Энергия гармонических колебаний

Рассмотрим теперь, как выражается энергия гармонического колебательного движения.

Совершая колебания, материальная точка обладает скоростью, а, следовательно, и кинетической энергией

Так как точка в различных положениях имеет разную скорость, то, следовательно, ее кинетическая энергия меняется со временем. Очевидно, что при этом происходит переход кинетической энергии в потенциальную. Если потерь энергии нет (колебания незатухающие), то полная энергия при этом должна оставаться постоянной.

Потенциальная энергия измеряется работой внешних сил, которая совершена для того, чтобы вызвать определенное смещение x.

 

;

 

;

 

.

 

Тогда полная энергия будет равна:

 

.

 

Таким образом, E_k и E_p сдвинуты относительно друг друга по фазе на π/2, т. е. изменяются в противофазе. Также E_k и E_p изменяются с частотой 2ω, т. е. с частотой в два раза превышающей частоту самого гармонического колебания.

 

 

Сложение колебаний одинакового направления

 

Рассмотрим геометрический способ представления колебаний с помощью вектора амплитуды.

Из точки О под углом a отложим вектор, численно равный амплитуде. Будем вращать этот вектор с угловой скоростью wпротив часовой стрелки. В некоторый момент t угол станет wt+a, а проекция вектора А:

 

x = А cos(w t +a)

 

Следовательно, проекция вектора амплитуды на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, круговой частотой равной угловой скорости вращения вектора и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент вращения.

Часто приходится иметь дело с таким движением, при котором тело участвует одновременно в двух или нескольких колебаниях. Например, груз на пружине подвешен к потолку рессорного вагона.

Рассмотрим, какое результирующее движение получается при сложении колебаний.

Рассмотрим два колебания одинакового направления и одинаковой частоты, происходящих с некоторой разностью фаз и имеющих разные амплитуды.

 

x ₁= А ₁cos(w t +a₁),

 

x ₂= А ₂cos(w t +a₂).

 

Cмещение x при участии тела одновременно в обоих колебаниях выразится алгебраической суммой смещений x ₁ и x ₂

 

x = x ₁+ x ₂= А ₁cos(w t +a₁)+ А ₂cos(w t +a₂).

 

Выполним данное сложение графически. Представим оба колебания с помощью векторов амплитуды А ₁ и А ₂. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А. Из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций слагаемых векторов.

 

x = x ₁+ x _2.

 

Векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью w. Следовательно, угол между ними все время остается постоянным и равным a₂-a₁. Следовательно, результирующий вектор будет иметь постоянную величину и очевидно будет вращаться с той же угловой скоростью. Таким образом, результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой w, амплитудой А и начальной фазой a.

x = A cos(w t +a).

Амплитуду А и начальную фазу a можно найти из чертежа.

,

.

 

Амплитуда результирующего колебания А зависит от разности фаз (a₂‑a₁ ) слагаемых колебаний.

Следовательно,

Если a₂‑a₁=2kp,где k=0,1,2… то А = А₁ + А₂ (рис.3)

Если a₂‑a₁=2(k+1)p, где k=0,1,2… то (рис.4)

 

Биения

 

Когда складываемые колебания имеют одинаковое направление, но разные частоты, то результирующее колебание не будет гармоническим.

Разность фаз будет равна

Тогда амплитуда результирующего колебания запишется в виде:

То есть амплитуда будет меняться во времени с частотой (w₂ ‑ w₁).

Частным случаем сложения колебаний с различными частотами являются так называемые биения, то есть, колебания, возникающие при сложении двух одинаково направленных колебаний с мало отличающимися частотами.

Получим уравнение для биений, считая для простоты амплитуды и начальные фазы складываемых колебаний одинаковыми.

 

А ₁ = А ₂, a₁ = a₂ =0;

Dw<<w

 

Из этой формулы видно, что результирующее колебание можно приближенно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой A ’(t). Однако, строго говоря, это не гармоническое колебание, а амплитудно-модулированное колебание.

 

.

На рис.1 приведен график биений, где ‑ период колебаний, а ‑ период биений (период изменения амплитуды).