть в ясную и определенную идею, очевидно, потому, что оно опровергает «доказанную» формулу Эйлера. Таким образом, звездчато-многогранное толкование отпадет, и ясным и определенным станет его «единственная» альтернатива, а именно треугольное толкование.

[52] Это стандартная критика скептиков претензий стоиков, что они могут отличить phantasia от phantasia katateptike [см. Sextus Empiricus (ок. 190). Против логиков, Т. 405)].

[53] Kepler I. (1619). Harmonices mundi. Lincii, кн. II, предложение XXVI.

[54] Это точное изложение взглядов Кеплера.

[55] Я припоминаю, что Поппер различал три уровня понимания. Самый низший – это приятное чувство, что понял аргументацию. Средний уровень – это когда можешь повторить ее. Высший уровень – когда можешь опровергнуть ее.

[56] Контрапример 6 был замечен Люилье (Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mémoire sur polyèdrométrie: contenant une démonstration directe du Théorème d’Euler sur les polyèdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., стр. 186); Жергонн сразу принял новизну его открытия. Но почти через пятьдесят лет Пуансо не слышал о нем (Poinsot L. (1858). Note sur la théorie des polyedres. – Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 46, 65 – 79), а Маттисен (Matthiessen L. (1863). Ueber die scheinbaren Einschränkungen des Euler’schen Satzes von den Polyedern. – Z. Math. und Physik, 8, 449 – 450) и восемьюдесятью годами позже де Жонкьер (Jonquieres E. (1890). Note sur le théorème d’Euler dans la theorie des polyèdres. – Comptes rendus des seances de l’Acadomie des Sciences, 110, 169 – 173) рассматривали его как монстр. Примитивные устранители девятнадцатого века присоединили его к списку других исключений в качество курьеза: «В качестве первого примера обыкновенно показывают случай трехгранной пирамиды, прикрепленной к грани тетраэдра так, чтобы ни одно ребро первой не совпадало с ребром второй. “Довольно странно, что в этом случае, – вот что написано в моем учебнике для коллежей. И этим кончилось дело”» (Matthiessen L. (1863). Ueber die scheinbaren Einschränkungen des Euler’schen Satzes von den Polyedern. – Z. Math. und Physik, стр. 449). Современные математики стремятся забыть о кольцеобразных гранях, которые могут быть несущественными для классификации трубопроводов, но могут получить значение в других контекстах. Штейнгауз говорит в своей книге (Steinhaus H. (1960). Mathematical snapshots. N.Y., Revised and enlarged edition): «Разделим глобус на F стран (мы будем рассматривать моря и океаны как землю). Тогда при любом политическом положении мы будем иметь V+F=E +2» (стр. 273). Но вряд ли можно думать, что Штейнгауз уничтожит Сан-Марино или Западный Берлин просто потому, что их существование опровергает теорему Эйлера. (Конечно, он может избежать того, чтобы озера, вроде Байкала, сделались странами, если назовет их озерами, так как он сказал, что только моря и океаны могут быть рассматриваемы как страны.)

[57] «Мемуар Люилье состоит из двух совершенно различных частей. В первой автор предлагает первоначальное доказательство теоремы Эйлера. Во второй он ставит цель указать исключения, которые имеет эта теорема» [Примечание Жергонна-издателя к статье Люилье в книге Люилье (Lhuilier S.A.J. (1812 – 1813). Mémoire sur polyèdrométrie: contenant une démonstration directe du Théorème d’Euler sur les polyèdres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti. – (Extrait) par M.Gergonne. – Annal. math. pures et appl., стр. 172). Подчеркнуто мной. – Авт. ].

Захариас в своей работе (Zacharias M. (1914 – 1931). Elementargeometrie. B W.Fr.Meyer, H.Mohrmann (eds.): Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, III, AB, 9. Leipzig) дает некритическое, но верное описание такого разделения на два помещения: «В XIX столетии геометры, кроме нахождения новых доказательств теоремы Эйлера, занимались установлением исключений, которые эта теорема представляет в некоторых условиях. Такие исключения были, между прочим, установлены Пуансо. Люилье и Гессель попытались дать классификацию исключений…» (Zacharias M. (1914 – 1931). Elementargeometrie. B W.Fr.Meyer, H.Mohrmann (eds.): Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, III, AB, 9. Leipzig, стр. 1052).

[58] Харди, Литтльвуд, Уайльдер, Полья, по-видимому, упустили это из вида.

[59] Дальнейшей работы (лат,). – Прим.. пер.

[60] Этот стандартный образец является по существу единственным описанным в классической книге Полья и Сеге: «Должно исследовать каждое доказательство, чтобы убедиться, действительно ли были использованы все предположения; нужно попытаться получить то же самое следствие из меньшего числа предположений… и удовлетвориться можно только, когда контрапримеры покажут, что границы возможного уже достигнуты».

