Основные операции над матрицами и их свойства

ПРЕДИСЛОВИЕ

Целью изучения данной дисциплины является знакомство студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры, формирование у студентов научного математического мышления, умения применять математический аппарат для исследования экономических процессов.

В курсе данной дисциплины студенты овладевают знаниями по таким разделам линейной алгебры, как алгебра матриц, системы линейных уравнений. В процессе обучения происходит приобретение практических навыков решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий в их взаимной связи, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования.

Учебная дисциплина «Линейная алгебра» входит в базовую часть дисциплин естественнонаучного цикла; требования к входным знаниям и умениям студента – знания, полученные в рамках школьного курса математики, и основы математического анализа. Данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: теория вероятностей и математическая статистика, методы оптимальных решений, эконометрика, статистика, макроэкономика, макроэкономическое планирование и прогнозирование.

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать:

- основы векторной алгебры;

- математические операции над матрицами;

- способы вычисления определителей;

- методы решения систем линейных уравнений;

- метод определения собственных значений и собственных векторов матриц;

- алгоритм приведения квадратичных форм к суме квадратов.

уметь:

- производить основные операции над матрицами и векторами;

- находить определители матриц;

- проводить анализ систем линейных уравнений на наличие решений;

- решать системы линейных уравнений разными методами;

- находить собственные значения и собственные векторы матриц;

- работать с квадратичными формами;

- анализировать и идентифицировать исследуемые прикладные задачи;

- осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач;

- использовать полученные знания для осуществления анализа экономических ситуаций.

владеть:

- навыками решения задачи и интерпретации результатов в терминах прикладной области;

- навыками применения компьютерных технологий реализации методов линейной алгебры.

ТЕМА 1.МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

 

А =

 

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

 

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

 

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

 

Определение. Если a_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

 

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

 

С = А + В = В + А.

 

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 

 

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

 

 

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

 

 

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.