Расчет элементов цельного сечения на сжатие с изгибом (на примере верхних поясов ферм).

 

К элементам, работающим на сложное сопротивление, относятся элементы, находящиеся под одновременным воздействием продольной силы N и изгибающего момента М.

Сложное сопротивление создается (Рис. 42):

В зависимости от знака продольного усилия различают сложное сопротивление сжатию и изгибу и сложное сопротивление растяжению и изгибу. Например, верхние пояса балочных ферм при наличии на панелях поперечной нагрузки или при наличии несимметричных ослаблений, кривизны и т. д. являются сжато - изгибаемыми элементами.

Нижние пояса при тех же условиях будут растянуто - изгибаемыми. К сжато - изгибаемым элементам относятся обычно стойки деревянных каркасов зданий, нагруженные продольными силами от вертикальной нагрузки и поперечной нагрузкой от действия ветра.

Сжато - изгибаемые элементы относятся ко II категории элементов, а растянуто - изгибаемые - к I категории. В деревянных конструкциях рекомендуется по возможности избегать применения растянуто-изгибаемых элементов, обладающих наибольшей чувствительностью к порокам древесины и к местным ослаблениям сечения элементов врезками и отверстиями.

Расчет сжато-изгибаемых элементов. Краевое напряжение при сложном сопротивлении выражается формулой:

s = N/Fнт + M/Wнт (16)

Отсюда в предельном состоянии, с учетом различной прочности материала на сжатие и изгиб, получим

N/Fнт + M/Wнт * Rc/Rи £ Rc (17)

В этих формулах

Fнт, Wнт - площадь нетто и момент сопротивления нетто рассчитываемого сечения;

Rc, Rи - расчетные сопротивления сжатию вдоль волокон и изгибу;

N - расчетное продольное усилие в рассматриваемом сечении элемента;

М - расчетный изгибающий момент, в том же сечении, вычисляемый с учетом прогиба рассчитываемого стержня.

По расчетной схеме сжато-изгибаемого стержня (Рис. 43) найдем, что искомый момент М состоит из двух частей:

М = Мo + Nf (18)

где Мо - момент от поперечной нагрузки или внецентренного действия продольной силы, не зависящий от прогиба;

Nf - момент от продольного усилия N, зависящий от прогиба f.

Для определения, прогиба воспользуемся известными формулами сопротивления материалов:

f = fo * 1/(1 – N/Nкр) и fo = Mo/Nкр

где f - полный прогиб рассчитываемого элемента;

fo - прогиб только от поперечной нагрузки;

Nкр = p²EI/l² - критическое усилие продольного изгиба по Эйлеру для рассчитываемого элемента. Подставив эти величины в формулу (18), получим:

M = Mo + Nf = Mo[ 1 + N/Nкр(1 – N/Nкр)] = Mo/(1 – N/Nкр) = Mo/x

где x - коэффициент, учитывающий дополнительный момент от продольного усилия вследствие деформации стержня. Вычисление коэффициента:

x = 1 - l² /3100 * N/(Rc*Fбр) (19)

Окончательно, формула для проверки прочности сечения при сложном сопротивлении сжатию и изгибу, принимает вид

N/Fнт + (Mo*Rc)/(x*Wрасч*Rи) £ Rc (20)

N/(Rc*Fнт) + Mo/(x*Wрасч*Rи) £ 1 (21)

Коэффициент x является действительным в пределах от 1 до 0.

Рассмотрим, чему соответствуют предельные значения этого коэффициента: при x = 1 из формулы (19) получим l = 0, то есть элемент является избыточно жестким и деформации его могут не учитываться;

при x = 0 из той же формулы следует, что N = (3100/l²)*Rc*Fбр, то есть несущая способность стержня исчерпывается действующим продольным усилием и никакого изгибающего момента он воспринять не может.

Полученное выше выражение (19) коэффициента x является приближенным и для стержней с малыми гибкостями l < 75 - недостаточно точным, так как при выводе было принято значение j = 3100/l², действительное лишь для l ³ 75.

Расчетные значения поперечной силы Q и сдвигающего усилия Т в сжато-изгибаемых элементах определяются по формулам:

Qo = Qo/x и T = To/x = (Qo*S)/(l*x)

Здесь Qo и То - поперечная сила и сдвигающее усилие только от поперечной нагрузки;

x- коэффициент, определяемый по формуле (19).