[61] «Спаивание» двух многогранников при помощи скрытых ребер было выставлено в качестве аргументации Жонкьером (Jonquieres E. (1890). Note sur le thйorиme d’Euler dans la theorie des polyиdres. – Comptes rendus des seances de l’Acadomie des Sciences, стр. 171 – 172), который устранение монстров применяет против полостей и туннелей, а исправление – против увенчанных кубов и звездчатых многогранников. Первым протагонистом использования исправления монстров в защите теоремы Эйлера был Маттисен (Matthiessen L. (1863). Ueber die scheinbaren Einschränkungen des Euler’schen Satzes von den Polyedern. – Z. Math. und Physik, 8, 449 – 450). Он последовательно использует исправление монстров; при помощи введения скрытых ребер и граней ему удается «выяснить» всякую неэйлеровость, включая многогранники с туннелями и полостями. В то время как у Жонкьера спаивание представляет полную триангуляцию кольцеобразной грани, Маттисен спаивает с экономией, проводя лишь минимальное число ребер, превращающих грань в односвязные подграни (рис. 14). Маттисен удивительно уверен в своем методе превращения революционных контрапримеров в хорошо исправленные буржуазные эйлеровы образцы. Он считает, что «всякий многогранник может быть так проанализирован, что будет подтверждать теорему Эйлера…». Он перечисляет предполагаемые исключения, отмеченные поверхностным наблюдателем, и затем утверждает: «В каждом таком случае мы можем показать, что многогранник имеет скрытые грани и ребра; если пересчитать их, то они делают теорему справедливой даже для этих видимых исключительных случаев».

Мысль, что при помощи проведения дополнительных ребер, или граней, некоторые неэйлеровы многогранники могут быть преобразованы в эйлеровы, происходит, однако, не от Маттисена, по от Гесселя. Последний иллюстрировал это тремя примерами, используя изящные фигуры (Hessel F.Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler’schen Lehrsatze von Polyedern. – J. die reine und angew. Math. стр. 14 – 15). Но он использовал этот метод не для «исправления», но, наоборот, для «разъяснения исключений», показывая «совершенно аналогичные многогранники, для которых эйлеров закон справедлив».

[62] Эта последняя лемма слишком строга. Для целей доказательства достаточно будет заменить ее такой леммой, что «для получающейся после растягивания и триангулирования плоской треугольной сети». Коши, по-видимому, не заметил эту разницу.

[63] Собеседники применяют терминологию, которая в ходу у некоторых современных западноевропейских философов и социологов. – Прим. пер.

[64] В действительности такое доказательство было впервые предложено Рейхардом (Reichardt H. (1941). Lösung der Aufgabe 274. – Jahresberichte Dtsch. Math. Vereinigung,стр. 23), а также Ван дер Варденом (Waerden B.L., van der (1941). Topologie und Uniformisierung der Biemannsches Flächen. – Berichte der Math. Phys. Klasse der Sächsischen Akademie der Wissenschaften. Leipzig 93, 148 – 160). Гильберт и Кон-Фоссен были удовлетворены лишь тем, что истинность утверждения Беты «легко увидеть» (Hilbert D., Cohn‑Vossen S. (1956). Geometry and imagination. N. Y. Оригинальное немецкое издание: Anschauliche Geometrie. Berlin, 1932, стр. 292 английского перевода).

[65] Polya G. (1945). How to solve it. Princeton, стр. 142.

[66] Эта последняя фраза взята из интересной работы Алисы Амброз (Ambrose A. (1959). Proof and the theorem, proved. – Mind, N.S., стр. 438).

[67] Метафора «застегивания молнии» изобретена Брайтвайтом; однако он говорит только о «логических» и «теоретико-познавательных» застегивателях молний, но не об «эвристических» (Braithwaite R.B. (1953). Scientific explanation. Cambridge, особенно стр. 352).

[68] Устранение монстров в защиту теоремы является очень важным приемом в неформальной математике. «В чем грешат примеры, для которых неверна формула Эйлера? Какие геометрические условия, уточняющие значения F, V и E, могут обеспечить справедливость формулы Эйлера?» [ Polya G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, London, I, упр. 29]. Цилиндр дается в упражнении 24. Ответ таков: «…ребро…должно заканчиваться в углах» (Polya G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, I. London. стр. 225)… Полья формирует это вообще: «Довольно часто встречающееся в математических исследованиях положение заключается в следующем: теорема уже сформулирована, но нам требуется дать более точное определение смысла терминов, употребленных при формулировке, чтобы сделать ее строго доказанной» (Polya G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, I. London. стр. 55).

[69] Локальные, но не глобальные контрапримеры были разобраны в 3 части «Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными».

[70] Это соответствует парадоксу подтверждения (Hempel C.G. (1945). Studies in the logic of confirmation, I – II. – Mind, N.S., 54, 1 – 26, 97 – 121).

[71] См. Часть 4 «Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров», раздел д) «Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки».

[72] Истинные утверждения, не имеющие содержания (vacuously true), о которых говорит Гамма, представляют большое нововведение XIX в. Задний план этой проблемы еще не раскрыт.

[73] «Евклид употребляет аксиому, совершенно не сознавая ее» (Russel B. (1903). Principles of mathematics. London, стр. 407). «Сделать (sic!) скрытое допущение» является общей фразой у математиков и ученых. См. также обсуждение Гамовым доказательства Коши (Gamow C. (1953). One, two, three… infinity. N.Y., стр. 56) или Ивс-Ньюса об Евклиде (Eves and Newsom (1958). An introduction to the foundations and fundamental concepts of mathematics. N.Y., стр. 84),

[74] Хорошие учебники неформальной математики обычно уточняют свою «стенографию», т.е. те ложные или истинные леммы, которые они считают настолько тривиальными, что не заслуживают упоминания. Стандартное выражение для этого таково: «Мы предполагаем знакомство с леммами типа x».