Обработка результатов измерений. Правила действий с приближёнными числами

Правила действий с приближёнными числами

1. Все результаты измерений являются приближёнными числами. Например, при измерении ширины тетради сантиметровой линейкой получилось приблизительно 17 см, а при измерении линейкой с миллиметровыми делениями – 16,7 см. Оба числа – приближённые, т.е. указывающие ширину тетради с определённой точностью, которая задаётся измерительным прибором.

2. Точность приближённого числа определяется числом значащих цифр, выражающих это число.

3. Значащими считаются все цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди первой цифры,не равной нулю(т.е. слева от неё), а также нулей, определяющих порядок числа.

Примеры:

Одна значащая цифра	Две значащие цифры	Три значащие цифры
0,0004 = 4×10^–4 4000 = 4∙10³	0, 043 = 43∙10^–3 4300 = 4,3×10³	10,5 0,00105 = 1,05×10^–3 105 000 = 1,05×10⁵

Внимание! Не надо путать число значащих цифр с числом знаков после запятой – это глубоко укоренившееся заблуждение!

4. Результат любого арифметического действия с приближёнными числами нужно округлить до той точности (того же числа значащих цифр), какую имели исходные числа. В промежуточных вычислениях допускается одна запасная цифра. Правила округления – общепринятые.

Примеры: 23:14 = 1,6; 23:14×5,87 = 1,64×5,87 = 9,6(3); = 30,6 (а калькулятор показывает = 30,59411708…).

Погрешности измерений

Внимание! Данные измерений, т.е. показания приборов – не округляются!

1. Любые измерения имеют погрешности. Абсолютно точных измерений не бывает! Погрешности определяют по-разному в зависимости от вида измерения.

2. Виды измерений:

· прямые – результат считывают по шкале прибора (линейки, секундомера, вольтметра, пирометра и др.);

· косвенные – результат определяется расчётом (объём параллелепипеда по длине сторон; мощность по силе тока и напряжению; скорость по пути и времени; плотность по массе и объёму и др.);

· однократные;

· многократные.

3. Виды погрешностей:

· приборные – погрешность равна цене деления прибора;

· случайные – при многократных измерениях одной и той же величины точным прибором;

· систематические – измерения неисправным прибором (секундомер спешит или отстаёт, сдвинут нуль шкалы и др.).

4. Результат измерений величины Х представляют в виде:

X = X _и ± D Х,

(1)

где X _и – показания прибора (при прямых измерениях), или результат расчёта (при косвенных измерениях), или среднее значение (при многократных измерениях); D Х – абсолютная погрешность измерения.

Такая запись означает, что истинное значение измеренной величины лежит в интервале от (X _и – D Х) до (X _и + D Х).

5. Случайные погрешности определяют методами математической статистики, в которой предполагается, что наиболее близким к истинному значению измеряемой величины Х является среднее арифметическое á Х ñ от результатов измерений этой величины. Среднее арифметическое вычисляется по общим правилам – сумма всех измеренных значений делится на количество измерений:

(2)

где N – число измерений; i – номер измерения; Х_i – значение, полученное при измерении с номером i.

6. Абсолютная погрешность D Х_i конкретного (i- го) измерения определяется как разность между средним и конкретным значениями:

D Х_i = á Х ñ – Х_i,

(3)

то есть является отклонением от среднего значения. Как видно из определения, D Х_i может быть и положительной, и отрицательной величиной.

7. Средняя абсолютная погрешность áD Х ñ определяется как среднее арифметическое отклонений (3), взятых по модулю (т. е. без учёта знака!):

(4)

При записи результата измерений áD Х ñ округляется до одной значащей цифры (или до двух цифр, если первая значащая цифра – единица).

8. Результат измерений со случайными погрешностями представляют в виде

X = á Х ñ ± áD Х ñ.

(5)

Такая запись означает, что истинное значение измеренной величины лежит в интервале от (á Х ñ – áD Х ñ) до (á Х ñ + áD Х ñ). При записи результата измерений среднее значение á Х ñ округляют так, чтобы последняя значащая цифра в этом числе имела тот же разряд, что и áD Х ñ.

Например, при расчётах среднее значение величины Х получилось равным 2,326, а средняя абсолютная погрешность при расчётах с тремя значащими цифрами оказалась равной 0,0377. Тогда, в соответствии с правилами, результат следует записать в следующем виде:

X = 2,33 ± 0,04.

Если при том же á Х ñ средняя абсолютная погрешность будет меньше, например, áD Х ñ = 0,0148, то результат измерений нужно записать так:

X = 2,326 ± 0,015.

9. Точность измерения характеризуется относительной погрешностью e, и выражается обычно в процентах:

(6)

После вычисления значение e нужно обязательно округлить до одной-двух значащих цифр. Например, 1,473 % надо округлить до 1,5 %, а 3,7 % – до 4 %. Для приведённых в п. 8 примеров расчёт относительных погрешностей даёт:

. .

Полезно знать, что число, записанное с одной значащей цифрой, имеет относительную погрешность около 10 %; с двумя значащими цифрами – около 1 %; с тремя значащими цифрами – около 0,1 %.